Espacio-tiempo newtoniano, mecánica y termodinámica

La mecánica newtoniana admite una formulación geométrica que separa tiempo absoluto, distancias espaciales y marcos inerciales. La mecánica hamiltoniana usa el fibrado cotangente y una forma simpléctica canónica. Los balances de fluidos y termodinámica también se expresan mediante tensores y formas, pero cada teoría emplea estructuras diferentes; reunirlas exige declarar qué cantidades son cinemáticas, métricas o constitutivas.

Estructura galileana

Un espacio-tiempo newtoniano afín de dimensión cuatro posee una uno-forma temporal $\tau$ que asigna duración a desplazamientos y una métrica espacial positiva definida sólo sobre $\ker\tau$. En coordenadas galileanas $(t,x^i)$,

$$\tau=dt, \qquad h=\delta_{ij}\,dx^i\otimes dx^j$$

sobre direcciones simultáneas. A diferencia de una métrica lorentziana, estos datos no forman una métrica no degenerada en todo el espacio-tiempo: no hay una regla única para medir conjuntamente tiempo y espacio.

Las transformaciones galileanas

$$t'=t+t_0, \qquad x'=Rx+vt+a$$

preservan intervalos temporales y distancias entre sucesos simultáneos. La simultaneidad absoluta contrasta con las transformaciones de Lorentz.

Gravedad como conexión

En coordenadas adaptadas, una partícula bajo potencial $\Phi$ satisface

$$\ddot x^i=-\partial^i\Phi.$$

Puede escribirse como ecuación geodésica si se asignan coeficientes

$$\Gamma^i{}_{00}=\partial^i\Phi,$$

y los restantes adecuados se anulan en un marco inercial. La ecuación de Poisson

$$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$$

relaciona fuente y campo. Un cambio a un marco uniformemente acelerado modifica los coeficientes y puede eliminar un campo uniforme local; los gradientes relativos, asociados a mareas, no se eliminan simultáneamente en una región extensa.

Fibrado cotangente y forma simpléctica

Para un espacio de configuración $Q$ de dimensión $n$, el espacio de fases hamiltoniano es $T^*Q$. En coordenadas canónicas $(q^i,p_i)$, la uno-forma tautológica y la forma simpléctica son

$$\theta=p_i\,dq^i, \qquad \omega=-d\theta=dq^i\wedge dp_i.$$

$\omega$ es cerrada y no degenerada. Dado un Hamiltoniano $H:T^*Q\to\mathbb R$, el campo $X_H$ se define mediante

$$\iota_{X_H}\omega=dH$$

con esta convención. Si $X_H=\dot q^i\partial_{q^i}+\dot p_i\partial_{p_i}$, resulta

$$\dot q^i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}.$$

El curso abierto de geometría simpléctica de MIT desarrolla la forma canónica del cotangente como objeto independiente de coordenadas Auroux, 2007 Denis Auroux (2007) Geometry of Manifolds, 18.966: Symplectic Geometry Notas de clase; MIT OpenCourseWare · Massachusetts Institute of Technology Ubicación consultada: notas sobre fibrado cotangente, forma tautológica y campos hamiltonianos Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: oscilador armónico

Para

$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2},$$

las ecuaciones de Hamilton son

$$\dot q=\frac pm, \qquad \dot p=-kq.$$

Derivando la primera, $\ddot q=\dot p/m=-(k/m)q$. Con $\Omega=\sqrt{k/m}$,

$$q(t)=A\cos\Omega t+B\sin\Omega t, \qquad p(t)=m\dot q(t).$$

La energía se conserva porque

$$\frac{dH}{dt}=dH(X_H)=\omega(X_H,X_H)=0.$$

Además, $\mathcal L_{X_H}\omega=d(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}d\omega=d^2H=0$, de modo que el flujo preserva $\omega$ y el área de fase. La preservación de área no implica que todas las órbitas sean periódicas en sistemas generales.

Las notas abiertas de geometría simpléctica de MIT desarrollan esta construcción mediante la forma canónica y campos hamiltonianos, sin depender de coordenadas cartesianas globales Auroux, 2007 Denis Auroux (2007) Geometry of Manifolds, 18.966: Symplectic Geometry Notas de clase; MIT OpenCourseWare · Massachusetts Institute of Technology Ubicación consultada: notas sobre forma simpléctica canónica, campos hamiltonianos y flujo Abrir fuente .

Corchete de Poisson

Para funciones $f,g$, se define

$$\{f,g\}=\omega(X_f,X_g) =\frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial g}{\partial p_i} -\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q^i}.$$

La evolución satisface $\dot f=\{f,H\}+\partial f/\partial t$. Una integral primera cumple $\{f,H\}=0$ si no depende explícitamente del tiempo. El corchete es antisimétrico, obedece Leibniz y Jacobi, y relaciona conmutadores de campos hamiltonianos.

Fluidos perfectos y balances

En mecánica continua, densidad $\rho$, velocidad $v$ y presión $p$ satisfacen, en un dominio euclidiano,

$$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho v)=0,$$ $$\rho(\partial_tv+v\cdot\nabla v)=-\nabla p+\rho f.$$

La primera ecuación es conservación de masa. Integrada sobre un volumen fijo $D$,

$$\frac d{dt}\int_D\rho\,dV =-\int_{\partial D}\rho v\cdot n\,dA.$$

El tensor de esfuerzos de un fluido perfecto es $\sigma=-pI$ en la convención de tracción. Un fluido viscoso añade términos dependientes del gradiente simétrico de velocidad; eso es información constitutiva, no una consecuencia de geometría diferencial sola.

Estados termodinámicos

Para un sistema simple, la primera ley puede escribirse

$$dU=T\,dS-p\,dV+\mu\,dN.$$

En el espacio de variables $(U,S,V,N,T,p,\mu)$, la uno-forma de contacto

$$\alpha=dU-T\,dS+p\,dV-\mu\,dN$$

se anula sobre los estados de equilibrio compatibles con una ecuación fundamental. Las transformadas de Legendre cambian el potencial termodinámico y las variables naturales sin cambiar la física de equilibrio. Una métrica termodinámica basada en una Hessiana puede estudiar estabilidad local, pero depende del potencial y de las hipótesis; no debe equipararse automáticamente con la métrica del espacio-tiempo.

Mareas newtonianas y curvatura de conexión

Para dos partículas cercanas bajo el potencial $\Phi$, la separación $\xi^i$ satisface al primer orden

$$\ddot\xi^i =-\partial^i\partial_j\Phi\,\xi^j.$$

La matriz Hessiana $E^i{}_j=\partial^i\partial_j\Phi$ es el tensor de mareas en un marco cartesiano inercial. Un término lineal en $\Phi$ produce aceleración uniforme, pero su Hessiana es cero; puede eliminarse mediante un marco acelerado. Un término cuadrático produce aceleraciones relativas y no puede eliminarse en toda una región.

Fuera de las fuentes, $\nabla^2\Phi=0$, por lo que la traza de $E$ se anula. Cerca de una masa puntual,

$$E_{ij}=\frac{GM}{r^3} \left(\delta_{ij}-3\frac{x_ix_j}{r^2}\right).$$

La dirección radial tiene autovalor $-2GM/r^3$ y las dos tangenciales $GM/r^3$. Como la ecuación de separación contiene $-E$, una nube cae estirándose radialmente y comprimiéndose transversalmente. Esta estructura anticipa la desviación geodésica relativista.

Simetrías y cantidad conservada

Si un grupo actúa simplécticamente sobre el espacio de fases, sus generadores pueden admitir funciones momento. En el caso elemental de traslaciones espaciales, que $H$ no dependa de $q^a$ produce

$$\dot p_a=-\frac{\partial H}{\partial q^a}=0.$$

Para rotaciones de una partícula en $\mathbb R^3$, la función momento es el momento angular $L=q\times p$. Si $H$ es rotacionalmente invariante,

$$\{L_i,H\}=0.$$

Esta es la versión hamiltoniana de Noether. La conservación no procede únicamente de que una trayectoria parezca cerrada; procede de una simetría continua de la acción o del Hamiltoniano y de las hipótesis de aislamiento.

Una transformación canónica $F$ satisface $F^*\omega=\omega$. Conserva corchetes de Poisson y lleva campos hamiltonianos de manera compatible. Que una transformación conserve volumen de fase es necesario pero, en dimensión mayor que dos, no es suficiente para ser simpléctica.

Ejemplo trabajado: partícula en coordenadas polares

Para una partícula plana,

$$H(r,\theta,p_r,p_\theta) =\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\theta^2}{2mr^2}+V(r),$$

y

$$\omega=dr\wedge dp_r+d\theta\wedge dp_\theta.$$

Las ecuaciones de Hamilton son

$$\dot r=\frac{p_r}{m}, \qquad \dot\theta=\frac{p_\theta}{mr^2},$$ $$\dot p_r=\frac{p_\theta^2}{mr^3}-V'(r), \qquad \dot p_\theta=0.$$

El término centrífugo surge al derivar $r^{-2}$, no como una fuerza añadida fuera del Hamiltoniano. Para una órbita circular $p_r=0$ y radio constante, debe cumplirse

$$V'(r)=\frac{p_\theta^2}{mr^3}.$$

La segunda derivada del potencial efectivo

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=V(r)+\frac{p_\theta^2}{2mr^2}$$

clasifica estabilidad radial. El ejemplo usa el fibrado cotangente correcto: $p_r$ y $p_\theta$ son componentes covectoriales y no coinciden simplemente con componentes de velocidad.

Ejemplo trabajado: estabilidad de un gas ideal

Para $N$ fijo, una representación de la entropía de un gas ideal monoatómico tiene la forma

$$S(U,V)=Nk_B \left(\frac32\ln U+\ln V\right)+C$$

tras absorber escalas de referencia en $C$. Las relaciones termodinámicas son

$$\frac1T=\frac{\partial S}{\partial U} =\frac{3Nk_B}{2U}, \qquad \frac pT=\frac{\partial S}{\partial V} =\frac{Nk_B}{V}.$$

De la primera, $U=\tfrac32Nk_BT$; al sustituir en la segunda, $pV=Nk_BT$. La Hessiana de $S$ es diagonal con entradas negativas,

$$S_{UU}=-\frac{3Nk_B}{2U^2}, \qquad S_{VV}=-\frac{Nk_B}{V^2},$$

por lo que $S$ es estrictamente cóncava en $U,V>0$. Esa concavidad expresa estabilidad de equilibrio frente a redistribuciones extensivas bajo el modelo ideal. No determina estabilidad orbital de una EDO ni incluye transiciones de fase, donde pueden perderse estas propiedades simples.

Derivada material y forma de volumen

Para una región material $D_t$ transportada por un flujo $v$, la fórmula de transporte da

$$\frac d{dt}\int_{D_t}\rho\,\mu =\int_{D_t}(\partial_t\rho+\operatorname{div}(\rho v))\mu.$$

La conservación de masa exige que el integrando se anule. Es equivalente a

$$\frac{D\rho}{Dt}+\rho\operatorname{div}v=0, \qquad \frac D{Dt}=\partial_t+v\cdot\nabla.$$

La formulación con derivada de Lie se extiende a variedades y coordenadas móviles. El volumen usado debe declararse: una forma de volumen métrica, una densidad de referencia u otra medida física producen divergencias asociadas diferentes.

Transformación de Legendre mecánica

Para un lagrangiano $L:TQ\to\mathbb R$, el momento es

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}.$$

Si la Hessiana respecto de velocidades es no degenerada, esta transformación lleva localmente $TQ$ a $T^*Q$. El Hamiltoniano se define por

$$H(q,p)=p_i\dot q^i-L(q,\dot q)$$

después de expresar $\dot q$ en función de $(q,p)$. Para

$$L=\frac12m_{ij}(q)\dot q^i\dot q^j-V(q),$$

se obtiene $p_i=m_{ij}\dot q^j$ y

$$H=\frac12m^{ij}p_ip_j+V.$$

Si la Hessiana es singular, no puede despejarse toda velocidad; aparecen restricciones y la formulación requiere un análisis adicional. La mera introducción de símbolos $p_i$ no garantiza un sistema hamiltoniano regular.

Elevación cotangente de una simetría

Un difeomorfismo $F:Q\to Q$ se eleva canónicamente a $T^*Q$ mediante

$$(q,p)\longmapsto \left(F(q),(dF_q^{-1})^*p\right).$$

Esta elevación preserva la uno-forma tautológica y, por tanto, la forma simpléctica. Para una rotación de la configuración euclidiana, los momentos se rotan covariantemente y el momento angular conserva su interpretación.

La construcción explica por qué las coordenadas canónicas no son arbitrarias: una transformación general de las cuatro variables puede conservar volumen sin preservar $\omega$. Las transformaciones procedentes de cambios de configuración sí poseen una elevación simpléctica natural.

En términos físicos, cambiar coordenadas de configuración transforma velocidades de forma contravariante y momentos como covectores. El emparejamiento $p_i\,dq^i$ permanece invariante. Este control reconcilia unidades y leyes de transformación antes de derivar las ecuaciones canónicas.

Procedimiento de modelado

1. Separar configuración, espacio de fases y espacio-tiempo.
2. Declarar la estructura: temporal galileana, simpléctica, métrica o de contacto.
3. Identificar variables intensivas, extensivas y unidades.
4. Derivar el campo dinámico desde $H$, un balance o una ley constitutiva.
5. Verificar conservación mediante derivada de Lie o forma integral.
6. Comprobar el límite y las simetrías de marco.
7. No transferir conclusiones entre estructuras distintas sin una relación demostrada.

Ejercicios de mecánica y termodinámica

1. Verifica que una transformación galileana preserva $dt$ y distancias simultáneas.
2. Reescribe la caída en un potencial uniforme como geodésica de una conexión newtoniana.
3. Deriva las ecuaciones de Hamilton para un péndulo y localiza sus puntos críticos.
4. Prueba que el flujo hamiltoniano preserva $\omega$ mediante la fórmula de Cartan.
5. Calcula tres corchetes de Poisson canónicos y verifica Jacobi en un caso no trivial.
6. Deriva la forma integral de conservación de masa mediante Stokes.
7. Construye la forma de contacto para la energía libre de Helmholtz.
8. Distingue estabilidad termodinámica Hessiana y estabilidad dinámica de un equilibrio.

La formulación geométrica aclara qué se conserva y por qué: la mecánica hamiltoniana preserva una forma simpléctica; la gravedad newtoniana puede codificarse en una conexión; los fluidos obedecen balances; la termodinámica de equilibrio usa relaciones de contacto y convexidad. Son estructuras relacionadas, pero no intercambiables.