Álgebra tensorial y dualidad

Un vector codifica una dirección y magnitud dentro de un espacio vectorial. Un covector mide vectores linealmente. Los tensores generalizan ambas funciones y permiten expresar leyes que no dependen de la base. Los índices son una notación de componentes; el objeto tensorial es la aplicación multilineal que esas componentes representan.

Espacio dual y base dual

Para un espacio vectorial finito $V$, su dual es

$$V^*=\operatorname{Hom}(V,\mathbb R).$$

Si $\{e_i\}$ es una base de $V$, la base dual $\{\varepsilon^i\}$ queda definida por

$$\varepsilon^i(e_j)=\delta^i_j.$$

Un vector y un covector se expresan como $v=v^ie_i$ y $\alpha=\alpha_i\varepsilon^i$, y su emparejamiento es $\alpha(v)=\alpha_iv^i$. Si $e'_a=A^i{}_a e_i$, las componentes vectoriales cumplen $v'^a=(A^{-1})^a{}_iv^i$, mientras

$$\varepsilon'^a=(A^{-1})^a{}_i\varepsilon^i, \qquad \alpha'_a=A^i{}_a\alpha_i.$$

Las transformaciones opuestas garantizan que $\alpha_iv^i$ sea independiente de la base.

Producto tensorial y tipos

Un tensor de tipo $(r,s)$ es un elemento de

$$T^r_s(V)=V^{\otimes r}\otimes(V^*)^{\otimes s},$$

equivalentemente, una aplicación multilineal de $r$ covectores y $s$ vectores a escalares. En una base,

$$T=T^{i_1\ldots i_r}{}_{j_1\ldots j_s} e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_r} \otimes\varepsilon^{j_1}\otimes\cdots\otimes\varepsilon^{j_s}.$$

El producto tensorial no es conmutativo en sentido literal: $v\otimes\alpha$ y $\alpha\otimes v$ pertenecen a espacios distintos. La evaluación sobre argumentos conserva su orden.

Una aplicación lineal $A:V\to V$ puede verse como tensor $(1,1)$ con componentes $A^i{}_j$. Una forma bilineal es tensor $(0,2)$. Sin una métrica no existe una identificación canónica entre $V$ y $V^*$; escribir un índice arriba o abajo expresa una diferencia matemática, no decoración tipográfica. Tong subraya esta distinción al introducir la notación de índices para la geometría relativista Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados geométricos sobre vectores, covectores, tensores y convención de suma Abrir fuente .

Contracción y traza

La contracción empareja una ranura vectorial con una covectorial. Para $T$ de tipo $(1,1)$,

$$\operatorname{tr}T=T^i{}_i.$$

Para un tensor $(2,1)$, una contracción posible es $C^j=T^{ij}{}_i$. La operación es independiente de la base porque cada índice contraído transforma con matrices inversas. No se pueden contraer de manera natural dos índices ambos covariantes sin introducir un tensor inverso adicional, como una métrica.

Simetría, antisimetría y formas

Para un tensor covariante de orden dos,

$$T_{(ij)}=\frac12(T_{ij}+T_{ji}), \qquad T_{[ij]}=\frac12(T_{ij}-T_{ji}).$$

Entonces $T=T_{(\cdot\cdot)}+T_{[\cdot\cdot]}$. En dimensión $n$, los subespacios simétrico y antisimétrico tienen dimensiones $n(n+1)/2$ y $n(n-1)/2$. Los tensores totalmente alternantes forman $\Lambda^kV^*$ y se combinan mediante el producto exterior. Para covectores,

$$(\alpha\wedge\beta)(u,v) =\alpha(u)\beta(v)-\alpha(v)\beta(u).$$

La alternancia fuerza $\alpha\wedge\alpha=0$. Estas formas serán los integrandos naturales sobre variedades orientadas.

Métrica y elevación de índices

Una forma bilineal simétrica no degenerada $g$ define

$$\flat:V\to V^*,\qquad v^\flat=g(v,\cdot).$$

Su inversa se denota $\sharp$. En componentes, $v_i=g_{ij}v^j$ y $\alpha^i=g^{ij}\alpha_j$, donde $g^{ik}g_{kj}=\delta^i_j$. Estas operaciones dependen de $g$. En una base no ortonormal, bajar un índice no consiste en copiar componentes.

Por ejemplo, si

$$[g]=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}, \qquad v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},$$

entonces $v^\flat$ tiene componentes $(4,5)$, no $(1,2)$. Como

$$[g]^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix},$$

aplicar $\sharp$ a $(4,5)$ recupera $(1,2)$.

Cálculo trabajado en dos bases

Sea $V=\mathbb R^2$ con base $e_1,e_2$ y tensor bilineal

$$B(u,v)=u^T \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}v.$$

Tomemos la nueva base $e'_1=e_1+e_2$, $e'_2=e_2$. Sus columnas forman

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.$$

Como $u=Au'$ y $v=Av'$, la matriz cambia por congruencia:

$$[B]'=A^T[B]A =\begin{pmatrix}7&4\\4&3\end{pmatrix}.$$

Para $u=e_1+2e_2$ y $v=2e_1-e_2$, las componentes nuevas son $u'=A^{-1}u=(-1,2)$ y $v'=(3,-1)$. En la base original,

$$B(u,v)=(1,2) \begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=1.$$

En la nueva base,

$$B(u,v)=(-1,2) \begin{pmatrix}7&4\\4&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=1.$$

La igualdad final es el control indispensable. Una ley de transformación aplicada sólo a la matriz, sin transformar también los argumentos, puede producir comparaciones engañosas.

Tensores sobre una variedad

En una variedad $M$, un campo tensorial asigna suavemente $T_p$ a cada punto. En coordenadas, sus componentes son funciones. Al cambiar de carta, cada índice contravariante recibe un jacobiano y cada índice covariante un jacobiano inverso. Las notas de MIT relacionan esta álgebra puntual con los fibrados tensoriales, el cotangente y las formas diferenciales Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lecciones 6–7 sobre fibrados tangente y cotangente, tensores y formas Abrir fuente .

La suavidad no puede comprobarse mirando una única lista global si no existe carta global. Se comprueba en cada trivialización local y la ley tensorial asegura concordancia en los solapamientos.

Procedimiento de verificación

Ley tensorial derivada por evaluación

Sea $T$ un tensor $(1,1)$ y $e'_a=A^i{}_ae_i$. Escribimos

$$T=T^i{}_j e_i\otimes\varepsilon^j =T'^a{}_b e'_a\otimes\varepsilon'^b.$$

Como $e_i=(A^{-1})^a{}_ie'_a$ y $\varepsilon^j=A^j{}_b\varepsilon'^b$,

$$T'^a{}_b =(A^{-1})^a{}_iT^i{}_jA^j{}_b.$$

En notación matricial, $[T]'=A^{-1}[T]A$: es una semejanza, no una congruencia. Por eso traza, determinante y polinomio característico del operador permanecen. Una forma bilineal cambia como $[B]'=A^T[B]A$ porque tiene dos ranuras vectoriales y ninguna salida vectorial. Memorizar una única regla matricial para todos los tensores conduce a errores de tipo.

La misma derivación funciona para tipo general: se sustituye cada vector de la expansión y cada covector dual, y luego se reúnen coeficientes. La ley no se postula para salvar una fórmula; se sigue de exigir que todas las evaluaciones multilineales conserven su valor.

Determinantes, orientación y símbolo alternante

Una forma de volumen $\Omega\in\Lambda^nV^*$ transforma con el determinante. Si $\Omega(e_1,\ldots,e_n)=1$, entonces

$$\Omega(e'_1,\ldots,e'_n)=\det A.$$

Una base nueva conserva orientación si $\det A>0$. El símbolo numérico $\epsilon_{i_1\ldots i_n}$, cuyos valores son $0,\pm1$, no constituye por sí solo las componentes de un tensor bajo cambios arbitrarios: es una lista ligada a la base. Al combinarlo con una forma de volumen o con $\sqrt{|g|}$ se construye el objeto geométrico apropiado.

Esta distinción se vuelve decisiva en coordenadas curvilíneas. En polares, la forma de área euclidiana es

$$dx\wedge dy=r\,dr\wedge d\theta.$$

El factor $r$ no expresa que el área física cambie al renombrar puntos; es el determinante del jacobiano entre las bases covectoriales.

Ejemplo trabajado: tensor de esfuerzos

En el plano, considere la forma bilineal simétrica

$$\sigma= \begin{pmatrix} 4&2\\ 2&1 \end{pmatrix}$$

en una base cartesiana ortonormal. La tracción sobre una línea con normal unitaria $n$ es $t=\sigma n$ una vez que la métrica identifica el tensor bilineal con un operador. Para $n=(1,0)$, $t=(4,2)$; su componente normal es $n\cdot t=4$ y la tangencial vale $2$.

Los esfuerzos principales se obtienen diagonalizando. El polinomio es

$$\lambda^2-5\lambda=0,$$

por lo que los autovalores son $5$ y $0$. Un autovector para $5$ es $(2,1)$; el ortogonal $(-1,2)$ corresponde a cero. En la base ortonormal normalizada por estas direcciones, la matriz es $\operatorname{diag}(5,0)$ y no hay esfuerzo cortante.

Si se usa una base oblicua, la matriz covariante cambia por congruencia y ya no se diagonaliza mediante una rotación ordinaria de componentes. El valor escalar $\sigma(u,v)$ permanece si argumentos y componentes se transforman de forma compatible. Además, hablar de autovalores de una forma bilineal exige la métrica que la convierte en operador; sin ella, la ecuación $\sigma v=\lambda v$ mezcla objetos de tipos distintos.

Descomposición de tensores de segundo orden

En un espacio euclidiano, un tensor covariante $T_{ij}$ puede separarse en parte esférica y desviadora:

$$T_{ij}=\frac1n(\operatorname{tr}_gT)g_{ij} +\left(T_{ij}-\frac1n(\operatorname{tr}_gT)g_{ij}\right).$$

La segunda parte tiene traza métrica cero. La fórmula se usa en mecánica continua, pero depende de $g$ para contraer. En geometría lorentziana la misma operación algebraica existe, aunque la interpretación de normas y direcciones cambia por la signatura.

Las simetrías reducen componentes y deben conservarse bajo cambios de base. Un tensor antisimétrico de orden dos en cuatro dimensiones tiene seis componentes independientes; esa cuenta explica por qué el tensor electromagnético puede reunir tres componentes eléctricas y tres magnéticas.

Aplicaciones naturales y pullback

Una aplicación lineal $L:V\to W$ induce un pullback en covectores,

$$L^*:W^*\to V^*, \qquad (L^*\alpha)(v)=\alpha(Lv).$$

La composición invierte el orden:

$$(K\circ L)^*=L^*\circ K^*.$$

Para tensores completamente covariantes, se aplica $L$ a cada argumento. Para transportar un vector hacia delante basta $L$, pero tirar de un vector hacia atrás requeriría invertir $L$ o elegir datos adicionales. Esta asimetría explica por qué las formas poseen pullback bajo cualquier aplicación suave, mientras los campos vectoriales no.

Si $B$ es una forma bilineal en $W$, entonces

$$(L^*B)(u,v)=B(Lu,Lv).$$

En matrices, $[L^*B]=[L]^T[B][L]$. Cuando $B$ es una métrica y $L$ es inyectiva, la fórmula define la métrica inducida sobre $V$. La primera forma fundamental de una superficie es exactamente el pullback de la métrica euclidiana mediante la parametrización.

Tensores decomponibles y rango

Un tensor $v\otimes\alpha$ es decomponible. Como operador, actúa por

$$(v\otimes\alpha)(w)=\alpha(w)v$$

y tiene rango a lo sumo uno. Un tensor general es suma de decomponibles, pero esa expresión no suele ser única. El producto tensorial se caracteriza por una propiedad universal: toda aplicación bilineal $B:V\times W\to U$ factoriza de manera única a través de una aplicación lineal $\widetilde B:V\otimes W\to U$.

Esta propiedad justifica que construir primero $V\otimes W$ no pierda información bilineal. También evita definir tensores como simples «arreglos multidimensionales»: dos arreglos relacionados por la ley adecuada representan el mismo tensor, mientras una lista arbitraria de números sin regla de transformación no lo representa.

Conteo de componentes

En dimensión $n$, un tensor $(r,s)$ sin simetrías tiene $n^{r+s}$ componentes. Una forma de grado $k$ tiene $\binom nk$, y un tensor simétrico covariante de grado $k$ tiene

$$\binom{n+k-1}{k}$$

componentes independientes. Para una métrica cuadridimensional son diez; para una dos-forma, seis. Las identidades algebraicas de Riemann reducen aún más sus $n^4$ entradas.

El conteo sirve como control, pero no prueba que las componentes calculadas sean independientes funcionalmente. Una simetría del espacio o una ecuación diferencial puede imponer restricciones adicionales.

1. Identificar el tipo $(r,s)$ y el orden de los argumentos.
2. Escribir la matriz de cambio con una convención explícita.
3. Transformar bases, componentes y argumentos de forma compatible.
4. Comprobar al menos una evaluación escalar en ambas bases.
5. Contraer sólo pares de tipos opuestos, salvo que se declare una métrica.
6. Verificar simetrías después del cambio de base.
7. Separar identidades tensoriales de igualdades válidas sólo en coordenadas especiales.

Ejercicios de álgebra tensorial

1. Construye la base dual de $e'_1=(1,1)$, $e'_2=(0,1)$ y verifica todas las evaluaciones $\varepsilon'^i(e'_j)$.
2. Deriva la ley de transformación de un tensor $(1,2)$.
3. Demuestra que la traza de un operador es independiente de la base.
4. Descompón una matriz $3\times3$ en partes simétrica y antisimétrica y cuenta sus componentes independientes.
5. Calcula $\alpha\wedge\beta$ para dos covectores de $\mathbb R^3$ y evalúalo sobre dos pares de vectores.
6. Para una métrica no diagonal, calcula $v^\flat$, su norma cuadrada y la recuperación mediante $\sharp$.
7. Explica por qué el determinante de las componentes de una forma bilineal no es un escalar bajo cualquier cambio de base.
8. Construye dos tensores no nulos cuyo producto tensorial tenga una contracción nula.

La utilidad del cálculo tensorial reside en su disciplina: cada índice registra cómo participa una ranura multilineal. Con esa contabilidad se podrán definir campos tensoriales, derivadas, métricas y ecuaciones físicas sin convertir una elección de coordenadas en una ley.