Métrica pseudo-riemanniana y conexión métrica

Una métrica pseudo-riemanniana asigna a cada punto una forma bilineal simétrica y no degenerada sobre el espacio tangente. A diferencia de una métrica riemanniana, no exige positividad. Esa modificación permite describir espacio-tiempo: vectores no nulos pueden tener norma cuadrada negativa, positiva o cero. La métrica relaciona vectores y covectores, determina una conexión canónica y permite contraer la curvatura.

Definición, signatura y volumen

Una métrica de tipo $(p,q)$ tiene, en alguna base, $p$ signos positivos y $q$ negativos. La ley de inercia de Sylvester garantiza que estos números no dependen de la base. En relatividad usaremos signatura $(-,+,+,+)$. En coordenadas,

$$g=g_{\mu\nu}\,dx^\mu\otimes dx^\nu, \qquad g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}, \qquad \det(g_{\mu\nu})\ne0.$$

La matriz inversa $g^{\mu\nu}$ satisface $g^{\mu\rho}g_{\rho\nu}=\delta^\mu_\nu$. Con ella se elevan índices. La densidad de volumen coordenada es $\sqrt{|\det g|}$ y, en una carta orientada,

$$\mathrm{vol}_g=\sqrt{|\det g|}\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n.$$

El valor absoluto es necesario en signatura indefinida. Una transformación de coordenadas cambia el determinante y el producto de diferenciales de modo compatible.

Longitud y causalidad

En una métrica riemanniana, la longitud es

$$L(\gamma)=\int\sqrt{g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt.$$

En una métrica lorentziana, una curva temporal tiene $g(\dot\gamma,\dot\gamma)<0$ y su tiempo propio es

$$\tau(\gamma)=\frac1c\int\sqrt{-g(\dot\gamma,\dot\gamma)}\,dt.$$

Los vectores nulos satisfacen $g(v,v)=0$ aunque $v\ne0$, hecho imposible en una métrica positiva. La desigualdad triangular ordinaria no define una distancia métrica global sobre espacio-tiempo. La terminología «métrica» aquí designa el campo bilineal, no necesariamente una función de distancia topológica.

Una orientación temporal selecciona de forma continua uno de los dos conos temporales. Con ella se distinguen curvas futuras y pasadas. La estructura causal global puede ser más compleja: curvas temporales cerradas o ausencia de superficies de Cauchy son posibilidades matemáticas que requieren hipótesis adicionales para excluirse.

Conexión de Levi-Civita

El teorema fundamental de geometría pseudo-riemanniana afirma que existe una única conexión $\nabla$ sin torsión y compatible con $g$:

$$T=0, \qquad \nabla g=0.$$

La fórmula de Koszul la determina:

$$\begin{aligned} 2g(\nabla_XY,Z)={}&Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)\\ &-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y]). \end{aligned}$$

En una base coordenada, donde los corchetes se anulan, se obtiene

$$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} =\frac12g^{\rho\sigma} (\partial_\mu g_{\sigma\nu} +\partial_\nu g_{\sigma\mu} -\partial_\sigma g_{\mu\nu}).$$

Esta derivación muestra por qué las primeras derivadas de la métrica gobiernan el transporte. Tong usa la compatibilidad y la torsión nula para obtener la misma fórmula antes de construir curvatura Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre métrica, conexión de Levi-Civita y símbolos de Christoffel Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: métrica polar euclidiana

Partimos de

$$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2, \quad [g_{ij}]=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^2\end{pmatrix}, \quad [g^{ij}]=\begin{pmatrix}1&0\\0&r^{-2}\end{pmatrix}.$$

La única derivada métrica no nula es $\partial_rg_{\theta\theta}=2r$. La fórmula de Levi-Civita da

$$\Gamma^r{}_{\theta\theta} =-\frac12\partial_rg_{\theta\theta}=-r,$$ $$\Gamma^\theta{}_{r\theta} =\Gamma^\theta{}_{\theta r} =\frac12g^{\theta\theta}\partial_rg_{\theta\theta} =\frac1r.$$

Calculemos $R^r{}_{\theta r\theta}$:

$$R^r{}_{\theta r\theta} =\partial_r\Gamma^r{}_{\theta\theta} -\partial_\theta\Gamma^r{}_{r\theta} +\Gamma^r{}_{r\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\theta\theta} -\Gamma^r{}_{\theta\lambda}\Gamma^\lambda{}_{r\theta}.$$

Los términos son $-1$, $0$, $0$ y $-(-r)(1/r)=+1$, por lo que el resultado es cero. Los coeficientes no nulos se cancelan en la curvatura, como debe ocurrir en el plano.

Ejemplo trabajado: esfera redonda

Para una esfera de radio $R$,

$$ds^2=R^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta\,d\varphi^2).$$

Las componentes inversas son $g^{\vartheta\vartheta}=R^{-2}$ y $g^{\varphi\varphi}=(R^2\sin^2\vartheta)^{-1}$. Los coeficientes no nulos son

$$\Gamma^\vartheta{}_{\varphi\varphi} =-\sin\vartheta\cos\vartheta, \qquad \Gamma^\varphi{}_{\vartheta\varphi} =\Gamma^\varphi{}_{\varphi\vartheta}=\cot\vartheta.$$

Una componente de Riemann es

$$R^\vartheta{}_{\varphi\vartheta\varphi} =\sin^2\vartheta.$$

Al bajar el primer índice,

$$R_{\vartheta\varphi\vartheta\varphi} =R^2\sin^2\vartheta.$$

Como $\det g=R^4\sin^2\vartheta$, la curvatura de Gauss es

$$K=\frac{R_{\vartheta\varphi\vartheta\varphi}}{\det g} =\frac1{R^2}.$$

En dimensión dos, $R_{ij}=Kg_{ij}$ y la curvatura escalar es $\mathcal R=2K=2/R^2$. La singularidad aparente de $\cot\vartheta$ en los polos pertenece a la carta; $K$ permanece finita y constante.

Riemann, Ricci y Einstein

Para Levi-Civita, la curvatura satisface simetrías que reducen sus componentes independientes. El tensor de Ricci y el escalar son

$$R_{\mu\nu}=R^\rho{}_{\mu\rho\nu}, \qquad R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}.$$

El tensor de Einstein es

$$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12Rg_{\mu\nu}.$$

La identidad de Bianchi contraída da $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$. En dos dimensiones, $R_{\mu\nu}=\tfrac12Rg_{\mu\nu}$ y, por tanto, $G_{\mu\nu}=0$ idénticamente. Este hecho no implica que toda superficie sea plana; implica que el tensor de Einstein no distingue su curvatura en dimensión dos.

Divergencia y laplaciano geométricos

La divergencia de un campo es

$$\nabla_\mu X^\mu =\frac1{\sqrt{|g|}}\partial_\mu(\sqrt{|g|}X^\mu),$$

donde $g=\det(g_{\mu\nu})$. Para una función,

$$\Delta_g f=\nabla_\mu\nabla^\mu f =\frac1{\sqrt{|g|}}\partial_\mu (\sqrt{|g|}g^{\mu\nu}\partial_\nu f).$$

En signatura lorentziana, el operador análogo es hiperbólico y suele llamarse d’Alembertiano. La misma fórmula coordinada cambia de carácter por los signos de $g^{\mu\nu}$.

En la esfera,

$$\Delta f=\frac1{R^2\sin\vartheta} \partial_\vartheta(\sin\vartheta\,\partial_\vartheta f) +\frac1{R^2\sin^2\vartheta}\partial_\varphi^2f.$$

La expresión combina la métrica inversa con el elemento de volumen; omitir este último perdería el término $\cot\vartheta\,\partial_\vartheta f$.

Métricas conformes

Si $\widetilde g=e^{2\sigma}g$, los ángulos se conservan en geometría riemanniana y los conos nulos se conservan en geometría lorentziana. Las longitudes y la conexión cambian. Para una curva nula, $\widetilde g(v,v)=e^{2\sigma}g(v,v)=0$; para una temporal, el tiempo propio adquiere el factor $e^\sigma$.

En dos dimensiones, la curvatura gaussiana transformada obedece

$$\widetilde K=e^{-2\sigma}(K-\Delta_g\sigma).$$

Así, conservar ángulos no equivale a conservar curvatura. Las notas abiertas de relatividad general exploran las métricas como datos variables y la dependencia de Levi-Civita respecto de ellas Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados de geometría diferencial sobre métrica, conexión de Levi-Civita y transformaciones conformes Abrir fuente .

Isometrías y campos de Killing

Una isometría $F:(M,g)\to(M,g)$ satisface $F^*g=g$. Una familia continua de isometrías generada por $X$ cumple

$$\mathcal L_Xg=0.$$

En componentes, la ecuación de Killing es

$$\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=0.$$

Si $\gamma$ es geodésica con velocidad $U$, entonces

$$\frac d{d\lambda}g(X,U) =g(\nabla_UX,U)+g(X,\nabla_UU)=0.$$

El primer término se anula al contraer la ecuación de Killing con $U^\mu U^\nu$ y el segundo por geodesia. Cada simetría métrica produce una cantidad conservada. En Minkowski, las traslaciones generan energía y momento; las rotaciones generan momento angular. En una métrica estática, el campo temporal de Killing produce una energía conservada, aunque su interpretación y normalización dependan de la región.

La ecuación de Killing es sobredeterminada. Una métrica genérica puede no poseer campos de Killing no triviales. Encontrar componentes independientes del tiempo en una carta sugiere una simetría, pero debe verificarse que la carta cubra la región y que el campo sea geométricamente regular.

Marcos ortonormales y conexión

Un co-marco $\theta^a$ permite escribir

$$g=\eta_{ab}\theta^a\otimes\theta^b$$

con matriz constante $\eta_{ab}$, euclidiana o lorentziana. La variación geométrica pasa a las formas de conexión $\omega^a{}_b$. Para Levi-Civita,

$$d\theta^a+\omega^a{}_b\wedge\theta^b=0,$$

y compatibilidad métrica implica $\omega_{ab}=-\omega_{ba}$. La curvatura es

$$\Omega^a{}_b=d\omega^a{}_b +\omega^a{}_c\wedge\omega^c{}_b.$$

Esta técnica reduce la inversión reiterada de matrices y hace visibles las simetrías internas. Sin embargo, un co-marco puede ser singular donde una coordenada degenera. Los resultados tensoriales deben extenderse mediante otro marco.

Ejemplo trabajado: métrica conforme plana

Considere en dos dimensiones

$$g=e^{2\sigma(x,y)}(dx^2+dy^2).$$

La matriz inversa es $e^{-2\sigma}I$ y $\sqrt{\det g}=e^{2\sigma}$. La fórmula conforme con $K_{\mathrm{plano}}=0$ da

$$K=-e^{-2\sigma}(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}).$$

Tomemos $\sigma=-\log y$ en $y>0$. Entonces $\sigma_{xx}=0$ y $\sigma_{yy}=1/y^2$, mientras $e^{-2\sigma}=y^2$. Por tanto,

$$K=-1.$$

Se recupera el semiplano hiperbólico

$$ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}.$$

La métrica es conforme a la euclidiana y conserva ángulos locales, pero su curvatura es negativa constante y la frontera $y=0$ queda a distancia infinita. El ejemplo prueba con una función concreta que conformidad no implica planitud.

Ejemplo trabajado: espacio-tiempo de expansión homogénea

Una métrica cosmológica espacialmente plana simplificada es

$$ds^2=-c^2dt^2+a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2).$$

$a(t)>0$ es el factor de escala. Las componentes no nulas de Levi-Civita incluyen

$$\Gamma^0{}_{ij}=\frac{a\dot a}{c^2}\delta_{ij}, \qquad \Gamma^i{}_{0j}=\Gamma^i{}_{j0} =\frac{\dot a}{a}\delta^i_j.$$

Con $H=\dot a/a$, el escalar de curvatura, para las convenciones habituales, es

$$R=\frac{6}{c^2}\left(\frac{\ddot a}{a}+H^2\right).$$

Si $a$ es constante, los coeficientes y la curvatura se anulan y aparece Minkowski tras reescalar coordenadas espaciales. Si $a=e^{H_0t}$ con $H_0$ constante, entonces $R=12H_0^2/c^2$. La expansión no se deduce de que puntos materiales se muevan en un espacio ambiente; está codificada en la distancia propia entre observadores comóviles.

Para una geodésica comóvil $x,y,z$ constantes, $d\tau=dt$. Una señal nula radial satisface

$$\frac{dx}{dt}=\pm\frac{c}{a(t)}.$$

La distancia coordenada recorrida depende de la integral de $1/a(t)$. Este cálculo distingue velocidad local de la luz, siempre $c$ para un observador inercial local, de velocidad coordenada.

Desviación geodésica y Ricci

Para una congruencia geodésica, el tensor de Riemann gobierna la aceleración relativa. Ricci aparece al promediar las desviaciones en direcciones ortogonales. En una variedad riemanniana, para un vector unitario $U$,

$$\operatorname{Ric}(U,U) =\sum_{a=2}^n g(R(e_a,U)U,e_a)$$

en una base ortonormal que contiene $U$. Ricci positivo tiende a enfocar geodésicas bajo hipótesis adicionales; la ecuación completa de Raychaudhuri incluye expansión, cizalla, rotación y aceleración.

En signatura lorentziana, la ecuación para una congruencia temporal geodésica es

$$\frac{d\Theta}{d\tau} =-\frac13\Theta^2-\sigma_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu} +\omega_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu} -R_{\mu\nu}U^\mu U^\nu.$$

Interpretar el signo exige convenciones y condiciones de energía. La fórmula no autoriza a inferir una singularidad global a partir de un valor local sin las hipótesis de un teorema de enfoque.

Hodge y signatura

La métrica induce un producto sobre formas y el operador de Hodge. Para una $k$-forma en dimensión $n$ y signatura con $q$ signos negativos,

$$\star\star\alpha=(-1)^{k(n-k)+q}\alpha$$

con la convención correspondiente. En cuatro dimensiones lorentzianas, esta señal afecta la descomposición de dos-formas y la escritura de Maxwell. La forma de volumen también fija una orientación; cambiarla cambia $\star$ aunque no cambie $g$.

El d’Alembertiano de una función es $\Box_gf=\nabla_\mu\nabla^\mu f$. Su parte principal tiene un signo temporal opuesto a los espaciales, por lo que plantea un problema de evolución hiperbólico. El laplaciano riemanniano, en cambio, es elíptico. Una misma notación de índices contiene tipos analíticos distintos debido a la signatura.

Invariantes y singularidades

Una componente que diverge puede señalar una carta deficiente. Para decidir si la geometría es singular se calculan escalares como $R$, $R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ o el escalar de Kretschmann. Que todos los escalares polinomiales permanezcan finitos tampoco garantiza por sí solo completitud geodésica; la definición global exige estudiar si las geodésicas pueden extenderse.

El determinante de la matriz métrica debe permanecer no nulo dentro de la variedad. Si cambia la signatura atravesando un punto donde $\det g=0$, ya no se trata de una métrica pseudo-riemanniana suave ordinaria en ese punto. Una coordenada puede producir determinante cero por fallo de carta, como las polares en el origen; se distingue comprobando otra carta regular.

Derivación trabajada: conservación del volumen

Para Levi-Civita, $\nabla_\mu g_{\alpha\beta}=0$ implica

$$\Gamma^\rho{}_{\rho\mu} =\partial_\mu\log\sqrt{|g|}.$$

Entonces

$$\nabla_\mu X^\mu =\partial_\mu X^\mu+\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}X^\nu =\frac1{\sqrt{|g|}}\partial_\mu(\sqrt{|g|}X^\mu).$$

Integrar y aplicar Stokes produce

$$\int_D\nabla_\mu X^\mu\,\mathrm{vol}_g =\int_{\partial D}\iota_X\mathrm{vol}_g.$$

La identidad justifica el factor $\sqrt{|g|}$ y enlaza la divergencia covariante con un balance de frontera. En una carta cartesiana plana, el factor vale uno y se recupera la fórmula elemental.

Condiciones iniciales y observadores

En una variedad lorentziana, un observador ideal es una curva temporal futura normalizada por $g(U,U)=-c^2$. El subespacio de vectores ortogonales a $U$ representa su espacio local simultáneo. El proyector espacial es

$$h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}+\frac1{c^2}U_\mu U_\nu.$$

Satisface $h_{\mu\nu}U^\nu=0$ y es positivo definido sobre las direcciones espaciales del observador. Un tensor puede descomponerse en componentes temporales, flujos y tensiones respecto de $U$; otro observador obtiene una descomposición distinta del mismo objeto.

Para plantear una geodésica temporal se eligen $p$ y $U_p$ normalizado. Para una geodésica nula se elige un vector nulo y un parámetro afín, cuya escala no es única. Estas condiciones iniciales son geométricas; imponer simultáneamente componentes incompatibles puede violar la normalización antes de integrar.

Ejemplo trabajado: descomposición de un vector

Sea Minkowski y un observador $U=\gamma(c,v,0,0)$. Para cualquier cuadrivector $A$, su parte temporal medida es

$$A_{\parallel}=-\frac{g(A,U)}{c^2}U,$$

y la espacial es $A_\perp=A-A_{\parallel}$. Se verifica $g(A_\perp,U)=0$. Si $A=P$ es el cuatro-momento de una partícula y $g(U,U)=-c^2$, la energía medida por el observador es $E_U=-g(P,U)$. Si se usa el vector normalizado $u=U/c$, entonces la misma relación se escribe $E_U=-c\,g(P,u)$.

La descomposición prueba que «espacial» no es una propiedad absoluta de un vector general: depende del observador seleccionado. En cambio, ser temporal, nulo o espacial según el signo de $g(A,A)$ sí es invariante.

Controles de cálculo

1. Fijar orden de coordenadas, signatura y convención de Riemann.
2. Invertir $g_{\mu\nu}$ y comprobar $g^{\mu\rho}g_{\rho\nu}=\delta^\mu_\nu$.
3. Calcular sólo las derivadas métricas no nulas.
4. Usar simetría $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}$.
5. Evaluar Riemann y verificar sus simetrías.
6. Contraer con atención a la posición de índices.
7. Probar un caso plano, un caso de curvatura conocida y una cantidad escalar.
8. Separar divergencias coordenadas de divergencias de invariantes.

Ejercicios de geometría métrica

1. Deriva la fórmula de Levi-Civita a partir de compatibilidad métrica y torsión nula.
2. Calcula conexión y curvatura para $ds^2=dx^2+f(x)^2dy^2$.
3. Demuestra que la rapidez de una geodésica de Levi-Civita es constante.
4. Obtén la forma de volumen y el laplaciano de la esfera.
5. Verifica que $G_{ij}=0$ para toda métrica bidimensional.
6. Clasifica vectores causales para una métrica lorentziana diagonal no constante.
7. Calcula cómo cambia el tiempo propio bajo una transformación conforme.
8. Usa un sistema algebraico sólo como verificación para una componente de Riemann y documenta la convención.

La métrica aporta medición, dualidad y causalidad; Levi-Civita aporta derivación y transporte sin torsión compatible con esa medición. Curvatura, Ricci y Einstein son construcciones posteriores. Mantener este orden evita atribuir significado tensorial a símbolos de conexión aislados.