Vectores tangentes y espacios tangentes

Un vector tangente no es necesariamente una flecha con origen en $\mathbb R^n$. Sobre una variedad debe describir una dirección posible de movimiento desde un punto. Hay dos construcciones especialmente útiles: velocidades de curvas y derivaciones sobre funciones. La equivalencia entre ambas permite alternar una interpretación cinemática con una caracterización algebraica.

Velocidades de curvas

Sean $\gamma_1,\gamma_2:(-\varepsilon,\varepsilon)\to M$ curvas suaves con $\gamma_i(0)=p$. En una carta $x=(x^1,\ldots,x^n)$ alrededor de $p$, se declaran equivalentes si

$$\frac{d}{dt}(x\circ\gamma_1)(0) =\frac{d}{dt}(x\circ\gamma_2)(0).$$

La condición no depende de la carta: al cambiar a $y$, la regla de la cadena multiplica ambas velocidades por el mismo jacobiano $\partial y/\partial x$. Una clase de equivalencia es un vector de $T_pM$. Si $v$ tiene componentes $v^i$, se escribe

$$v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p.$$

Las componentes cambian por

$$\widetilde v^a=\frac{\partial y^a}{\partial x^i}(p)v^i.$$

La base cambia con la ley inversa, de modo que el vector geométrico permanece igual.

Derivaciones en un punto

Una derivación en $p$ es una aplicación lineal $D:C^\infty(M)\to\mathbb R$ que satisface la regla de Leibniz

$$D(fg)=f(p)Dg+g(p)Df.$$

Toda curva define $D_\gamma f=(f\circ\gamma)'(0)$. Recíprocamente, en coordenadas se demuestra que

$$Df=\sum_i D(x^i)\frac{\partial f}{\partial x^i}(p).$$

Por tanto $D$ queda determinado por $v^i=D(x^i)$ y corresponde a un vector tangente único. La demostración usa la expansión local de $f-f(p)$ como suma de $(x^i-x^i(p))$ multiplicadas por funciones suaves. Las notas de MIT desarrollan la caracterización intrínseca por derivaciones y su expresión en bases coordenadas Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lecciones 6–7 sobre espacios tangentes, derivaciones y diferencial Abrir fuente .

Diferencial y regla de la cadena

Para $F:M\to N$ suave, el diferencial en $p$ es

$$dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N, \qquad dF_p(v)[h]=v[h\circ F].$$

Si $v=[\gamma]$, entonces $dF_p(v)=[F\circ\gamma]$. En cartas, la matriz de $dF_p$ es el jacobiano de la representación coordenada. Para $G:N\to P$,

$$d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p.$$

El rango de $dF_p$ decide si $F$ es localmente una inmersión o submersión. Cuando $dF_p$ es isomorfismo, el teorema de la función inversa produce un difeomorfismo local.

Subvariedades definidas por restricciones

Sea $M=F^{-1}(c)\subset\mathbb R^m$, donde $F:\mathbb R^m\to\mathbb R^k$ tiene rango $k$ sobre el nivel. El teorema del valor regular afirma que $M$ es una subvariedad de dimensión $m-k$ y

$$T_pM=\ker dF_p.$$

La inclusión se entiende derivando $F(\gamma(t))=c$: toda velocidad tangente satisface $dF_p\gamma'(0)=0$. La igualdad de dimensiones completa el argumento.

Para la esfera $S^2=\{x^2+y^2+z^2=R^2\}$,

$$dF_p(v)=2p\cdot v, \qquad T_pS^2=p^\perp.$$

Un campo ambiente $X$ restringe a un campo de la esfera si $p\cdot X(p)=0$. Esta prueba es preferible a verificar componentes en una sola parametrización, pues incluye los puntos donde esa carta falla.

Cálculo trabajado: tangencia y diferencial en la esfera

Considere $A$ antisimétrica, $A^T=-A$, y el campo $X(p)=Ap$. Entonces

$$p\cdot X(p)=p^TAp.$$

Como el escalar es igual a su traspuesta,

$$p^TAp=(p^TAp)^T=p^TA^Tp=-p^TAp,$$

luego $p^TAp=0$. El campo es tangente a cada esfera. En $\mathbb R^3$, toda matriz antisimétrica representa $Ap=\omega\times p$ para algún $\omega$; las curvas integrales son rotaciones.

Ahora sea $h:S^2\to\mathbb R$, $h(x,y,z)=z$. Para $v\in T_pS^2$,

$$dh_p(v)=v_z.$$

Un punto crítico de $h$ cumple $dh_p(v)=0$ para todo $v\perp p$. Eso ocurre cuando el eje vertical es paralelo a $p$, es decir, en los polos. El cálculo no exige una carta polar y evita su degeneración justo en los puntos críticos.

Fibrado tangente y campos

La unión disjunta

$$TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM$$

posee estructura de variedad de dimensión $2n$. Una carta $x$ induce coordenadas $(x^i,v^i)$ en $TM$. Un campo vectorial es una sección suave $X:M\to TM$ con $\pi\circ X=\operatorname{id}_M$. No se suman directamente vectores de $T_pM$ y $T_qM$ si $p\ne q$; pertenecen a espacios vectoriales distintos. Una conexión, estudiada después, proporcionará una regla adicional de comparación.

Las notas de MIT enfatizan que esta distinción es estructural: el fibrado puede ser globalmente no trivial aunque cada fibra sea isomorfa a $\mathbb R^n$ Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: notas sobre fibrado tangente, campos y trivializaciones locales Abrir fuente . El teorema de la esfera velluda es una manifestación: $S^2$ no admite un campo tangente continuo que nunca se anule.

Procedimiento para calcular $T_pM$

Productos, niveles y gráficos

Las construcciones habituales de variedades poseen espacios tangentes compatibles. Para un producto,

$$T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_pM\oplus T_qN.$$

Las proyecciones tienen diferenciales $d\pi_M(v,w)=v$ y $d\pi_N(v,w)=w$. Si $F:M\to N$, el gráfico $\Gamma_F=\{(p,F(p))\}$ tiene

$$T_{(p,F(p))}\Gamma_F =\{(v,dF_pv):v\in T_pM\}.$$

Esta igualdad se obtiene derivando curvas $(\gamma(t),F(\gamma(t)))$. También muestra que la proyección del gráfico sobre $M$ es un difeomorfismo, aunque $F$ no sea inyectiva.

Para dos subvariedades $A,B\subset M$ que se intersecan en $p$, la intersección es transversal si

$$T_pA+T_pB=T_pM.$$

Bajo transversalidad, $A\cap B$ es una subvariedad cerca de $p$ y

$$T_p(A\cap B)=T_pA\cap T_pB.$$

La condición controla dimensión y persistencia. Dos curvas tangentes en el plano pueden dejar de intersectarse bajo una perturbación pequeña; dos curvas que se cruzan con tangentes independientes conservan localmente el cruce.

Ejemplo trabajado: tangente al toro

Sea el toro de radios $R>r>0$ parametrizado por

$$X(u,v)=((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\sin u,r\sin v).$$

Sus vectores coordenados son

$$X_u=(-(R+r\cos v)\sin u, (R+r\cos v)\cos u,0),$$ $$X_v=(-r\sin v\cos u,-r\sin v\sin u,r\cos v).$$

Son ortogonales y tienen normas $R+r\cos v>0$ y $r$, así que la parametrización es regular. En el punto exterior $u=0,v=0$, se obtiene $p=(R+r,0,0)$ y

$$T_pT^2=\operatorname{span}\{(0,R+r,0),(0,0,r)\} =\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}.$$

La misma superficie es nivel de

$$F(x,y,z)=\left(\sqrt{x^2+y^2}-R\right)^2+z^2-r^2$$

en una vecindad que no toca el eje $z$. En $p$, $\nabla F=(2r,0,0)$, de modo que $\ker dF_p$ es el plano $v_x=0$, idéntico al obtenido por la parametrización. El cálculo comprueba dos construcciones y también documenta el dominio donde la fórmula con raíz es suave.

Tangente a cocientes y órbitas

Cuando un grupo de Lie actúa libre y propiamente sobre $M$, el cociente $M/G$ puede heredar una estructura de variedad. El tangente a la órbita por $p$ está generado por los campos fundamentales de la acción. El diferencial de la proyección $\pi:M\to M/G$ anula precisamente esas direcciones verticales:

$$\ker d\pi_p=T_p(G\cdot p).$$

Para identificar el tangente del cociente suele elegirse un complemento horizontal, pero ese complemento no es canónico sin estructura adicional. Esta observación evita confundir «modificar por una simetría» con una dirección física independiente.

Campos, ceros y topología

Un campo vectorial global es una sección de $TM$. Que localmente existan bases no garantiza una sección no nula global. En una variedad compacta orientada, el teorema de Poincaré–Hopf relaciona la suma de índices de ceros aislados con la característica de Euler. En $S^2$, esa característica vale dos; cualquier campo continuo tangente debe anularse. En el toro vale cero y sí existen campos tangentes no nulos globales.

Esta conclusión es global: no se detecta calculando $T_pM$ en un solo punto. Los espacios tangentes pueden ser isomorfos en todas partes y, aun así, el fibrado completo no admitir una trivialización global.

Rango, núcleo e imagen

El diferencial conserva la información lineal de primer orden. Para $F:M^m\to N^n$, las dimensiones satisfacen

$$\dim\ker dF_p+\operatorname{rank}dF_p=m.$$

Si $dF_p$ es inyectivo, no hay velocidad no nula que $F$ aplaste en $p$. Si es sobreyectivo, toda velocidad de $N$ cerca de $F(p)$ posee una preimagen infinitesimal. Estas afirmaciones son puntuales; para producir coordenadas uniformes en una región se necesita rango constante.

Considere $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ dada por

$$F(x,y)=(x^2-y^2,2xy).$$

Su jacobiano es

$$DF=\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}, \qquad \det DF=4(x^2+y^2).$$

Fuera del origen, $dF$ es isomorfismo y $F$ es difeomorfismo local. En el origen, el diferencial es cero aunque la función no sea localmente constante. El dato tangente captura el primer orden, no toda la aplicación. Además, $F$ no es globalmente inyectiva porque $F(-x,-y)=F(x,y)$.

Trivializaciones del fibrado tangente

Una carta $x:U\to\mathbb R^n$ induce

$$TU\longrightarrow x(U)\times\mathbb R^n, \qquad v_p\longmapsto(x(p),v^1,\ldots,v^n).$$

En un solapamiento, la coordenada de la fibra cambia por el jacobiano. Esta dependencia suave convierte $TM$ en una variedad y un fibrado vectorial. Una colección de $n$ campos globalmente independientes trivializa $TM$; la existencia de cartas por separado sólo da trivializaciones locales.

El círculo posee el campo no nulo $X=-y\partial_x+x\partial_y$ y su tangente es trivial. La esfera $S^2$ no. El toro es paralelizable porque las derivadas angulares de su representación como producto de círculos proporcionan dos direcciones globales independientes. Estas diferencias no alteran la dimensión de cada fibra, pero sí la forma en que se ensamblan.

Diferencial de funciones y puntos críticos

Para $f:M\to\mathbb R$, un punto es crítico si $df_p=0$. La definición no requiere métrica. Si se elige una métrica, el gradiente queda determinado por

$$g(\operatorname{grad}f,v)=df(v).$$

Así, $df$ es el covector primario y $\operatorname{grad}f$ depende de $g$. En una restricción $M\subset\mathbb R^n$, el criterio de multiplicadores de Lagrange expresa que $df$ anula $T_pM$, equivalente a que el gradiente ambiente pertenezca al espacio normal generado por las restricciones.

En un punto regular de una función real, $df_p\ne0$ y el nivel $f^{-1}(f(p))$ es una hipersuperficie local. Su tangente es $\ker df_p$. En un punto crítico esa conclusión puede fallar: el nivel puede ser suave, cruzarse consigo mismo o reducirse a un punto. El rango informa exactamente dónde es lícito invocar el teorema, no cuál de esas posibilidades ocurre sin examinar términos superiores.

1. Si hay una parametrización regular $X(u)$, tomar la imagen de $dX_u$.
2. Si hay restricciones regulares $F=c$, calcular $\ker dF_p$.
3. Verificar que la dimensión obtenida coincide con la dimensión de $M$.
4. Expresar la base en otra carta y comprobar la ley de transformación.
5. Para un campo propuesto, probar tangencia en todo el dominio.
6. Distinguir el vector intrínseco de sus componentes y del vector posición.

Ejercicios de espacios tangentes

1. Construye explícitamente la equivalencia entre velocidades y derivaciones en $\mathbb R^2$.
2. Calcula $T_pM$ para $M=\{(x,y,z):x^2+y^2-z=0\}$ mediante una parametrización y mediante el núcleo de una diferencial.
3. Determina el diferencial de la proyección estereográfica y prueba que tiene rango dos.
4. Para $F:S^2\to\mathbb R^2$, $F(x,y,z)=(x,y)$, localiza los puntos donde $dF$ pierde rango e interpreta el resultado.
5. Verifica que $X=(-y,x,0)$ es tangente a la esfera y resuelve sus curvas integrales.
6. Demuestra que el diferencial de un difeomorfismo es un isomorfismo en cada punto.
7. Calcula una base de $T_A SO(3)$ derivando la restricción $A^TA=I$.

El espacio tangente reúne todas las velocidades compatibles con la geometría local. Su construcción no selecciona una longitud ni una manera de comparar puntos distintos; esas estructuras adicionales corresponderán, respectivamente, a una métrica y a una conexión.