Relatividad especial, electrodinámica y grupo de Poincaré

La relatividad especial combina una estructura afín con la métrica de Minkowski. Las transformaciones que preservan esa métrica forman el grupo de Lorentz; al añadir traslaciones se obtiene el grupo de Poincaré. La electrodinámica adopta una forma especialmente compacta: el campo eléctrico y el magnético son componentes de una sola dos-forma, y las cuatro ecuaciones de Maxwell se reducen a dos identidades tensoriales.

Minkowski e intervalo

En coordenadas $x^\mu=(ct,x,y,z)$ y signatura $(-,+,+,+)$,

$$\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1), \qquad ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu.$$

Una transformación de Lorentz lineal satisface

$$\Lambda^T\eta\Lambda=\eta.$$

De aquí se deduce $|\det\Lambda|=1$. El subgrupo propio y ortócrono conserva orientación espacial y dirección temporal. Las transformaciones de Poincaré son $x'\!=\Lambda x+a$; forman un producto semidirecto porque Lorentz actúa sobre las traslaciones.

Para un boost de velocidad $v$ en la dirección $x$, con $\beta=v/c$ y $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$,

$$ct'=\gamma(ct-\beta x), \qquad x'=\gamma(x-\beta ct), \qquad y'=y, \qquad z'=z.$$

Sustituir en $-c^2dt'^2+dx'^2$ cancela los términos cruzados y recupera $-c^2dt^2+dx^2$.

Simultaneidad y composición de velocidades

Dos sucesos simultáneos en un marco tienen $\Delta t=0$, pero

$$\Delta t'=-\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}$$

en otro. La simultaneidad depende del observador. Si una partícula tiene velocidad $u=dx/dt$, entonces

$$u'=\frac{u-v}{1-uv/c^2}.$$

Para $u=c$, se obtiene $u'=c$. Para velocidades pequeñas frente a $c$, el denominador se aproxima a uno y aparece la regla galileana.

La rapidez puede parametrizarse mediante rapidez hiperbólica $\chi$, con $\tanh\chi=\beta$. Entonces los boosts colineales suman $\chi$, mientras las velocidades se combinan por la fracción anterior. Esta parametrización revela que un boost es una rotación hiperbólica del plano $ct$-$x$.

Cuatro-velocidad y cuatro-momento

Para una partícula masiva,

$$U^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}=\gamma(c,\mathbf v), \qquad U^\mu U_\mu=-c^2.$$

El cuatro-momento es

$$p^\mu=mU^\mu=(E/c,\mathbf p),$$

con $E=\gamma mc^2$ y $\mathbf p=\gamma m\mathbf v$. La norma invariante produce

$$E^2=|\mathbf p|^2c^2+m^2c^4.$$

Para una partícula sin masa, $p^\mu p_\mu=0$ y $E=c|\mathbf p|$. La fuerza de Minkowski $f^\mu=dp^\mu/d\tau$ satisface $f\cdot U=0$ cuando la masa en reposo es constante, pues se deriva $p^\mu p_\mu=-m^2c^2$.

Potencial y tensor electromagnético

El cuatro-potencial puede escribirse $A_\mu=(-\phi/c,\mathbf A)$ con la convención elegida. El tensor de campo es

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu.$$

Es antisimétrico y contiene seis componentes independientes, las tres de $\mathbf E$ y las tres de $\mathbf B$. En forma diferencial,

$$F=dA, \qquad dF=0.$$

La segunda igualdad reúne $\nabla\cdot\mathbf B=0$ y la ley de Faraday. En ausencia de una representación potencial global, $dF=0$ sigue siendo la ecuación homogénea; la exactitud global depende de la topología y del fibrado electromagnético.

Con la forma de corriente $J$ y el operador de Hodge de Minkowski, las ecuaciones inhomogéneas son

$$d{\star F}=\mu_0{\star J},$$

equivalentes, con $\eta=(-,+,+,+)$, $x^0=ct$, $A_\mu=(-\phi/c,\mathbf A)$ y la orientación elegida, a $\partial_\mu F^{\mu\nu}=-\mu_0J^\nu$. Aplicar $d$ da $d{\star J}=0$, la conservación de carga. Tong desarrolla la equivalencia entre la formulación vectorial y tensorial, cuidando signos y unidades Tong, 2015 David Tong (2015) Lectures on Electromagnetism Notas de Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre formulación relativista de Maxwell y conservación de corriente Abrir fuente .

Libertad de gauge

Si $A\mapsto A+d\lambda$, entonces

$$F\mapsto dA+d^2\lambda=F.$$

El potencial no es único. En componentes, $A_\mu\mapsto A_\mu+\partial_\mu\lambda$. El gauge de Lorenz satisface $\partial_\mu A^\mu=0$ y conduce a

$$\Box A^\mu=-\mu_0J^\mu$$

con el signo del d’Alembertiano fijado por la convención métrica. Todavía queda libertad residual para funciones $\lambda$ que satisfacen $\Box\lambda=0$. Elegir gauge simplifica las ecuaciones; no elimina grados físicos arbitrariamente.

Ejemplo trabajado: transformación de campos

Considere un campo eléctrico uniforme $\mathbf E=E_0\hat y$ y $\mathbf B=0$ en el marco $S$. Observemos desde $S'$ que se mueve con velocidad $v\hat x$ respecto de $S$. Para componentes perpendiculares al boost,

$$\mathbf E'_\perp =\gamma(\mathbf E_\perp+\mathbf v\times\mathbf B) =\gamma E_0\hat y,$$ $$\mathbf B'_\perp =\gamma\left(\mathbf B_\perp-\frac1{c^2}\mathbf v\times\mathbf E\right).$$

Como $\mathbf v\times\mathbf E=vE_0\hat z$,

$$\mathbf B'=-\gamma\frac{vE_0}{c^2}\hat z.$$

Un campo puramente eléctrico en $S$ aparece acompañado por un campo magnético en $S'$. Comprobemos los invariantes:

$$\mathbf E\cdot\mathbf B=0, \qquad E^2-c^2B^2=E_0^2.$$

En $S'$,

$$E'^2-c^2B'^2 =\gamma^2E_0^2(1-\beta^2)=E_0^2,$$

y $\mathbf E'\cdot\mathbf B'=0$. El cálculo reconcilia las componentes diferentes mediante dos escalares de Lorentz.

Ondas planas

En vacío y gauge de Lorenz, una solución compleja puede escribirse

$$A^\mu=\epsilon^\mu e^{ik_\nu x^\nu}.$$

La ecuación de onda exige $k^\mu k_\mu=0$ y el gauge exige $k_\mu\epsilon^\mu=0$. La libertad residual elimina componentes longitudinales no físicas; quedan dos polarizaciones transversales. El tensor de campo es

$$F_{\mu\nu}=i(k_\mu\epsilon_\nu-k_\nu\epsilon_\mu)e^{ik\cdot x}.$$

En un marco inercial, $\mathbf E\perp\mathbf B\perp\mathbf k$ y $|\mathbf E|=c|\mathbf B|$. Ambos invariantes del campo se anulan para una onda plana ideal, lo cual no significa que $F$ sea cero.

Energía-momento electromagnético

Con signatura y unidades coherentes, el tensor electromagnético puede escribirse

$$T^{\mu\nu} =\frac1{\mu_0}\left( F^{\mu\alpha}F^\nu{}_{\alpha} -\frac14\eta^{\mu\nu}F^{\alpha\beta}F_{\alpha\beta} \right),$$

con la signatura $(-,+,+,+)$ y las convenciones de índices declaradas. Invertir $F\mapsto-F$ no cambia este tensor cuadrático; otras signaturas o definiciones tensoriales exigen volver a derivar la expresión completa. Sus componentes contienen densidad de energía, vector de Poynting y tensor de esfuerzos de Maxwell. Usando las ecuaciones de Maxwell,

$$\partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^{\nu\lambda}J_\lambda,$$

de modo que el campo intercambia cuatro-momento con las cargas mediante la fuerza de Lorentz. En vacío, la divergencia se anula.

Fuerza de Lorentz covariante

La ecuación de movimiento de una carga es

$$m\frac{dU^\mu}{d\tau}=qF^\mu{}_{\nu}U^\nu.$$

Contraer con $U_\mu$ da cero porque $F_{\mu\nu}$ es antisimétrico, compatible con la constancia de $U^2=-c^2$. La parte espacial reproduce $d\mathbf p/dt=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)$ y la temporal reproduce $dE/dt=q\mathbf E\cdot\mathbf v$.

Álgebra de Poincaré

Los generadores de traslaciones $P_\mu$ y de Lorentz $M_{\mu\nu}=-M_{\nu\mu}$ satisfacen

$$[P_\mu,P_\nu]=0,$$ $$[M_{\mu\nu},P_\rho] =\eta_{\nu\rho}P_\mu-\eta_{\mu\rho}P_\nu,$$ $$\begin{aligned} [M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}]={}& \eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} -\eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma}\\ &-\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho} +\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho}. \end{aligned}$$

Los signos dependen de si se incluyen factores de $i$ en los generadores. La primera igualdad expresa que traslaciones planas conmutan; la segunda muestra que cuatro-momento transforma como cuadrivector; la tercera contiene rotaciones y boosts.

Dos boosts en direcciones no colineales no forman otro boost puro: aparece una rotación de Thomas–Wigner. A velocidades pequeñas es un efecto de segundo orden en $v/c$. Esta no conmutatividad se deduce del corchete entre generadores de boosts y no contradice que cada boost preserve la métrica.

Ejemplo trabajado: efecto Doppler relativista

Sea una onda con cuatro-vector

$$k^\mu=\left(\frac{\omega}{c},\mathbf k\right), \qquad k^\mu k_\mu=0.$$

Un observador con cuatro-velocidad $U$ mide frecuencia

$$\omega_{\mathrm{obs}}=-k_\mu U^\mu.$$

Para una onda que avanza en $+x$ y un observador que se aleja con velocidad $v\hat x$,

$$k^\mu=\frac{\omega}{c}(1,1,0,0), \qquad U^\mu=\gamma(c,v,0,0).$$

La contracción da

$$\omega'=\gamma\omega(1-\beta) =\omega\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.$$

Para $\beta=0.6$, $\omega'=0.5\omega$. Si el observador se acerca, se invierte el signo de $\beta$ y la frecuencia se duplica. La fórmula es un escalar de Lorentz; no depende de transformar por separado «tiempo de emisión» y «longitud de onda» con reglas inconexas.

Para incidencia con ángulo $\theta$, se obtiene

$$\omega'=\gamma\omega(1-\beta\cos\theta).$$

Transformar también la componente espacial produce aberración. La frecuencia y dirección cambian juntas como componentes de $k^\mu$.

Clasificación mediante invariantes electromagnéticos

Con las convenciones adoptadas, dos escalares son

$$I_1=\frac12F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} =B^2-\frac{E^2}{c^2},$$ $$I_2=\frac14F_{\mu\nu}({\star F})^{\mu\nu} \propto\frac{\mathbf E\cdot\mathbf B}{c}.$$

Si $\mathbf E\cdot\mathbf B\ne0$, ningún boost puede hacer desaparecer por completo uno de los dos campos, porque el producto seguiría siendo no nulo. Si $I_2=0$ e $I_1<0$, existe bajo condiciones regulares un marco puramente eléctrico; si $I_1>0$, uno puramente magnético. Si ambos invariantes se anulan y $F\ne0$, el campo es nulo, como una onda plana, y ninguno puede eliminarse.

Estas conclusiones son locales. Encontrar un marco distinto en cada punto no produce necesariamente un único observador global suave, y campos variables deben seguir satisfaciendo Maxwell.

Acción electromagnética

La acción en espacio-tiempo plano es

$$S[A] =-\frac1{4\mu_0}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,d^4x +\int J^\mu A_\mu\,d^4x.$$

Como $\delta F_{\mu\nu}=\partial_\mu\delta A_\nu-\partial_\nu\delta A_\mu$, antisimetría e integración por partes dan

$$\delta S =\int\left( \frac1{\mu_0}\partial_\mu F^{\mu\nu}+J^\nu \right)\delta A_\nu\,d^4x +\text{(término de frontera)}.$$

Con variaciones adecuadas en la frontera, la estacionariedad produce

$$\partial_\mu F^{\mu\nu}=-\mu_0J^\nu.$$

Las ecuaciones homogéneas proceden de $F=dA$ y $d^2=0$, no de variar $A$. Si existe carga magnética o una topología de fibrado no trivial, la descripción mediante un potencial global único debe modificarse.

La invariancia gauge del acoplamiento con corriente exige

$$\delta_\lambda S_{\mathrm{int}} =\int J^\mu\partial_\mu\lambda\,d^4x =-\int\lambda\,\partial_\mu J^\mu\,d^4x +\text{(término de frontera)}.$$

Por tanto la conservación de corriente es condición de consistencia de la simetría gauge.

Ejemplo trabajado: movimiento en campo magnético

Sea $\mathbf E=0$ y $\mathbf B=B_0\hat z$. La energía relativista permanece constante porque

$$\frac{dE}{dt}=q\mathbf E\cdot\mathbf v=0.$$

La fuerza espacial cumple

$$\frac{d\mathbf p}{dt}=q\mathbf v\times\mathbf B =\frac{q}{\gamma m}\mathbf p\times\mathbf B.$$

La componente $p_z$ es constante y la parte transversal rota con frecuencia

$$\omega_c=\frac{|q|B_0}{\gamma m}.$$

El radio de Larmor es

$$r_L=\frac{p_\perp}{|q|B_0}.$$

La trayectoria es helicoidal si $p_z\ne0$. A mayor energía, $\gamma$ aumenta y la frecuencia disminuye para un campo fijo. La rapidez no cambia, pero la dirección del momento sí. En notación covariante, todo el resultado está contenido en $m\,dU^\mu/d\tau=qF^\mu{}_\nu U^\nu$.

Descomposición respecto de un observador

Dados $F$ y un observador unitario temporal $U$, los campos medidos se definen intrínsecamente por

$$E_\mu=F_{\mu\nu}U^\nu, \qquad B_\mu=({\star F})_{\mu\nu}U^\nu.$$

Ambos son ortogonales a $U$. Un observador diferente descompone el mismo $F$ de otra forma y obtiene la mezcla de $\mathbf E$ y $\mathbf B$. Esta definición evita privilegiar una matriz particular y se extiende a espacio-tiempo curvo.

El tensor de energía-momento también se descompone respecto de $U$ en densidad, flujo y tensiones espaciales. En una onda plana, el flujo de Poynting tiene magnitud igual a la densidad de energía multiplicada por $c$. En un campo electrostático, puede haber densidad de energía sin flujo neto.

Carga como integral

La conservación $d{\star J}=0$ implica que la carga

$$Q_\Sigma=\int_\Sigma{\star J}$$

es la misma sobre dos hipersuperficies espaciales que limitan una región sin flujo lateral. Stokes da

$$Q_{\Sigma_2}-Q_{\Sigma_1} =\int_{\mathcal V}d{\star J}=0.$$

La orientación de las dos superficies es opuesta como partes de la frontera. La afirmación requiere que la integral converja y que no haya corriente escapando por la frontera lateral.

La ley de Gauss adopta una forma semejante: integrar $d{\star F}=\mu_0{\star J}$ sobre un volumen produce flujo eléctrico de frontera igual a la carga encerrada, con factores de unidades y orientación. La formulación diferencia claramente una identidad local de su consecuencia integral.

Ejemplo trabajado: dispersión Compton

Considere un fotón inicial de energía $E_\gamma$ que choca con un electrón en reposo y sale con ángulo $\theta$. Sean $k$, $k'$ los cuatro-momentos fotónicos y $p$, $p'$ los electrónicos. La conservación es

$$p+k=p'+k'.$$

Como $p^2=p'^2=-m_e^2c^2$ y $k^2=k'^2=0$, se escribe $p'=p+k-k'$ y se eleva al cuadrado:

$$2p\cdot(k-k')-2k\cdot k'=0.$$

En el marco inicial del electrón,

$$p\cdot k=-m_eE_\gamma, \qquad p\cdot k'=-m_eE'_\gamma,$$

con factores de $c$ absorbidos de modo coherente en la convención, mientras

$$k\cdot k'=-\frac{E_\gamma E'_\gamma}{c^2}(1-\cos\theta).$$

Al reorganizar y restaurar unidades se obtiene

$$\frac1{E'_\gamma}-\frac1{E_\gamma} =\frac{1-\cos\theta}{m_ec^2}.$$

En longitudes de onda,

$$\lambda'-\lambda =\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta).$$

El cálculo usa sólo conservación de cuatro-momento y normas invariantes. Para $\theta=0$ no hay desplazamiento; para retrodispersión $\theta=\pi$ es máximo. Tratar energía y momento con conservación clásica separada perdería el término relativista correcto.

Polarización y helicidad

Para una onda plana, el potencial puede elegirse transversal. Dos vectores de polarización lineal forman una base; combinaciones complejas describen polarización circular. Bajo una rotación alrededor de la dirección de propagación, los estados circulares adquieren fases opuestas y se identifican con helicidades $\pm1$.

La libertad gauge elimina una componente proporcional a $k^\mu$, mientras la transversalidad física deja dos grados. El conteo se parece al de ondas gravitacionales, pero la transformación bajo rotaciones difiere: electromagnetismo corresponde a espín uno y gravedad lineal a espín dos.

Tensiones y presión de radiación

Para una onda plana, el promedio temporal de la densidad de energía es

$$\langle u\rangle =\frac{\varepsilon_0}{2}\langle E^2\rangle +\frac1{2\mu_0}\langle B^2\rangle =\varepsilon_0\langle E^2\rangle.$$

El flujo es $\langle S\rangle=c\langle u\rangle$. Una superficie absorbente normal a la propagación recibe presión $\langle u\rangle$; una reflectante ideal recibe aproximadamente $2\langle u\rangle$. Estas relaciones son componentes del tensor de energía-momento y dependen de condiciones de absorción o reflexión, no sólo de la amplitud del campo.

Aceleración propia

La cuatro-aceleración es

$$A^\mu=\frac{dU^\mu}{d\tau}$$

en un marco inercial y satisface $A\cdot U=0$. Su magnitud propia $\sqrt{A^\mu A_\mu}$ es la lectura ideal de un acelerómetro. Una partícula con velocidad constante tiene $A=0$ aunque sus coordenadas espaciales cambien; una partícula en movimiento circular uniforme tiene rapidez constante y aceleración propia no nula.

Para movimiento unidimensional,

$$\alpha=\gamma^3\frac{dv}{dt}.$$

Mantener $\alpha$ constante no produce velocidad que supere $c$; la rapidez hiperbólica crece linealmente con $\tau$ y $v=c\tanh(\alpha\tau/c)$. Esta distinción entre aceleración coordenada y propia completa la especificación de un observador no inercial.

Procedimiento de cálculo relativista

1. Declarar signatura, orden de coordenadas, unidades y convención de $F$.
2. Transformar cuadrivectores o el tensor completo, no fórmulas parciales incompatibles.
3. Verificar normas invariantes antes y después del boost.
4. Separar componentes paralelas y perpendiculares a la velocidad relativa.
5. Comprobar los invariantes $\mathbf E\cdot\mathbf B$ y $E^2-c^2B^2$.
6. Distinguir libertad de gauge de transformación de Lorentz.
7. Usar $dF=0$ y $d{\star F}=\mu_0{\star J}$ con orientación y Hodge declarados.
8. Probar el límite $v/c\ll1$ y conservar unidades.

Ejercicios de relatividad y electromagnetismo

1. Verifica matricialmente que el boost estándar satisface $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$.
2. Deriva la composición relativista de velocidades y su límite galileano.
3. Calcula energía y momento de una partícula con $v=0.6c$ y verifica la relación invariante.
4. Construye la matriz $F_{\mu\nu}$ para campos paralelos y calcula sus dos invariantes.
5. Demuestra que $dF=0$ contiene Faraday y ausencia de monopolos en una carta inercial.
6. Verifica la invariancia de $F$ bajo $A\mapsto A+d\lambda$.
7. Deriva condiciones de dispersión y transversalidad para una onda plana.
8. Calcula densidad de energía y vector de Poynting en el ejemplo transformado.

La formulación tensorial no agrega correcciones a Maxwell: muestra que campos eléctricos y magnéticos son descomposiciones dependientes del observador de un mismo tensor. El grupo de Poincaré organiza esas comparaciones y los invariantes controlan cada cálculo.