Integración en variedades, Stokes y cohomología

Integrar una forma sobre una variedad exige coordinar cálculos locales sin contar dos veces las zonas donde se solapan las cartas. Las particiones de la unidad resuelven ese ensamblaje. El teorema de Stokes convierte la derivada exterior en un término de frontera y la cohomología registra qué formas cerradas no poseen potencial global.

Particiones de la unidad

Sea $\{U_\alpha\}$ un recubrimiento abierto de una variedad suave paracompacta. Una partición de la unidad subordinada es una familia de funciones suaves $\rho_\alpha:M\to[0,1]$ tal que

$$\operatorname{supp}\rho_\alpha\subset U_\alpha, \qquad \sum_\alpha\rho_\alpha=1,$$

y la familia es localmente finita. La finitud local asegura que la suma es suave. Estas funciones permiten combinar métricas, campos o integrales definidos localmente. No constituyen coordenadas: son pesos globalmente compatibles.

Si $\omega$ es una $n$-forma compactamente soportada en una variedad orientada, se eligen cartas orientadas y se define

$$\int_M\omega =\sum_\alpha\int_{\varphi_\alpha(U_\alpha)} (\varphi_\alpha^{-1})^*(\rho_\alpha\omega).$$

La fórmula es independiente de atlas y partición por el teorema ordinario de cambio de variables.

Orientación de la frontera

Una variedad con frontera se modela localmente sobre el semiespacio $x^n\ge0$. Una orientación de $M$ induce otra en $\partial M$ mediante la convención «normal exterior primero»: una base $(v_1,\ldots,v_{n-1})$ de la frontera es positiva si $(n_{\mathrm{out}},v_1,\ldots,v_{n-1})$ es positiva en $M$.

En el intervalo orientado $[a,b]$, la frontera es el cero-ciclo $\{b\}-\{a\}$. En el disco con orientación $dx\wedge dy$, la frontera se recorre en sentido antihorario. Estas convenciones fijan el signo de Stokes.

Teorema de Stokes

Para $M$ orientada de dimensión $n$, con frontera, y $\eta\in\Omega^{n-1}(M)$ de soporte compacto apropiado,

$$\int_M d\eta=\int_{\partial M}\eta.$$

La demostración reduce el problema con una partición de la unidad a cartas del espacio euclidiano o del semiespacio. Allí, el teorema fundamental del cálculo elimina derivadas interiores y deja únicamente la cara de frontera. Los términos de solapamiento no se suman como fronteras artificiales porque están incorporados en la identidad $\sum d\rho_\alpha=d1=0$.

Sadun presenta el teorema fundamental, Green, Gauss y Stokes vectorial como expresiones de esta igualdad para formas de grados diferentes Sadun, 2016 Lorenzo Sadun (2016) Lecture Notes on Differential Forms arXiv Ubicación consultada: secciones sobre integración de formas y teorema general de Stokes Abrir fuente .

Cálculo trabajado: Green como Stokes

Sea $D=[0,a]\times[0,b]$ y

$$\eta=-\frac{y}{2}\,dx+\frac{x}{2}\,dy.$$

Entonces

$$d\eta =-\frac12dy\wedge dx+\frac12dx\wedge dy =dx\wedge dy.$$

La integral interior es $\int_Ddx\wedge dy=ab$. Recorremos la frontera con orientación positiva. En el lado inferior $y=0$, $dy=0$ y la contribución es cero. En el derecho $x=a$, $dx=0$ y se obtiene $\int_0^b(a/2)dy=ab/2$. En el superior, recorrido de $x=a$ a $0$, $dy=0$ y

$$\int_a^0-\frac b2dx=\frac{ab}{2}.$$

El lado izquierdo aporta cero. La suma es $ab$, igual a la integral interior. El cálculo exhibe el signo de cada lado y no depende de memorizar dos fórmulas separadas.

Cohomología de de Rham

Como $d^2=0$, las formas exactas están contenidas en las cerradas. El cociente

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M) =\frac{\ker(d:\Omega^k\to\Omega^{k+1})} {\operatorname{im}(d:\Omega^{k-1}\to\Omega^k)}$$

es el $k$-ésimo grupo de cohomología de de Rham. Una clase identifica formas cerradas que difieren por una exacta.

$H^0_{\mathrm{dR}}(M)$ contiene funciones localmente constantes y su dimensión cuenta componentes conexas cuando son finitas. En $S^1$, la clase de la forma angular es no nula porque su integral sobre el círculo vale $2\pi$. En un dominio estrellado, el lema de Poincaré da $H^k=0$ para $k>0$.

Si $\omega' = \omega+d\eta$ y $C$ es un ciclo sin frontera,

$$\int_C\omega'-\int_C\omega =\int_Cd\eta =\int_{\partial C}\eta=0.$$

Así, la integral sobre ciclos depende de la clase de cohomología. Sjamaar conecta esta invariancia con la topología del dominio Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: capítulos sobre Stokes, formas cerradas y cohomología de de Rham Abrir fuente .

Cálculo trabajado: cohomología del círculo

Cubra $S^1$ por dos arcos donde existe una coordenada angular local. La uno-forma

$$\alpha=x\,dy-y\,dx$$

restringida al círculo satisface $\alpha=d\theta$ en cada arco. Es cerrada porque $S^1$ tiene dimensión uno. Sin embargo,

$$\int_{S^1}\alpha=2\pi.$$

Por Stokes, una forma globalmente exacta tendría integral cero sobre el ciclo. Por tanto $[\alpha]\ne0$. Más aún, toda uno-forma cerrada en el círculo es cohomóloga a un múltiplo constante de $\alpha$ determinado por su periodo; de ahí $H^1_{\mathrm{dR}}(S^1)\cong\mathbb R$. La afirmación completa requiere demostrar que al restar ese múltiplo queda una forma con potencial periódico.

Balances físicos

Si $J$ es una $(n-1)$-forma de flujo y $\rho$ una $n$-forma de densidad, una ley local de conservación puede escribirse

$$\partial_t\rho+dJ=0.$$

Integrar sobre una región fija $D$ produce

$$\frac{d}{dt}\int_D\rho =-\int_{\partial D}J.$$

La orientación determina qué flujo cuenta como saliente. El balance integral no exige que $J$ sea exacta; exige regularidad suficiente y una región donde Stokes sea aplicable.

Procedimiento integral

Homotopía e invariancia cohomológica

Si $F_0,F_1:M\to N$ son aplicaciones suavemente homotópicas, inducen el mismo morfismo en cohomología de de Rham:

$$F_0^*=F_1^*:H^k_{\mathrm{dR}}(N)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M).$$

La afirmación no dice que los pullbacks sean idénticos como formas. Su diferencia es exacta cuando la forma original es cerrada. Un operador de homotopía integra la contracción de la forma a lo largo del parámetro y produce explícitamente el potencial de esa diferencia.

Como una variedad contractible es homotópica a un punto, sus grupos $H^k$ se anulan para $k>0$. Esta es la versión global del lema de Poincaré bajo contractibilidad. También muestra que la cohomología no depende de longitudes ni ángulos, pero sí puede distinguir espacios con distinto número de agujeros.

En el anillo plano $A=\{1<r<2\}$, la retracción radial hacia un círculo induce

$$H^1_{\mathrm{dR}}(A)\cong\mathbb R.$$

La forma $d\theta=(-y\,dx+x\,dy)/(x^2+y^2)$ representa un generador. Cambiar los radios del anillo no altera la clase; rellenar el agujero sí cambia el dominio y hace singular esa misma expresión en el punto agregado.

Ejemplo trabajado: forma de área en la esfera

En la esfera unitaria orientada exteriormente, la forma de área es

$$\omega=\sin\vartheta\,d\vartheta\wedge d\varphi$$

en coordenadas esféricas fuera de los polos. Su integral es

$$\int_{S^2}\omega =\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\vartheta\,d\vartheta d\varphi=4\pi.$$

Como toda tres-forma se anula en $S^2$, $d\omega=0$. Si $\omega=d\eta$ para una uno-forma global, Stokes daría

$$4\pi=\int_{S^2}d\eta =\int_{\partial S^2}\eta=0,$$

una contradicción. Por tanto $[\omega]\ne0$ en $H^2_{\mathrm{dR}}(S^2)$. La expresión coordenada se anula en los polos por el factor $\sin\vartheta$, pero la forma geométrica no: el fallo reside en la carta angular.

Si se retira un punto de la esfera, el espacio restante es difeomorfo a $\mathbb R^2$ y la restricción de $\omega$ se vuelve exacta. Un potencial local puede escribirse en una carta, pero no extenderse suavemente al punto eliminado conservando la igualdad. El contraste localiza la obstrucción global.

Integración sobre cadenas y ciclos

Una cadena suave finita es una combinación formal de símplices parametrizados. Su frontera se obtiene alternando caras y satisface $\partial^2=0$. La integración produce un emparejamiento

$$\langle[\omega],[C]\rangle=\int_C\omega$$

entre cohomología de de Rham y homología real. Si $\omega$ cambia por una exacta o $C$ por una frontera, Stokes prueba que el valor permanece.

Este lenguaje clarifica por qué una integral sobre una curva cerrada puede detectar una obstrucción. La curva no necesita ser la frontera de una superficie contenida en el dominio. En el plano perforado, el círculo sí limita un disco en $\mathbb R^2$, pero ese disco atraviesa el punto excluido y no es una cadena admisible del dominio.

Teorema de de Rham y emparejamiento global

La integración define un morfismo natural

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M) \longrightarrow \operatorname{Hom}\bigl(H_k(M;\mathbb R),\mathbb R\bigr), \qquad [\omega]\longmapsto \left([C]\mapsto\int_C\omega\right).$$

El teorema de de Rham afirma que este morfismo es un isomorfismo para una variedad suave. No se trata sólo de una regla para calcular integrales: identifica la cohomología construida con derivadas de formas con la cohomología singular real, definida topológicamente. En consecuencia, una forma cerrada representa la clase cero si todos sus periodos sobre ciclos homológicos se anulan. Para usar este criterio debe considerarse una familia que genere la homología, no unas cuantas curvas elegidas por conveniencia numérica.

Los coeficientes reales tienen un límite preciso: no detectan torsión de la homología integral. Dos espacios pueden tener los mismos grupos de de Rham y diferir en información topológica entera. Por eso una tabla de números de Betti no constituye una clasificación completa del espacio.

Si $M$ es compacta, orientada y sin frontera, de dimensión $n$, la dualidad de Poincaré refina el emparejamiento mediante

$$H^k_{\mathrm{dR}}(M)\times H^{n-k}_{\mathrm{dR}}(M) \longrightarrow\mathbb R, \qquad ([\alpha],[\beta])\longmapsto\int_M\alpha\wedge\beta,$$

y esta forma bilineal es no degenerada. En una variedad con frontera se debe usar la versión relativa apropiada; en una no compacta aparece cohomología con soporte compacto. Omitir estas modificaciones produce conclusiones falsas, por ejemplo al intentar emparejar directamente una forma de volumen no compactamente soportada con una clase que escapa al infinito.

Una cubierta buena ofrece una estrategia de demostración y de cálculo: en cada intersección finita, que es contractible, el lema de Poincaré proporciona primitivas locales. Las diferencias de primitivas en los solapamientos forman datos de compatibilidad; las particiones de la unidad permiten ensamblarlos, mientras los cociclos que no pueden eliminarse registran la obstrucción global. Este mecanismo explica por qué una forma puede ser exacta en cada carta y no poseer una primitiva global.

Variedades no orientables y densidades

Una variedad no orientable no admite una forma de volumen global no nula, pero sí puede integrar densidades. En la banda de Möbius, una forma de grado máximo cambia de signo al recorrer la identificación, mientras una densidad transforma con el valor absoluto del determinante. El teorema de Stokes para formas requiere orientar la variedad o trabajar con versiones torcidas apropiadas.

La frontera de una variedad orientable es orientable con la orientación inducida. La recíproca no basta: que la frontera sea orientable no garantiza que el interior lo sea. Estas condiciones deben revisarse antes de asignar signos globales a flujos.

Ejemplo de Stokes en un anillo

Sea $A=\{a\le r\le b\}$ con orientación polar $r\,dr\wedge d\theta$. Su frontera inducida contiene el círculo exterior recorrido en sentido antihorario y el interior en sentido horario. Para $\eta=f(r)d\theta$,

$$d\eta=f'(r)dr\wedge d\theta.$$

Entonces

$$\int_A d\eta =\int_0^{2\pi}\int_a^b f'(r)\,dr\,d\theta =2\pi(f(b)-f(a)).$$

La integral de frontera produce exactamente

$$\int_{\partial A}\eta =2\pi f(b)-2\pi f(a).$$

El signo negativo del borde interior no es opcional; procede de la orientación inducida. Este cálculo es un control directo para dominios con varias componentes de frontera.

Cohomología del toro

En $T^2=S^1\times S^1$ hay dos coordenadas angulares locales $\theta,\varphi$. Las formas globales asociadas $d\theta$ y $d\varphi$ son cerradas y representan dos clases independientes. Sus periodos sobre los ciclos fundamentales $C_\theta$ y $C_\varphi$ son

$$\int_{C_\theta}d\theta=2\pi, \qquad \int_{C_\theta}d\varphi=0,$$ $$\int_{C_\varphi}d\theta=0, \qquad \int_{C_\varphi}d\varphi=2\pi.$$

Ninguna combinación no trivial es exacta, porque algún periodo permanece. Por tanto,

$$H^1_{\mathrm{dR}}(T^2)\cong\mathbb R^2.$$

La dos-forma $d\theta\wedge d\varphi$ tiene integral $(2\pi)^2$ sobre el toro orientado y genera $H^2_{\mathrm{dR}}(T^2)\cong\mathbb R$. Junto con $H^0\cong\mathbb R$, los números de Betti son $(1,2,1)$. La alternancia del producto produce

$$[d\theta]\wedge[d\theta]=0, \qquad [d\theta]\wedge[d\varphi]\ne0.$$

Así, la cohomología posee además estructura de álgebra graduada, no sólo dimensiones vectoriales.

Ejemplo trabajado: exactitud mediante periodos

Considere en el toro la forma

$$\alpha=a\,d\theta+b\,d\varphi+df,$$

donde $f$ es una función suave global. Sus periodos son $2\pi a$ y $2\pi b$. Si $\alpha$ es exacta, ambos deben anularse y, por tanto, $a=b=0$. Recíprocamente, si $a=b=0$, la expresión ya muestra $\alpha=df$.

Para una forma cerrada general, se definen

$$a=\frac1{2\pi}\int_{C_\theta}\alpha, \qquad b=\frac1{2\pi}\int_{C_\varphi}\alpha.$$

Restar $a\,d\theta+b\,d\varphi$ elimina los periodos fundamentales. El teorema de de Rham o una construcción sobre el cuadrado fundamental muestra que la forma restante es exacta. Este procedimiento convierte la pregunta global en dos integrales y una integración local compatible con las identificaciones.

Fórmula de Künneth en ejemplos

Para productos de variedades con cohomología finita, la cohomología real satisface una descomposición por grados. En el caso de dos círculos,

$$H^1(S^1\times S^1) \cong H^1(S^1)\otimes H^0(S^1) \oplus H^0(S^1)\otimes H^1(S^1).$$

Los dos sumandos corresponden a los dos generadores anteriores. En grado dos aparece el producto de ambos generadores de grado uno. La fórmula explica el conteo, mientras los periodos proporcionan representantes concretos.

Aplicar una fórmula general exige revisar hipótesis y coeficientes. Aquí se trabaja sobre $\mathbb R$, donde no aparecen términos de torsión algebraica. La cohomología integral contiene información adicional que de Rham real no detecta.

Cohomología con soporte compacto

En una variedad no compacta puede exigirse que las formas tengan soporte compacto. En $\mathbb R$, una uno-forma $f(x)dx$ de soporte compacto es cerrada. Es exacta mediante una primitiva de soporte compacto si y sólo si

$$\int_{\mathbb R}f(x)\,dx=0.$$

Si la integral no se anula, cualquier primitiva toma constantes distintas en los dos extremos y no tiene soporte compacto. Así,

$$H^1_c(\mathbb R)\cong\mathbb R,$$

aunque $H^1_{\mathrm{dR}}(\mathbb R)=0$. La condición de soporte cambia la teoría y debe declararse antes de comparar grupos.

Esta variante es natural para integrar sobre espacios abiertos y se relaciona con dualidad de Poincaré. No se sustituye una cohomología por otra sin justificar qué comportamiento se exige en el infinito.

Stokes y singularidades removidas

Si una forma no está definida en un punto interior, Stokes sólo puede aplicarse después de retirar una pequeña vecindad del punto. La nueva región adquiere una frontera interior con orientación opuesta. El límite de su integral puede registrar carga, residuo o número de vueltas.

Para la forma angular en el plano perforado, aplicar Stokes al anillo entre dos círculos da igualdad de periodos, no periodo cero. El disco completo no es admisible porque la forma falla en el origen. Esta revisión del dominio evita la aparente contradicción entre $d\alpha=0$ y $\int\alpha=2\pi$.

1. Determinar dimensión, orientación y frontera de la región.
2. Verificar que el grado de la forma coincide con la dimensión de integración.
3. Calcular el pullback en cada parametrización.
4. Usar una partición de la unidad si no hay carta global.
5. Fijar la orientación inducida en cada componente de frontera.
6. Contrastar ambos lados de Stokes y registrar signos.
7. Para exactitud global, calcular periodos sobre ciclos relevantes.

Ejercicios de integración y cohomología

1. Verifica Stokes para una uno-forma general sobre un intervalo orientado.
2. Calcula la circulación de $-y\,dx+x\,dy$ en la frontera de un disco y compárala con la integral interior.
3. Deriva el teorema de Gauss en $\mathbb R^3$ usando la forma de volumen estándar.
4. Construye una partición de la unidad subordinada a dos arcos que cubren $S^1$.
5. Demuestra que $H^0$ de una variedad conexa es isomorfo a $\mathbb R$.
6. Calcula los periodos de una forma cerrada en el cilindro y decide cuándo es exacta.
7. Explica por qué el teorema de Stokes no puede aplicarse directamente a una forma singular en el interior.
8. Formula una ley de conservación de masa como ecuación de formas y deriva su balance de frontera.

Stokes convierte información diferencial local en un balance global. La cohomología mide exactamente el defecto de la implicación «cerrada implica exacta» y transforma integrales sobre ciclos en invariantes topológicos calculables.