Torsión, curvatura e identidades de Bianchi

Para una conexión arbitraria, unas coordenadas apropiadas pueden anular en un punto la parte simétrica $\Gamma^k{}_{(ij)}$, pero la parte antisimétrica conserva la torsión. Todos los coeficientes se anulan en coordenadas normales si la torsión es cero, como ocurre para Levi-Civita. En un marco no coordenado puede anularse la forma de conexión en el punto; entonces la torsión reaparece en los coeficientes de estructura del marco. La torsión compara la derivada covariante con el corchete de Lie. La curvatura mide el defecto de conmutación de derivadas y la dependencia del transporte paralelo respecto de la curva.

Tensor de torsión

La torsión de $\nabla$ es

$$T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y].$$

Aunque cada término incluye derivadas, la combinación es lineal sobre funciones en $X$ y $Y$, por lo que $T$ es un tensor de tipo $(1,2)$. En una base coordenada,

$$T^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ij}-\Gamma^k{}_{ji}.$$

En un marco no coordenado con $[e_i,e_j]=C^k{}_{ij}e_k$,

$$T^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ij}-\Gamma^k{}_{ji}-C^k{}_{ij}.$$

Por ello la simetría de coeficientes sólo caracteriza torsión nula en una base coordenada. La conexión de Levi-Civita se define como la única conexión métrica y sin torsión.

Tensor de curvatura

Con la convención adoptada,

$$R(X,Y)Z =\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z.$$

En coordenadas,

$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} =\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\nu\sigma} -\partial_\nu\Gamma^\rho{}_{\mu\sigma} +\Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma} -\Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}.$$

El signo puede invertirse en otras fuentes; toda comparación debe declarar la convención. Para un lazo infinitesimal generado por $X,Y$, el cambio de un vector transportado es proporcional a $R(X,Y)V$ en orden de área.

Cálculo trabajado: una conexión no trivial plana

Considere $\mathbb R^2$ con coordenadas $(x,y)$ y únicos coeficientes no nulos

$$\Gamma^x{}_{xy}=\Gamma^x{}_{yx}=a,$$

donde $a$ es constante. La torsión es cero porque los índices inferiores son simétricos. Calculemos

$$R(\partial_x,\partial_y)\partial_y.$$

Se tiene $\nabla_y\partial_y=0$, mientras $\nabla_x\partial_y=a\partial_x$. Por tanto,

$$\nabla_x\nabla_y\partial_y=0, \qquad \nabla_y\nabla_x\partial_y =\nabla_y(a\partial_x)=a^2\partial_x.$$

Como $[\partial_x,\partial_y]=0$,

$$R(\partial_x,\partial_y)\partial_y=-a^2\partial_x.$$

La conexión tiene torsión nula y curvatura no nula. No es la conexión euclidiana de Levi-Civita, pese a estar definida sobre el plano como variedad. El ejemplo separa la topología del espacio de la conexión elegida.

Simetrías riemannianas y contracciones

Para Levi-Civita, el tensor completamente covariante $R_{\rho\sigma\mu\nu}=g_{\rho\lambda}R^\lambda{}_{\sigma\mu\nu}$ satisface

$$R_{\rho\sigma\mu\nu} =-R_{\sigma\rho\mu\nu} =-R_{\rho\sigma\nu\mu} =R_{\mu\nu\rho\sigma},$$

además de la primera identidad de Bianchi. El tensor de Ricci y la curvatura escalar son

$$R_{\sigma\nu}=R^\rho{}_{\sigma\rho\nu}, \qquad R=g^{\sigma\nu}R_{\sigma\nu}.$$

En dimensión dos, toda la curvatura riemanniana queda determinada por la curvatura de Gauss:

$$R_{ijkl}=K(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}).$$

Identidades de Bianchi

Para torsión nula, la primera identidad es

$$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0.$$

La segunda identidad expresa

$$(\nabla_XR)(Y,Z)+(\nabla_YR)(Z,X)+(\nabla_ZR)(X,Y)=0.$$

En índices, $\nabla_{[\lambda}R^\rho{}_{|\sigma|\mu\nu]}=0$. Contraer índices produce

$$\nabla^\mu\left(R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}\right)=0.$$

Esta identidad geométrica explica por qué el tensor de Einstein tiene divergencia covariante nula. Tong la usa para comprobar la compatibilidad de las ecuaciones gravitacionales con la conservación de energía-momento Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre tensor de Riemann, Bianchi y tensor de Einstein Abrir fuente .

Ecuaciones estructurales de Cartan

En un co-marco $\theta^a$ con formas de conexión $\omega^a{}_b$, las formas de torsión y curvatura son

$$\Theta^a=d\theta^a+\omega^a{}_b\wedge\theta^b,$$ $$\Omega^a{}_b=d\omega^a{}_b +\omega^a{}_c\wedge\omega^c{}_b.$$

Sus componentes codifican $T^a{}_{bc}$ y $R^a{}_{bcd}$. Las identidades de Bianchi toman la forma

$$D\Theta^a=\Omega^a{}_b\wedge\theta^b, \qquad D\Omega^a{}_b=0.$$

Las notas abiertas de relatividad general muestran que esta notación reduce muchos índices sin ocultar la elección del marco Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre formas de conexión, curvatura e identidades de Bianchi Abrir fuente .

Tensorialidad verificada

Para comprobar que $R$ es tensor, multipliquemos el primer argumento por una función:

$$R(fX,Y)Z =\nabla_{fX}\nabla_YZ -\nabla_Y\nabla_{fX}Z -\nabla_{[fX,Y]}Z.$$

Usando $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ y

$$[fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X,$$

el término $-Y(f)\nabla_XZ$ generado por la segunda derivada se cancela con el del corchete. Queda $R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z$. Cálculos semejantes prueban linealidad sobre funciones en las otras entradas. Omitir $-\nabla_{[X,Y]}Z$ destruiría esta propiedad en marcos no coordenados.

La misma cancelación explica por qué las derivadas parciales de $\Gamma$ y los productos $\Gamma\Gamma$ deben aparecer juntos. Ninguna parte aislada transforma tensorialmente.

Ejemplo trabajado: curvatura de la esfera

En la esfera de radio $a$ con co-marco ortonormal

$$\theta^1=a\,d\vartheta, \qquad \theta^2=a\sin\vartheta\,d\varphi,$$

la primera ecuación estructural sin torsión exige

$$d\theta^1+\omega^1{}_2\wedge\theta^2=0, \qquad d\theta^2+\omega^2{}_1\wedge\theta^1=0.$$

Como $d\theta^1=0$ y

$$d\theta^2=a\cos\vartheta\,d\vartheta\wedge d\varphi,$$

una elección compatible es

$$\omega^1{}_2=-\cos\vartheta\,d\varphi, \qquad \omega^2{}_1=\cos\vartheta\,d\varphi.$$

En dimensión dos, $\omega^1{}_2\wedge\omega^2{}_2$ no aporta y

$$\Omega^1{}_2=d\omega^1{}_2 =\sin\vartheta\,d\vartheta\wedge d\varphi =\frac1{a^2}\theta^1\wedge\theta^2.$$

Por tanto la curvatura seccional es $K=1/a^2$. El resultado es regular en los polos pese a que $d\varphi$ no lo sea allí; la forma final se interpreta en cartas regulares solapadas.

Curvatura seccional y Ricci

En una variedad riemanniana, la curvatura seccional del plano generado por vectores independientes $u,v$ es

$$K(u,v)= \frac{g(R(u,v)v,u)} {g(u,u)g(v,v)-g(u,v)^2}.$$

Para una base ortonormal $e_1,\ldots,e_n$,

$$\operatorname{Ric}(v,v) =\sum_{i=1}^n g(R(e_i,v)v,e_i).$$

Ricci es una suma de curvaturas seccionales que contienen $v$. El escalar suma Ricci sobre una base ortonormal. En dimensión mayor que tres, Ricci no determina todo Riemann: puede haber curvatura de Weyl no nula incluso en vacío de Ricci.

En una variedad de curvatura seccional constante $K$,

$$R(X,Y)Z=K(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y)$$

con la convención correspondiente. Entonces

$$\operatorname{Ric}=(n-1)Kg, \qquad R_{\mathrm{escalar}}=n(n-1)K.$$

Estas fórmulas ofrecen controles potentes para esfera, espacio euclidiano y modelos hiperbólicos.

Torsión como cierre infinitesimal

Dados dos vectores en $p$, pueden prolongarse mediante geodésicas y transporte para formar un paralelogramo infinitesimal. La torsión mide el defecto de cierre de orden de área asociado a intercambiar direcciones. Esta interpretación depende de una construcción precisa; no significa que toda figura finita que no cierre sea «torsión».

En gravedad relativista estándar se usa Levi-Civita y $T=0$. En otras teorías geométricas, una conexión métrica puede admitir torsión. La presencia matemática de torsión no demuestra que sea físicamente necesaria; hace falta especificar acción, fuentes y evidencia.

Bianchi como control diferencial

La segunda identidad puede derivarse aplicando Jacobi a los operadores $\nabla_X$ y usando que su conmutador contiene $R(X,Y)$ y una derivada en dirección $[X,Y]$. En un punto se eligen extensiones convenientes para reducir términos, pero el resultado es tensorial y vale en cualquier base.

Contraer exige usar las simetrías de Levi-Civita. La igualdad $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$ es exacta para toda métrica suave; no se obtiene al imponer las ecuaciones de Einstein. Por ello funciona como prueba de consistencia: una expresión candidata para $G$ que no tenga divergencia covariante nula contiene un error algebraico o de convención.

Ejemplo trabajado: métrica hiperbólica

En el semiplano $y>0$ con co-marco ortonormal

$$\theta^1=\frac{dx}{y}, \qquad \theta^2=\frac{dy}{y},$$

se calculan

$$d\theta^1=\theta^1\wedge\theta^2, \qquad d\theta^2=0.$$

Las ecuaciones sin torsión se satisfacen con

$$\omega^1{}_2=-\theta^1, \qquad \omega^2{}_1=\theta^1.$$

La forma de curvatura es

$$\Omega^1{}_2 =d\omega^1{}_2 =-\theta^1\wedge\theta^2.$$

Por tanto $K=-1$. Si la métrica se multiplica por una escala constante $a^2$, el co-marco se multiplica por $a$ y la curvatura pasa a $-1/a^2$. El signo negativo concuerda con la separación de geodésicas y contrasta con la esfera.

El cálculo ofrece una verificación de Bianchi en dimensión dos: $D\Omega^1{}_2$ es una tres-forma y se anula por dimensión. No sustituye la identidad general, pero sirve para comprobar signos de las formas de conexión.

Descomposición de Weyl

En dimensión $n\ge3$, Riemann puede separarse en una parte determinada por Ricci y una parte sin trazas, el tensor de Weyl. Para $n\ge4$,

$$C_{abcd} =R_{abcd} -\frac{2}{n-2} \left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right) +\frac{2R}{(n-1)(n-2)}g_{a[c}g_{d]b}.$$

Todas las contracciones de $C$ se anulan. En dimensión tres, Weyl es idénticamente cero y Riemann queda determinado por Ricci. En dimensión cuatro, puede existir $C\ne0$ con $R_{ab}=0$; la región exterior de una masa es un ejemplo gravitacional de curvatura de marea en vacío.

La descomposición diferencia curvatura asociada a contracciones locales de materia de grados libres propagantes o mareales. Esa interpretación física requiere las ecuaciones de Einstein; algebraicamente, Weyl se define para cualquier métrica pseudo-riemanniana.

Curvatura bajo producto y escala

En un producto riemanniano $M\times N$, los planos tangentes contenidos enteramente en un factor heredan su curvatura, mientras los planos mixtos tienen curvatura seccional cero. Así, $S^2\times\mathbb R$ posee secciones positivas y nulas. Ricci suma esas contribuciones y no es simplemente una constante común en todas direcciones.

Si $\widetilde g=c^2g$ con $c$ constante, la conexión de Levi-Civita conserva los mismos coeficientes, pero las curvaturas seccionales y el escalar se dividen por $c^2$. El tensor $R^a{}_{bcd}$ como operador conserva componentes en las mismas coordenadas, mientras bajar índices introduce el factor métrico. Esta aparente diferencia se resuelve registrando el tipo exacto del tensor.

Desviación geodésica

Una familia de geodésicas con separación $J$ satisface

$$\frac{D^2J}{dt^2}+R(J,\dot\gamma)\dot\gamma=0.$$

La ecuación se deriva al intercambiar derivadas covariantes en una variación y aplicar la definición de $R$. En una esfera, curvatura positiva puede hacer que geodésicas inicialmente paralelas se reencontren; en el plano permanecen a separación afín; en curvatura negativa tienden a separarse.

Esta interpretación es local y lineal en $J$. No describe automáticamente la distancia entre geodésicas muy separadas ni sustituye una solución global. En relatividad, su versión temporal expresa fuerzas de marea medibles por cuerpos en caída libre.

Auditoría de simetrías

Después de calcular $R_{abcd}$ para Levi-Civita, deben verificarse antisimetrías en cada par, simetría al intercambiar pares y Bianchi algebraica. Una falla puede provenir de la convención, pero cambiar el signo global no repara una simetría rota. Después se contrae y se comprueba que Ricci sea simétrico.

En cálculo simbólico, conviene evaluar primero puntos genéricos y luego límites coordenados. Simplificar en un polo o en un determinante nulo puede ocultar divisiones inválidas. Los escalares finales se comparan con simetrías del modelo y unidades de longitud.

Procedimiento de curvatura

1. Declarar convención de signo y tipo de base.
2. Calcular torsión incluyendo coeficientes de estructura.
3. Evaluar derivadas de $\Gamma$ y productos cuadráticos.
4. Comprobar antisimetría en los dos argumentos de $R$.
5. Si hay métrica de Levi-Civita, verificar todas las simetrías adicionales.
6. Contraer para obtener Ricci y $R$ sólo después de fijar posiciones de índices.
7. Usar Bianchi como control algebraico, no como sustituto del cálculo.

Ejercicios de torsión y curvatura

1. Demuestra que la torsión es lineal sobre funciones en ambos argumentos.
2. Calcula torsión y curvatura de una conexión con coeficientes constantes elegidos en $\mathbb R^2$.
3. Verifica que la conexión polar euclidiana tiene curvatura cero.
4. Deriva la primera identidad de Bianchi para una conexión sin torsión.
5. Cuenta las componentes independientes del tensor de Riemann en dimensión dos y tres.
6. Obtén Ricci y curvatura escalar a partir de la fórmula bidimensional con $K$ constante.
7. Calcula las formas de conexión y curvatura para un co-marco sencillo.
8. Explica por qué $\Gamma(p)=0$ no implica $R(p)=0$.

Torsión y curvatura son tensores porque aíslan defectos geométricos que sobreviven al cambio de coordenadas. Las identidades de Bianchi no son ecuaciones dinámicas adicionales; son restricciones diferenciales satisfechas por toda curvatura construida desde una conexión.