Mapeos de variedades, diferencial y grupos de Lie

Las aplicaciones suaves permiten comparar variedades sin identificar sus coordenadas. Su diferencial describe el comportamiento lineal local; el rango distingue inmersiones, submersiones y difeomorfismos locales. Cuando una variedad también posee una multiplicación compatible con la suavidad, aparece un grupo de Lie. Sus simetrías finitas se reducen cerca de la identidad a un álgebra de vectores y corchetes.

Rango e isomorfismo local

Para $F:M^m\to N^n$, el diferencial $dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N$ tiene un rango independiente de las cartas. Si el rango es $m$, $F$ es una inmersión en $p$; si es $n$, es una submersión. Cuando $m=n$ y $dF_p$ es invertible, el teorema de la función inversa produce vecindades en las que $F$ es difeomorfismo.

Una inmersión puede cruzarse consigo misma globalmente y una biyección suave puede no tener inversa suave si no se cumplen las hipótesis adecuadas. Un embedding es una inmersión que además es homeomorfismo sobre su imagen con la topología subespacio. La circunferencia estándar está embebida en $\mathbb R^2$; una parametrización periódica definida en $\mathbb R$ es una inmersión, pero no es inyectiva.

El teorema del rango constante permite elegir coordenadas donde

$$F(x^1,\ldots,x^m)=(x^1,\ldots,x^r,0,\ldots,0).$$

Esta forma local explica por qué los niveles regulares de una submersión son subvariedades de dimensión $m-n$.

Pushforward y pullback

El diferencial lleva vectores hacia delante. Si $F$ es difeomorfismo, un campo $X$ en $M$ se transporta por

$$(F_*X)_{F(p)}=dF_pX_p.$$

Para una aplicación no inyectiva, esta fórmula puede depender de cuál preimagen se elija; por eso no todo campo admite un pushforward global bien definido. En cambio, las formas siempre tienen pullback:

$$(F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)}(dF_pv_1,\ldots,dF_pv_k).$$

Se cumplen $F^*d=dF^*$ y $F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta$. Sjamaar organiza estas operaciones como construcciones naturales, independientes de cartas Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: apartados sobre diferencial, pushforward, pullback y rango constante Abrir fuente .

Definición de grupo de Lie

Un grupo de Lie $G$ es simultáneamente una variedad suave y un grupo cuyas aplicaciones

$$m:G\times G\to G, \quad m(g,h)=gh, \qquad i:G\to G, \quad i(g)=g^{-1}$$

son suaves. Ejemplos fundamentales son $(\mathbb R^n,+)$, el círculo $S^1$, el grupo lineal $GL(n,\mathbb R)$ y sus subgrupos $SL(n)$, $O(n)$ y $SO(n)$.

La multiplicación izquierda $L_g(h)=gh$ es un difeomorfismo. Un vector $v\in T_eG$ determina un campo invariante por la izquierda:

$$X_v(g)=d(L_g)_e v.$$

Todo campo invariante por la izquierda queda determinado por su valor en la identidad. El espacio $\mathfrak g=T_eG$, equipado con el corchete de esos campos, es el álgebra de Lie de $G$.

Para un grupo de matrices, el corchete es el conmutador

$$[A,B]=AB-BA.$$

El mapa exponencial se define por la serie matricial $\exp A$ y envía una vecindad de $0\in\mathfrak g$ a $G$. La curva $t\mapsto\exp(tA)$ es un subgrupo de un parámetro.

Cálculo trabajado: álgebra de SO(2)

$SO(2)$ está formado por

$$R(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.$$

Para hallar $T_I SO(2)$, derive $R(t)^TR(t)=I$ en $t=0$. Si $A=R'(0)$,

$$A^T+A=0.$$

Así,

$$\mathfrak{so}(2)=\left\{ \omega J:\omega\in\mathbb R, \quad J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \right\}.$$

Como $J^2=-I$,

$$e^{t\omega J}=I\cos(\omega t)+J\sin(\omega t)=R(\omega t).$$

El álgebra es unidimensional y abeliana: $[\omega J,\nu J]=0$. En $SO(3)$ la situación cambia; el conmutador corresponde al producto vectorial y registra que rotaciones infinitesimales alrededor de ejes distintos no conmutan.

Acciones y campos fundamentales

Una acción izquierda de $G$ sobre $M$ es una aplicación suave $\Phi:G\times M\to M$ con $e\cdot p=p$ y $(gh)\cdot p=g\cdot(h\cdot p)$. Cada $A\in\mathfrak g$ genera un campo fundamental mediante

$$A_M(p)=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0}\exp(tA)\cdot p.$$

Las órbitas del grupo describen estados relacionados por simetría; los estabilizadores contienen elementos que dejan fijo un punto. El curso abierto de grupos de Lie de MIT conecta acciones, campos invariantes y geometría homogénea Helgason, 2004 Sigurdur Helgason (2004) Introduction to Lie Groups, 18.755 Curso de posgrado; notas y problemas · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: notas sobre grupos de Lie, acciones y campos invariantes Abrir fuente .

Aplicación trabajada: rotaciones de la esfera

$SO(3)$ actúa sobre $S^2$ por $R\cdot p=Rp$. Para una matriz antisimétrica $A$, el campo fundamental es $X_A(p)=Ap$. La tangencia se verifica mediante

$$p^TAp=0.$$

Si $A$ representa el producto $\omega\times p$, los puntos fijos son los polos paralelos a $\omega$ y las demás órbitas son círculos de latitud respecto de ese eje. El estabilizador de un punto es isomorfo a $SO(2)$, y $S^2$ puede entenderse como espacio homogéneo $SO(3)/SO(2)$. Esta descripción no proporciona una coordenada angular global; proporciona una acción global.

Procedimiento de análisis

Ejemplo trabajado: rango de una parametrización del toro

Considere

$$F(u,v)=((R+r\cos v)\cos u, (R+r\cos v)\sin u,r\sin v), \qquad R>r>0.$$

Sus derivadas son

$$F_u=(-(R+r\cos v)\sin u, (R+r\cos v)\cos u,0),$$ $$F_v=(-r\sin v\cos u,-r\sin v\sin u,r\cos v).$$

El producto escalar $F_u\cdot F_v$ es cero y sus normas son $R+r\cos v$ y $r$. Como $R-r>0$, ambas son no nulas y $dF$ tiene rango dos en todo punto. Así, $F$ es una inmersión.

No es inyectiva en $\mathbb R^2$ porque $F(u+2\pi,v)=F(u,v)$ y $F(u,v+2\pi)=F(u,v)$. Al tomar el dominio cociente $S^1\times S^1$, la aplicación inducida sí es inyectiva y, al ser una inmersión desde un compacto hacia un espacio Hausdorff, es un embedding. La misma fórmula coordenada representa propiedades globales distintas según el dominio declarado.

Sea ahora $H:T^2\to S^1$, $H([u],[v])=[u+v]$. En coordenadas angulares, $dH_{(u,v)}(a,b)=a+b$, que tiene rango uno. Es una submersión. Sus fibras $u+v=\text{constante}$ son círculos y su tangente es $\ker dH=\operatorname{span}\{(1,-1)\}$. El ejemplo comprueba el teorema del nivel regular dentro de una variedad compacta.

Representación adjunta

Cada $g\in G$ define la conjugación $C_g(h)=ghg^{-1}$. Su diferencial en la identidad es

$$\operatorname{Ad}_g=d(C_g)_e:\mathfrak g\to\mathfrak g.$$

Derivando respecto de $g=\exp(tA)$ se obtiene la representación adjunta infinitesimal

$$\operatorname{ad}_A(B)=[A,B].$$

Para grupos de matrices,

$$\operatorname{Ad}_gB=gBg^{-1}.$$

La relación

$$\operatorname{Ad}_{\exp A}=e^{\operatorname{ad}_A}$$

conecta simetrías finitas e infinitesimales. En $SO(3)$, identificar matrices antisimétricas con vectores convierte $\operatorname{Ad}_R$ en la rotación ordinaria de ejes y $[\widehat a,\widehat b]=\widehat{a\times b}$.

Ejemplo trabajado: conmutador en SO(3)

Sean $J_x,J_y,J_z$ los generadores de rotaciones que satisfacen

$$[J_x,J_y]=J_z, \qquad [J_y,J_z]=J_x, \qquad [J_z,J_x]=J_y.$$

Para ángulos pequeños $\varepsilon$, la composición de grupo

$$e^{\varepsilon J_x}e^{\varepsilon J_y} e^{-\varepsilon J_x}e^{-\varepsilon J_y} =I+\varepsilon^2J_z+O(\varepsilon^3).$$

El término de primer orden se cancela y queda una rotación de segundo orden alrededor de $z$. Esta expansión explica de forma calculable por qué los giros tridimensionales no conmutan. No basta con observar dos matrices finales distintas: el corchete identifica la dirección infinitesimal del defecto.

Homomorfismos y núcleos

Un homomorfismo suave de grupos $\Phi:G\to H$ induce un homomorfismo de álgebras

$$d\Phi_e([A,B])=[d\Phi_eA,d\Phi_eB].$$

El núcleo de $d\Phi_e$ es el álgebra de Lie del núcleo de $\Phi$ cuando éste es un subgrupo regular. La imagen diferencial describe las direcciones accesibles cerca de la identidad, pero no siempre decide cuántas componentes conexas tiene la imagen global.

Por ejemplo, $\exp:\mathbb R\to S^1$, $t\mapsto e^{it}$, tiene diferencial no nulo y es sobreyectiva, pero no es inyectiva: su núcleo global es $2\pi\mathbb Z$, mientras el núcleo del diferencial es cero. La información infinitesimal no registra por sí sola la periodicidad global.

Teoremas local y global

El teorema de la función inversa es local. Si $dF_p$ es isomorfismo, existe una vecindad de $p$ donde $F$ posee inversa suave. No concluye inyectividad global. La exponencial real $F(t)=e^t$ es difeomorfismo sobre $(0,\infty)$; la exponencial compleja restringida a imaginarios tiene diferencial no nulo en todo punto, pero es periódica.

El teorema de la función implícita surge al aplicar el de la inversa a una colección adecuada de coordenadas. Si $F:M^m\to N^n$ es submersión en $p$, el nivel $F^{-1}(F(p))$ tiene dimensión $m-n$. Si es inmersión, hay coordenadas locales donde su imagen parece un subespacio lineal. Estas formas normales no deciden si la imagen se autointersecta lejos del punto.

Fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff

Cerca de la identidad, el producto de exponenciales se expresa mediante

$$\log(e^Ae^B) =A+B+\frac12[A,B] +\frac1{12}[A,[A,B]] +\frac1{12}[B,[B,A]]+\cdots.$$

Si $A$ y $B$ conmutan, queda $e^Ae^B=e^{A+B}$. En un grupo no abeliano, el primer término correctivo es la mitad del corchete. La serie tiene un dominio de convergencia y no constituye una coordenada global del grupo.

Para $SO(3)$, dos rotaciones pequeñas alrededor de $x$ e $y$ componen una rotación cuyo generador incluye una componente de orden cuadrático alrededor de $z$. El signo depende del orden. Esta predicción coincide con el lazo conmutador calculado y puede verificarse expandiendo matrices hasta segundo orden.

Formas invariantes

Una forma diferencial $\alpha$ sobre $G$ es invariante por la izquierda si $L_g^*\alpha=\alpha$. Queda determinada por su valor en $T_eG$. El co-marco de Maurer–Cartan se reúne en

$$\theta=g^{-1}dg$$

para un grupo matricial y satisface

$$d\theta+\theta\wedge\theta=0.$$

En componentes respecto de una base del álgebra,

$$d\theta^a=-\frac12C^a{}_{bc}\theta^b\wedge\theta^c.$$

Los coeficientes de estructura del corchete aparecen así en una ecuación de formas. Esta identidad proporciona un control para cálculos en marcos invariantes y anticipa las ecuaciones estructurales de conexiones.

Cocientes homogéneos

Si $H$ es un subgrupo cerrado de $G$, el espacio de clases $G/H$ admite bajo hipótesis estándar una estructura de variedad. La proyección $G\to G/H$ es una submersión y la fibra por la identidad es $H$. En el nivel tangente,

$$T_{eH}(G/H)\cong\mathfrak g/\mathfrak h.$$

Para $S^2\cong SO(3)/SO(2)$, el cociente elimina la rotación alrededor del eje que fija un punto. La representación no elige una carta global de la esfera; describe su homogeneidad y la acción transitiva del grupo.

1. Calcular $dF_p$ en cartas y comprobar que el rango es constante en la región.
2. Distinguir inmersión, embedding, submersión y difeomorfismo local.
3. Usar pushforward sólo cuando la independencia de preimagen esté garantizada.
4. Calcular pullbacks directamente sobre argumentos o bases de formas.
5. Para un grupo matricial, derivar sus restricciones en la identidad.
6. Construir subgrupos de un parámetro con la exponencial.
7. En una acción, separar órbita, estabilizador y campo infinitesimal.

Ejercicios de mapeos y grupos

1. Clasifica $F:\mathbb R\to\mathbb R^2$, $F(t)=(\cos t,\sin t)$, como inmersión, embedding o submersión.
2. Demuestra que la proyección $S^2\setminus\{N,S\}\to S^1$ dada por $(x,y,z)\mapsto(x,y)/\sqrt{x^2+y^2}$ es una submersión.
3. Calcula el pullback de $x\,dy-y\,dx$ por la parametrización del círculo.
4. Obtén $\mathfrak{sl}(n)$ derivando la condición $\det A=1$ en la identidad.
5. Comprueba que matrices antisimétricas se cierran bajo conmutador.
6. Calcula $e^{tA}$ para una matriz nilpotente y verifica la propiedad de subgrupo.
7. Describe órbitas y estabilizadores de la acción de $SO(2)$ sobre el plano.
8. Verifica mediante matrices que dos rotaciones finitas alrededor de ejes distintos no conmutan.

Los mapeos suaves organizan comparaciones locales y globales; los grupos de Lie añaden composición y simetría. El diferencial en la identidad condensa la estructura infinitesimal, pero no reemplaza la topología global del grupo.