Curvas y superficies en E³

Las curvas y superficies de $\mathbb R^3$ permiten aprender geometría diferencial con operaciones conocidas: derivadas, productos escalares y determinantes. Lo decisivo es distinguir lo que depende de una parametrización de lo que pertenece al objeto geométrico. La rapidez de una curva cambia al recorrerla con otro reloj; su longitud y su curvatura en un punto regular no. Una superficie admite muchas cartas; su métrica inducida y su curvatura de Gauss se transforman de manera coherente.

Curvas regulares y longitud de arco

Una curva parametrizada es una aplicación suave $\gamma:I\to\mathbb R^3$. Es regular si $\gamma'(t)\ne0$ para todo $t\in I$. Su longitud entre $a$ y $b$ es

$$L(\gamma)=\int_a^b\|\gamma'(t)\|\,dt.$$

Si $t=\phi(u)$ es un cambio de parámetro creciente y regular, la regla de la cadena y el cambio de variable conservan $L$. El parámetro de arco

$$s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du$$

satisface $ds/dt=\|\gamma'(t)\|$. Cuando se usa $s$, el vector tangente unitario es $T=d\gamma/ds$ y cumple $\|T\|=1$.

Triedro de Frenet, curvatura y torsión

Derivar $T\cdot T=1$ da $T'\cdot T=0$. Si $T'(s)\ne0$, la curvatura y la normal principal se definen por

$$\kappa=\left\|\frac{dT}{ds}\right\|, \qquad N=\frac{1}{\kappa}\frac{dT}{ds}.$$

El binormal es $B=T\times N$. Las ecuaciones de Frenet–Serret son

$$T'=\kappa N, \qquad N'=-\kappa T+\tau B, \qquad B'=-\tau N.$$

La torsión $\tau$ mide la rotación del plano osculador. Para un parámetro cualquiera,

$$\kappa=\frac{\|\gamma'\times\gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}, \qquad \tau=\frac{\det(\gamma',\gamma'',\gamma''')}{\|\gamma'\times\gamma''\|^2},$$

si los denominadores no se anulan. Una recta tiene $\kappa=0$ y no posee un triedro de Frenet único; esa degeneración debe declararse.

Cálculo trabajado: hélice circular

Sea $\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$, con $a>0$. Entonces

$$\gamma'=(-a\sin t,a\cos t,b), \quad \|\gamma'\|=\sqrt{a^2+b^2},$$ $$\gamma''=(-a\cos t,-a\sin t,0), \quad \gamma'\times\gamma''=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2).$$

Por tanto,

$$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}.$$

Como $\gamma'''=(a\sin t,-a\cos t,0)$ y

$$\det(\gamma',\gamma'',\gamma''')=a^2b,$$

se obtiene

$$\tau=\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Ambos invariantes son constantes. Si $b=0$, la curva es un círculo plano y $\tau=0$; si $a$ disminuye con $b$ fijo, la curvatura tiende a cero y la hélice se aproxima localmente a una recta vertical.

Superficies regulares y plano tangente

Una parametrización regular es una aplicación $X:U\subset\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ tal que $X_u$ y $X_v$ son linealmente independientes. El plano tangente está generado por ellos y la normal unitaria es

$$n=\frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|}.$$

La primera forma fundamental mide longitudes y ángulos tangentes:

$$I=E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2,$$

donde $E=X_u\cdot X_u$, $F=X_u\cdot X_v$ y $G=X_v\cdot X_v$. Para una curva superficial $\alpha(t)=X(u(t),v(t))$,

$$\|\alpha'\|^2=E\dot u^2+2F\dot u\dot v+G\dot v^2.$$

El elemento de área es $dA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$. La condición $EG-F^2>0$ expresa regularidad métrica.

Segunda forma y operador de forma

La derivada de la normal define el operador de forma $S_p(v)=-dn_p(v)$. Sus autovalores $k_1,k_2$ son las curvaturas principales. En coordenadas, la segunda forma fundamental es

$$II=e\,du^2+2f\,du\,dv+g\,dv^2,$$

con $e=X_{uu}\cdot n$, $f=X_{uv}\cdot n$ y $g=X_{vv}\cdot n$. La curvatura normal en una dirección tangente $w$ es

$$k_n(w)=\frac{II(w,w)}{I(w,w)}.$$

La curvatura de Gauss y la media son

$$K=k_1k_2=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}, \qquad H=\frac{k_1+k_2}{2} =\frac{Eg-2Ff+Ge}{2(EG-F^2)}.$$

Cambiar la orientación $n\mapsto-n$ cambia el signo de $II$, $k_i$ y $H$, pero conserva $K$. El teorema egregio de Gauss afirma que $K$ se determina sólo con la primera forma y sus derivadas, aunque la definición anterior use la normal ambiente. Las notas de MIT desarrollan esta separación entre geometría intrínseca y extrínseca Seidel, 2008 Paul Seidel (2008) Differential Geometry, 18.950 Notas y problemas del curso · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: notas sobre primera y segunda forma fundamental, operador de forma y curvatura de Gauss Abrir fuente .

Direcciones principales y fórmula de Euler

El operador de forma es autoadjunto respecto de la primera forma fundamental. En un punto no umbílico admite, por tanto, una base ortonormal de direcciones principales $e_1,e_2$. Si un vector tangente unitario forma un ángulo $\theta$ con $e_1$,

$$w=\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_2,$$

la fórmula de Euler da

$$k_n(w)=k_1\cos^2\theta+k_2\sin^2\theta.$$

Así, las curvaturas principales son los valores extremos de la curvatura normal. En un punto umbílico, $k_1=k_2$ y todas las direcciones son principales; elegir una dirección privilegiada allí sería un artefacto de coordenadas. Donde $k_1\ne k_2$, integrar localmente cada campo de direcciones produce las líneas de curvatura.

La fórmula también separa la curvatura de una curva espacial de la curvatura impuesta por la superficie. Si $N_c$ es la normal principal de una curva contenida en la superficie y $\varphi$ es el ángulo entre $N_c$ y la normal superficial, el teorema de Meusnier expresa $k_n=\kappa\cos\varphi$. Por ejemplo, en un cilindro de radio $R$, una dirección axial tiene $k_n=0$ y una dirección circular tiene $|k_n|=1/R$; una dirección intermedia combina ambos valores mediante la fórmula de Euler. El signo depende de la orientación elegida, pero los extremos y su producto geométrico se verifican sin ambigüedad.

Cálculo trabajado: cilindro circular

Parametricemos el cilindro de radio $R$ por

$$X(u,v)=(R\cos u,R\sin u,v).$$

Se tiene $X_u=(-R\sin u,R\cos u,0)$, $X_v=(0,0,1)$ y podemos elegir $n=(\cos u,\sin u,0)$. Entonces

$$E=R^2,\quad F=0,\quad G=1,$$

y

$$e=X_{uu}\cdot n=-R, \quad f=0, \quad g=0.$$

Con esta orientación, $k_1=-1/R$, $k_2=0$, $K=0$ y $H=-1/(2R)$. El cilindro se curva en el espacio, pero su curvatura intrínseca es cero. Al cortar una generatriz puede desplegarse isométricamente en un plano: $I=R^2du^2+dv^2$ se vuelve $dx^2+dv^2$ con $x=Ru$.

Procedimiento de cálculo geométrico

Curvatura de curvas sobre superficies

Si una curva de rapidez unitaria $\alpha(s)$ está contenida en una superficie orientada, su aceleración se descompone en las direcciones normal y tangente a la superficie:

$$\alpha''(s)=k_n n+k_g(n\times T).$$

$k_n$ es la curvatura normal y $k_g$ la curvatura geodésica con signo. Como $\alpha''\perp T$,

$$\kappa^2=k_n^2+k_g^2.$$

La fórmula de Meusnier identifica $k_n=II(T,T)$ para $T$ unitario. Una curva es geodésica cuando $k_g=0$: su aceleración ambiente, si existe, es completamente normal a la superficie. Esto explica por qué un círculo máximo de una esfera es geodésico aunque su curvatura ambiente sea $1/R$. Un paralelo de latitud tiene una componente tangente y no es geodésico salvo en el ecuador.

En el cilindro, una hélice que se vuelve recta al desplegar la superficie tiene $k_g=0$. Su curvatura ambiente no desaparece, porque el cilindro está curvado extrínsecamente. La distinción entre $k_g$ y $k_n$ permite estudiar trayectorias intrínsecas sin confundirlas con rectas de $\mathbb R^3$.

Mapa de Gauss y puntos elípticos

El mapa de Gauss $N:S\to S^2$ asigna a cada punto la normal unitaria. Su diferencial es $dN_p=-S_p$, donde $S_p$ es el operador de forma. Por tanto,

$$\det(dN_p)=\det(S_p)=K(p)$$

una vez fijadas orientaciones compatibles. Si $K>0$, las curvaturas principales tienen el mismo signo y el punto es elíptico; si $K<0$, tienen signos opuestos y el punto es hiperbólico; si $K=0$, al menos una dirección principal es plana y el punto es parabólico o plano según el rango.

En un punto hiperbólico existen dos direcciones asintóticas no nulas con $II(w,w)=0$. En un punto elíptico no existen. Esta clasificación es local y no decide por sí sola la topología completa de la superficie. Un toro estándar presenta zonas de los tres tipos, mientras la esfera redonda sólo tiene puntos elípticos.

Segundo ejemplo trabajado: paraboloide hiperbólico

Considere el gráfico

$$X(u,v)=(u,v,u^2-v^2).$$

En el origen,

$$X_u=(1,0,0), \qquad X_v=(0,1,0), \qquad n=(0,0,1).$$

Así, $E=G=1$, $F=0$. Las segundas derivadas son

$$X_{uu}=(0,0,2), \quad X_{uv}=0, \quad X_{vv}=(0,0,-2),$$

de modo que $e=2$, $f=0$, $g=-2$. El operador de forma en esa base es diagonal con autovalores $k_1=2$ y $k_2=-2$. Por tanto,

$$K=-4, \qquad H=0$$

en el origen. Las direcciones $w=(a,b)$ con curvatura normal cero satisfacen

$$II(w,w)=2a^2-2b^2=0,$$

es decir, $a=\pm b$. Coinciden con las direcciones de las rectas contenidas en la superficie, $(t,t,0)$ y $(t,-t,0)$. El cálculo reúne signo de $K$, direcciones asintóticas y geometría visible sin deducirlos únicamente del dibujo.

Superficies mínimas y curvatura media

Una superficie es mínima si $H=0$. La condición significa que es punto crítico del área frente a variaciones compactamente soportadas, no que posea área global mínima entre todas las superficies con la misma frontera. El plano y el helicoide son mínimos; la esfera no lo es. El paraboloide hiperbólico tiene $H=0$ sólo en puntos particulares, no en toda la superficie.

Para un gráfico $z=f(x,y)$ con pendientes pequeñas, la ecuación mínima

$$\operatorname{div}\left( \frac{\nabla f}{\sqrt{1+|\nabla f|^2}} \right)=0$$

se aproxima por $f_{xx}+f_{yy}=0$. Esta linealización es útil, pero una función armónica con gradiente grande no satisface automáticamente la ecuación no lineal completa.

Curvatura total y topología

Para una región compacta orientada $D$ de una superficie, con frontera suave por tramos, Gauss–Bonnet relaciona la curvatura de Gauss, la curvatura geodésica y los ángulos exteriores:

$$\int_DK\,dA+\int_{\partial D}k_g\,ds +\sum_j\alpha_j=2\pi\chi(D).$$

$\chi(D)$ es la característica de Euler. En una superficie compacta sin frontera,

$$\int_SK\,dA=2\pi\chi(S).$$

Para la esfera, $K=1/R^2$ y el área es $4\pi R^2$, así que la integral vale $4\pi$ y $\chi(S^2)=2$. En el toro, $\chi(T^2)=0$; la curvatura positiva de la zona exterior debe compensarse con la negativa de la zona interior. El teorema no afirma que $K$ sea constante ni determina la forma de la inclusión.

Un triángulo geodésico en la esfera tiene $k_g=0$ en sus lados. Su exceso angular respecto de $\pi$ es igual a $\int_DK\,dA$. Para una esfera redonda, el exceso dividido entre el área da $1/R^2$. Esta medición permite recuperar curvatura intrínseca mediante longitudes y ángulos sobre la superficie, sin consultar la normal ambiente.

Ecuaciones de Gauss y Weingarten

Al derivar los vectores tangentes de una parametrización, el resultado se separa en parte tangente y normal:

$$X_{ij}=\Gamma^k{}_{ij}X_k+h_{ij}n.$$

Los coeficientes $\Gamma^k{}_{ij}$ son los de Levi-Civita de la primera forma y $h_{ij}$ son los de la segunda. Al derivar la normal,

$$n_i=-h_i{}^kX_k.$$

Esta ecuación de Weingarten carece de parte normal porque $n\cdot n=1$ implica $n_i\cdot n=0$. Las dos fórmulas permiten derivar relaciones de compatibilidad al igualar derivadas mixtas.

La ecuación de Gauss expresa la curvatura intrínseca mediante la segunda forma:

$$R_{ijkl}=h_{ik}h_{jl}-h_{il}h_{jk}$$

para una superficie en espacio euclidiano, con convención coherente. Al dividir por el determinante de la primera forma se recupera

$$K=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}.$$

Las ecuaciones de Codazzi controlan las derivadas covariantes de $h$:

$$\nabla_i h_{jk}=\nabla_j h_{ik}.$$

Primera y segunda forma no pueden elegirse arbitrariamente; deben satisfacer Gauss–Codazzi para proceder de una superficie local.

Ejemplo trabajado: curvatura del gráfico en un crítico

Sea $X(x,y)=(x,y,f(x,y))$ y supongamos $\nabla f(0,0)=0$. En el origen,

$$E=G=1,\qquad F=0,\qquad n=(0,0,1).$$

La matriz de la segunda forma coincide con la Hessiana:

$$[II]= \begin{pmatrix} f_{xx}&f_{xy}\\ f_{xy}&f_{yy} \end{pmatrix}_{(0,0)}.$$

Por tanto,

$$K(0,0)=\det D^2f(0,0), \qquad H(0,0)=\frac12\operatorname{tr}D^2f(0,0).$$

Para $f=x^2+y^2$, se obtiene $K=4$ y $H=2$ con la orientación superior. Para $f=x^2-y^2$, $K=-4$ y $H=0$. Un mínimo estricto con Hessiana positiva produce un punto elíptico; una silla no degenerada produce uno hiperbólico. Lejos del crítico aparecen factores dependientes de $\nabla f$, por lo que la Hessiana sola ya no da directamente las curvaturas principales.

Variación de área

Si una superficie se deforma en dirección normal con velocidad $\phi n$, la primera variación de área, para variaciones compactamente soportadas, es

$$\left.\frac d{dt}\operatorname{Area}(X_t)\right|_{0} =-2\int_S H\phi\,dA$$

con signo sujeto a la convención de $H$. Por eso $H=0$ caracteriza superficies críticas del funcional de área. En presencia de frontera aparece además un término de borde y deben fijarse las condiciones allí.

Una esfera tiene $H=\pm1/R$, no es crítica frente a variaciones de área sin restricción, pero sí puede ser crítica si se fija volumen mediante un multiplicador. Eso conduce a curvatura media constante, una condición más amplia que minimalidad.

Control mediante invariantes

Antes de aceptar un cálculo de superficie conviene comprobar dimensiones físicas: $\kappa$, $\tau$, $k_i$ y $H$ tienen unidades de longitud inversa; $K$ tiene longitud inversa al cuadrado. Una homotecia $X\mapsto\lambda X$ multiplica longitudes por $|\lambda|$, divide curvaturas principales por $\lambda$ con orientación coherente y divide $K$ por $\lambda^2$.

Las simetrías aportan otra prueba. En una superficie de revolución, los paralelos equivalentes por rotación deben tener las mismas curvaturas. En una esfera, ninguna cantidad escalar puede depender de longitud o latitud. Si una expresión calculada sí depende, el error suele estar en normalización, inversión de la primera forma o simplificación trigonométrica.

La regularidad completa el control. Toda división por $\|\gamma'\|$, $\|\gamma'\times\gamma''\|$ o $EG-F^2$ exige comprobar antes que el denominador no se anule. Si se anula, puede fallar únicamente la fórmula de Frenet o la carta; se debe volver a la definición geométrica y buscar otra representación antes de declarar singular el objeto.

1. Verificar regularidad antes de normalizar vectores.
2. Calcular $E,F,G$ y comprobar $EG-F^2>0$.
3. Elegir y registrar una orientación para $n$.
4. Calcular $e,f,g$ y formar las matrices de $I$ y $II$.
5. Obtener $S=I^{-1}II$; sus autovalores son $k_1,k_2$.
6. Contrastar $K$ y $H$ con simetrías o casos límite.
7. Separar una singularidad de la parametrización de una singularidad de la superficie.

Una esfera parametrizada por longitud y latitud pierde rango en los polos, pero la esfera no es singular allí. Otra carta resuelve el fallo. Sjamaar usa esta necesidad de varias parametrizaciones como entrada natural al concepto de variedad Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: apartados sobre superficies regulares, cartas y espacios tangentes Abrir fuente .

Ejercicios de curvas y superficies

1. Reparametriza la parábola $(t,t^2,0)$ por longitud de arco cerca de $t=0$ y calcula su curvatura.
2. Prueba que una curva regular con torsión idénticamente cero y curvatura no nula está contenida localmente en un plano.
3. Calcula $T,N,B,\kappa,\tau$ para la hélice con $a=2$, $b=1$ y verifica las ecuaciones de Frenet.
4. Para el gráfico $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$, obtiene $E,F,G$ y el elemento de área.
5. Calcula las curvaturas principales de una esfera de radio $R$ con ambas orientaciones.
6. Demuestra que el plano y el cilindro tienen $K=0$, pero distintas segundas formas.
7. Estudia la regularidad del toro estándar y localiza los signos de su curvatura de Gauss.
8. Comprueba que $K$ no cambia al invertir la normal y que $H$ sí cambia de signo.

La geometría clásica de $E^3$ deja dos enseñanzas duraderas. Primero, la parametrización sirve para calcular, pero los invariantes deben concordar en solapamientos. Segundo, curvarse respecto del espacio ambiente y poseer curvatura intrínseca son hechos diferentes. Ambas ideas reaparecerán en variedades abstractas y espacio-tiempo.