Geodésicas, mapa exponencial y coordenadas normales

Una geodésica es una curva cuya velocidad se transporta paralelamente a sí misma. Esta definición depende de una conexión y no requiere una inclusión ambiente. Con una métrica y su conexión de Levi-Civita, las geodésicas describen los extremos locales de energía y, bajo condiciones adicionales, de longitud. El mapa exponencial convierte velocidades iniciales en puntos alcanzados por esas curvas.

Ecuación geodésica

Una curva $\gamma(t)$ es geodésica si

$$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$$

En coordenadas,

$$\ddot x^k+\Gamma^k{}_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j=0.$$

Es una EDO de segundo orden. Dados $p$ y $v\in T_pM$, existe una solución local única con $\gamma(0)=p$, $\dot\gamma(0)=v$. El parámetro es afín: si $t\mapsto at+b$ con $a\ne0$, la ecuación conserva su forma. Una reparametrización arbitraria introduce un término proporcional a la velocidad.

Para una conexión métrica,

$$\frac d{dt}g(\dot\gamma,\dot\gamma) =2g(\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma,\dot\gamma)=0.$$

La rapidez es constante. En geometría lorentziana, se conserva igualmente el tipo causal.

Energía y longitud

Para una métrica riemanniana, la energía de una curva es

$$E(\gamma)=\frac12\int_a^b g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j\,dt.$$

Las ecuaciones de Euler–Lagrange para $L=\tfrac12g_{ij}\dot x^i\dot x^j$ producen la ecuación geodésica de Levi-Civita. Una geodésica de rapidez constante es punto crítico de la longitud

$$L(\gamma)=\int_a^b\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt.$$

No toda geodésica minimiza globalmente. En una esfera, un arco de círculo máximo minimiza antes del punto antipodal; después existen arcos más cortos y múltiples geodésicas entre los mismos extremos. Las notas de MIT distinguen con cuidado estacionariedad local y minimización Seidel, 2008 Paul Seidel (2008) Differential Geometry, 18.950 Notas y problemas del curso · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: notas sobre energía, longitud y geodésicas de superficies Abrir fuente .

Cálculo trabajado en el plano polar

Para $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$, la energía es

$$L=\frac12(\dot r^2+r^2\dot\theta^2).$$

Euler–Lagrange da

$$\ddot r-r\dot\theta^2=0, \qquad \frac d{dt}(r^2\dot\theta)=0.$$

La segunda igualdad conserva el momento angular $\ell=r^2\dot\theta$. La energía $E=\tfrac12\dot r^2+\ell^2/(2r^2)$ también es constante. Estas ecuaciones parecen describir curvas curvadas, pero en coordenadas cartesianas las geodésicas son rectas $x(t)=x_0+v_xt$, $y(t)=y_0+v_yt$. Sustituir $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta=\operatorname{atan2}(y,x)$ verifica ambas ecuaciones donde las polares son regulares.

Un círculo $r=R$ no es geodésica del plano: con $\dot r=0$ exigiría $-R\dot\theta^2=0$. La aceleración centrípeta impide que su velocidad sea paralela.

Geodésicas de la esfera

En la esfera de radio $R$,

$$ds^2=R^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2).$$

La coordenada $\varphi$ es cíclica, por lo que

$$R^2\sin^2\vartheta\,\dot\varphi=\ell.$$

Los meridianos $\varphi=\text{constante}$ satisfacen las ecuaciones. El ecuador $\vartheta=\pi/2$ también, porque $\partial_\vartheta(\sin^2\vartheta)=0$ allí. Mediante simetrías de rotación, toda geodésica es un círculo máximo. Un paralelo fuera del ecuador no es geodésica, aunque tenga curvatura constante como curva ambiente.

Mapa exponencial

Sea $\gamma_v$ la geodésica con $\gamma_v(0)=p$ y $\dot\gamma_v(0)=v$. Se define

$$\exp_p(v)=\gamma_v(1)$$

para los $v$ donde la solución existe hasta tiempo uno. Cerca de $0\in T_pM$, $d(\exp_p)_0$ es la identidad; por el teorema de la función inversa, $\exp_p$ es difeomorfismo entre vecindades de $0$ y $p$. Sus coordenadas inducidas son normales.

Para la conexión de Levi-Civita de una métrica riemanniana y una base ortonormal inicial, las coordenadas normales centradas en $p$ satisfacen

$$g_{ij}(p)=\delta_{ij}, \qquad \Gamma^k{}_{ij}(p)=0.$$

No se concluye que $\Gamma$ se anule en una vecindad ni que la curvatura sea cero. Para una conexión afín con torsión, las coordenadas exponenciales anulan en $p$ sólo la parte simétrica $\Gamma^k{}_{(ij)}$. Las geodésicas radiales se expresan como rectas coordenadas sólo dentro del dominio normal.

En la esfera unitaria, para $v\in T_pS^2\setminus\{0\}$,

$$\exp_p(v)=\cos\|v\|\,p +\sin\|v\|\,\frac{v}{\|v\|}.$$

Por continuidad se define $\exp_p(0)=p$.

Todos los vectores de longitud $\pi$ llegan al antipodal $-p$, de modo que la exponencial deja de ser inyectiva allí. Este ejemplo delimita el dominio de coordenadas normales.

Primera variación y condición geodésica

Sea $\gamma_s(t)$ una variación con extremos fijos y campo variacional $V=\partial_s\gamma_s|_{s=0}$. Para la energía,

$$E(\gamma_s)=\frac12\int_a^b g(\partial_t\gamma_s,\partial_t\gamma_s)\,dt.$$

Compatibilidad métrica y torsión nula permiten intercambiar las derivadas covariantes de $s$ y $t$. Al derivar e integrar por partes,

$$\left.\frac{dE}{ds}\right|_{0} =\left[g(V,\dot\gamma)\right]_a^b -\int_a^b g(V,\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma)\,dt.$$

El término de frontera se anula porque $V(a)=V(b)=0$. Si la primera variación es cero para todo $V$, el lema fundamental del cálculo variacional implica

$$\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$$

La derivación no prueba minimización; sólo estacionariedad. La segunda variación, los campos de Jacobi y la ausencia de puntos conjugados controlan cuándo la geodésica minimiza localmente.

Ejemplo trabajado: semiplano hiperbólico

En $H^2=\{(x,y):y>0\}$ con

$$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2},$$

la energía es

$$L=\frac{\dot x^2+\dot y^2}{2y^2}.$$

La coordenada $x$ es cíclica, de modo que $\dot x/y^2=C$. Las ecuaciones de Euler–Lagrange son

$$\ddot x-\frac{2}{y}\dot x\dot y=0,$$ $$\ddot y+\frac1y(\dot x^2-\dot y^2)=0.$$

Si $C=0$, entonces $x=x_0$ y una parametrización afín unitaria satisface $\dot y/y=\pm1$, por lo que $y(t)=y_0e^{\pm t}$. Las líneas verticales son geodésicas y la frontera $y=0$ queda a distancia infinita porque

$$\int_\varepsilon^{y_0}\frac{dy}{y} =\log(y_0/\varepsilon)\to\infty.$$

Para $C\ne0$, combinar la conservación de energía con $\dot x=Cy^2$ produce

$$\dot y^2=y^2(2E-C^2y^2).$$

Al eliminar el parámetro se obtienen semicírculos ortogonales a la frontera. Así, las geodésicas no son rectas euclidianas salvo las verticales, pero todas obedecen una descripción uniforme en la métrica hiperbólica.

Campos de Jacobi y puntos conjugados

Una variación por geodésicas genera un campo de Jacobi $J$ que satisface

$$\frac{D^2J}{dt^2}+R(J,\dot\gamma)\dot\gamma=0$$

con la convención adoptada. En espacio plano, $R=0$ y $J$ es afín en $t$. En una esfera de radio $R$, un campo normal a una geodésica unitaria satisface escalarmente

$$j''+\frac1{R^2}j=0.$$

La solución con $j(0)=0$ vuelve a cero en $t=\pi R$. Por eso el punto antipodal es conjugado al inicial y la exponencial pierde rango o inyectividad asociada. En curvatura negativa constante, la ecuación contiene signo opuesto y las geodésicas próximas se separan en vez de reencontrarse.

Completitud y teorema de Hopf–Rinow

En una variedad riemanniana conexa, completitud como espacio métrico, extensión de todas las geodésicas a todo tiempo y compacidad de cerrados acotados son condiciones equivalentes dentro del teorema de Hopf–Rinow. Además, cualesquiera dos puntos pueden unirse por una geodésica minimizante.

La afirmación es riemanniana y no se traslada completa a signatura lorentziana. En el semiplano hiperbólico, la frontera coordenada queda a distancia infinita y la métrica es completa. En el disco abierto con métrica euclidiana restringida, una recta alcanza la frontera omitida en tiempo finito y la variedad es incompleta, aunque sus coeficientes métricos sean regulares en todo punto del dominio.

Radio de inyectividad y corte

El radio de inyectividad en $p$ es el mayor radio para el que $\exp_p$ permanece difeomorfismo sobre la bola tangente correspondiente. El lugar de corte reúne extremos donde una geodésica radial deja de minimizar o deja de ser única. En la esfera redonda, el lugar de corte de $p$ es el antipodal; en un cilindro plano, la topología produce múltiples geodésicas minimizantes antes de que aparezca curvatura.

Estas nociones muestran dos mecanismos globales distintos: curvatura puede enfocar geodésicas y topología puede crear varias clases de curvas. Un cálculo local de $\Gamma$ no decide el lugar de corte.

Ecuación de Hamilton–Jacobi

La dinámica geodésica también se formula en $T^*M$ con Hamiltoniano

$$H(x,p)=\frac12g^{ij}(x)p_ip_j.$$

Las ecuaciones canónicas son

$$\dot x^i=g^{ij}p_j, \qquad \dot p_i=-\frac12\partial_i g^{jk}p_jp_k.$$

Al usar $p_i=g_{ij}\dot x^j$ y derivar, se recupera la ecuación geodésica. La equivalencia depende de la no degeneración de $g$. La ecuación de Hamilton–Jacobi para una función principal $S$ es

$$\frac{\partial S}{\partial t} +\frac12g^{ij}\partial_iS\,\partial_jS=0.$$

Una solución completa puede generar geodésicas mediante $p_i=\partial_iS$. Las simetrías permiten separar variables; por ejemplo, una coordenada cíclica aporta un momento constante. Esta formulación es útil para Schwarzschild y óptica geométrica.

Coordenadas normales y expansión métrica

En coordenadas normales riemannianas centradas en $p$, además de $\Gamma(p)=0$, las primeras derivadas de la métrica se anulan. La primera corrección no trivial contiene curvatura:

$$g_{ij}(x) =\delta_{ij} -\frac13R_{ikjl}(p)x^kx^l +O(|x|^3)$$

con convención compatible. Por tanto una región suficientemente pequeña parece euclidiana a primer orden, pero las desviaciones cuadráticas registran curvatura. El volumen también recibe una corrección gobernada por Ricci:

$$\sqrt{\det g(x)} =1-\frac16R_{kl}(p)x^kx^l+O(|x|^3).$$

Estas expansiones delimitan el principio de equivalencia: la conexión puede eliminarse en un punto, no las mareas codificadas por segundas derivadas.

Ejemplo trabajado: exponencial en el cilindro plano

Considere el cilindro $M=S^1_R\times\mathbb R$ con métrica

$$ds^2=R^2d\theta^2+dz^2.$$

En la cubierta universal con coordenada $x=R\theta$, las geodésicas son

$$x(t)=x_0+at, \qquad z(t)=z_0+bt.$$

Al proyectar,

$$\exp_{(\theta_0,z_0)}(v^{\hat\theta},v^z) =\left(\theta_0+\frac{v^{\hat\theta}}{R}\ \mathrm{mod}\ 2\pi,\ z_0+v^z\right)$$

si $v^{\hat\theta}$ es la componente de longitud en la dirección ortonormal circular y $v^z$ la componente axial. La curvatura es cero y no hay puntos conjugados, pero la exponencial no es inyectiva globalmente: vectores cuya componente angular de longitud difiere en $2\pi R$ llegan al mismo punto.

Entre dos puntos con diferencia angular $\Delta\theta$ existen geodésicas asociadas a $\Delta\theta+2\pi k$. La minimizante elige el entero con menor valor absoluto; en el punto opuesto hay dos minimizantes. El lugar de corte surge aquí por topología, no por enfoque de curvatura positiva.

Sensibilidad de geodésicas

Para integrar numéricamente conviene evolucionar también una ecuación variacional o campos de Jacobi. Dos soluciones con datos iniciales próximos pueden separarse por curvatura negativa o reconverger por curvatura positiva. El error de energía comprueba consistencia de la integración, mientras el residuo

$$\left\|\ddot x^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot x^i\dot x^j\right\|$$

comprueba la ecuación en la carta elegida. Ambos controles son necesarios: un método puede conservar una energía aproximada y aun seguir una curva incorrecta por un error en los símbolos.

Procedimiento de cálculo

1. Obtener la conexión o el lagrangiano métrico.
2. Escribir todas las ecuaciones geodésicas y condiciones iniciales.
3. Buscar coordenadas cíclicas y cantidades conservadas.
4. Verificar la constancia de la energía o rapidez.
5. Contrastar soluciones con simetrías y casos conocidos.
6. Definir $\exp_p$ sólo en el dominio de existencia.
7. Identificar puntos conjugados o pérdida de inyectividad antes de afirmar minimización global.

Ejercicios de geodésicas

1. Demuestra la invariancia de la ecuación geodésica bajo reparametrizaciones afines.
2. Obtén las ecuaciones geodésicas del cilindro y compáralas con rectas en su desarrollo plano.
3. Verifica que los meridianos y el ecuador son geodésicas de la esfera.
4. Calcula $\exp_p$ en el plano euclidiano y prueba que es un difeomorfismo global.
5. Deriva la conservación de rapidez para una conexión métrica.
6. Analiza por qué dos puntos antipodales admiten infinitas geodésicas minimizantes de igual longitud.
7. Resuelve numéricamente una geodésica en una métrica diagonal y controla el error de energía.
8. Distingue geodésica, curva de curvatura ambiente nula y curva minimizante global.

Las geodésicas convierten una conexión en trayectorias observables y la exponencial convierte datos tangentes en coordenadas locales. Sus propiedades globales dependen de completitud, curvatura y topología; una solución local de la EDO no decide por sí sola ninguna de ellas.