Topología y geometría diferencial

Objetivos

• Usar separación, compacidad, atlas, espacios tangentes y aplicaciones suaves con precisión formal.
• Calcular con tensores, formas, conexiones, geodésicas, torsión, curvatura y métricas.
• Formular estructuras de la mecánica, el electromagnetismo y la relatividad mediante objetos geométricos.

1. 01

   Sinopsis geométrica de relatividad general

   Relacionar tiempo propio, dilatación, corrimiento gravitacional y curvatura antes de formalizar la geometría diferencial.

   Actividad evaluable: Cálculo comentado de tiempo propio y corrimiento gravitacional con hipótesis explícitas. Distribución de la carga: 1 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 2 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   6 h
2. 02

   Curvas y superficies en E³

   Calcular longitud de arco, triedro de Frenet y curvaturas normal, principal, gaussiana y media en curvas y superficies regulares.

   Actividad evaluable: Ficha geométrica de una curva y una superficie con invariantes comprobados. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
3. 03

   Espacios topológicos, separación, compacidad y punto fijo

   Construir topologías, bases, axiomas de separación, conexidad, compacidad, metrizabilidad elemental e invariancia topológica.

   Actividad evaluable: Colección de ejemplos y contraejemplos que distingue cada propiedad topológica. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
4. 04

   Variedades diferenciables, atlas y funciones suaves

   Definir variedades localmente euclidianas, atlas máximos, funciones coordenadas, productos y aplicaciones suaves.

   Actividad evaluable: Atlas de la circunferencia, el toro y la banda de Möbius con transiciones verificadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
5. 05

   Vectores tangentes y espacios tangentes

   Construir vectores tangentes mediante curvas y derivaciones, transformar bases y aplicar el espacio tangente a sistemas dinámicos.

   Actividad evaluable: Dos construcciones equivalentes de un espacio tangente y una condición de tangencia comprobada. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
6. 06

   Álgebra tensorial y dualidad

   Operar con covectores, bases duales, productos tensoriales, contracciones, simetrización y antisimetrización.

   Actividad evaluable: Cálculo tensorial efectuado en dos bases y reconciliado por la ley de transformación. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
7. 07

   Campos tensoriales y corchete de Lie

   Distinguir bases coordenadas y no coordenadas, calcular conmutadores y explicar su significado geométrico.

   Actividad evaluable: Conmutadores calculados en coordenadas cartesianas y polares con interpretación geométrica. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
8. 08

   Formas diferenciales y cálculo exterior

   Usar álgebra de Grassmann, producto exterior, derivada exterior, orientación y formas cerradas o exactas.

   Actividad evaluable: Cálculo de circulación, flujo y obstrucción de exactitud sobre un dominio no simplemente conexo. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
9. 09

   Mapeos de variedades, diferencial y grupos de Lie

   Analizar diferenciales, pushforward, pullback, campos globales y los primeros ejemplos de grupos y álgebras de Lie.

   Actividad evaluable: Aplicación entre variedades con diferencial, pullback y compatibilidad grupal comprobados. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
10. 10

    Integración en variedades, Stokes y cohomología

    Construir particiones de la unidad, orientar variedades con frontera e integrar formas para obtener Stokes, Gauss y una entrada a cohomología.

    Actividad evaluable: Balance integral calculado en cartas y verificado mediante el término de frontera. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
11. 11

    Curvas integrales y derivadas de Lie

    Estudiar existencia, unicidad, coordenadas adaptadas, flujos completos, arrastre y derivada de Lie de funciones, campos, formas y tensores.

    Actividad evaluable: Flujo local con derivadas de Lie y relaciones de conmutación calculadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
12. 12

    Conexiones lineales y transporte paralelo

    Definir conexión, transporte paralelo, coeficientes y derivada covariante sobre funciones, formas y tensores.

    Actividad evaluable: Transporte paralelo calculado en dos sistemas de coordenadas y comparado geométricamente. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
13. 13

    Geodésicas, mapa exponencial y coordenadas normales

    Derivar la ecuación geodésica, justificar el parámetro afín y construir el mapa exponencial y coordenadas normales.

    Actividad evaluable: Geodésicas de un plano y una esfera calculadas y contrastadas mediante su energía. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
14. 14

    Torsión, curvatura e identidades de Bianchi

    Construir los tensores de torsión y curvatura, la identidad de Ricci y las identidades de Bianchi.

    Actividad evaluable: Tensor de curvatura calculado para una conexión no trivial con simetrías verificadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
15. 15

    Métrica pseudo-riemanniana y conexión métrica

    Relacionar longitud, causalidad, conexión de Levi-Civita y tensores de Riemann, Ricci, Einstein y curvatura escalar.

    Actividad evaluable: Métrica y conexión calculadas para una superficie y un modelo de espacio-tiempo. Distribución de la carga: 3 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 2 h lectura contrastada · 3 h práctica · 2 h evidencia evaluable.
    12 h
16. 16

    Espacio-tiempo newtoniano, mecánica y termodinámica

    Formular coordenadas galileanas, conexión newtoniana, fluidos perfectos, dinámica hamiltoniana y geometría termodinámica.

    Actividad evaluable: Modelo newtoniano expresado mediante estructura geométrica y balance de conservación. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
17. 17

    Relatividad especial, electrodinámica y grupo de Poincaré

    Usar la métrica de Minkowski, transformaciones de Lorentz, tensor electromagnético y tensor de energía-momento.

    Actividad evaluable: Transformación de un campo electromagnético y comprobación de un invariante de Lorentz. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
18. 18

    Relatividad general, ecuaciones de Einstein y Schwarzschild

    Relacionar principio de equivalencia, acción gravitacional, ecuaciones de Einstein y geodésicas de Schwarzschild.

    Actividad evaluable: Derivación variacional delimitada y análisis de una geodésica en la métrica de Schwarzschild. Distribución de la carga: 3 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 2 h lectura contrastada · 3 h práctica · 2 h evidencia evaluable.
    12 h
19. 19

    Gravedad lineal y radiación gravitacional

    Linealizar el campo gravitacional, fijar gauge, obtener la ecuación de onda y estimar energía radiada.

    Actividad evaluable: Onda gravitacional lineal con polarizaciones, flujo de energía y régimen de validez documentados. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h