Sinopsis geométrica de relatividad general

La relatividad general afirma algo más preciso que «la gravedad curva el espacio». El objeto físico es un espacio-tiempo cuadridimensional equipado con una métrica de signatura lorentziana. La métrica determina qué sucesos pueden influirse causalmente, cuánto tiempo mide cada observador y qué trayectorias siguen los cuerpos libres. La materia y la energía intervienen mediante una ecuación tensorial para la curvatura. Esta unidad presenta esas relaciones sin dar por construidos todavía los instrumentos formales; su función es identificar las preguntas que justificarán topología, variedades, conexiones y tensores.

Sucesos, observadores y tiempo propio

Un suceso se representa localmente por cuatro coordenadas $x^\mu=(ct,x,y,z)$. Las coordenadas no son observables absolutos: dos observadores pueden asignar números distintos al mismo suceso. En relatividad especial, el intervalo de Minkowski con convención $(-,+,+,+)$ es

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2.$$

Para una curva temporal $x^\mu(\lambda)$ se define el tiempo propio por

$$d\tau=\frac{1}{c}\sqrt{-ds^2} =dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

Un reloj ideal integra $d\tau$ sobre su línea de universo. La expresión ya muestra por qué las coordenadas aisladas son insuficientes: $dt$ cambia al pasar de un sistema inercial a otro, mientras que $d\tau$ es una cantidad geométrica asociada a la curva y a la métrica.

En un campo gravitacional general, la matriz constante de Minkowski se sustituye por funciones $g_{\mu\nu}(x)$:

$$ds^2=g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu dx^\nu.$$

Se usa la convención de suma sobre índices repetidos. La métrica es un tensor covariante simétrico y no degenerado; su signatura distingue direcciones temporales, nulas y espaciales. Tong presenta el tiempo propio y el principio de equivalencia como los datos físicos que conducen a esta formulación geométrica Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados iniciales sobre relatividad especial, principio de equivalencia y tiempo propio Abrir fuente .

Conos causales y luz

Un vector tangente $V$ se clasifica por el signo de $g(V,V)$. Con la convención adoptada, es temporal si $g(V,V)<0$, nulo si $g(V,V)=0$ y espacial si $g(V,V)>0$. Los vectores nulos forman el cono de luz local. Una señal material debe seguir una curva temporal futura; la luz ideal sigue curvas nulas. Esta clasificación es local y no depende de inclinar los ejes de una gráfica.

En coordenadas cartesianas de Minkowski, una señal radial nula cumple

$$0=-c^2dt^2+dr^2, \qquad \frac{dr}{dt}=\pm c.$$

La igualdad expresa la invariancia local de la rapidez de la luz. En coordenadas curvilíneas, las componentes de la velocidad pueden adoptar otra apariencia, pero el carácter nulo permanece porque se calcula con la métrica transformada.

Caída libre y principio de equivalencia

En una región suficientemente pequeña, un observador en caída libre no detecta un campo gravitacional uniforme mediante experimentos mecánicos locales. Es posible elegir coordenadas en las que, en un punto $p$,

$$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}, \qquad \partial_\rho g_{\mu\nu}(p)=0.$$

No se puede eliminar en general la variación de segundo orden. Las fuerzas de marea comparan cuerpos próximos y están relacionadas con la curvatura. Por eso la conexión puede anularse en un punto mediante coordenadas apropiadas, mientras que el tensor de curvatura no desaparece si el campo gravitacional tiene contenido local.

La trayectoria de una partícula libre extremiza el tiempo propio. Su ecuación local es

$$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} +\Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau}=0.$$

Los símbolos $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ no son las componentes de un tensor; compensan la variación de las bases coordenadas. Se construirán como coeficientes de una conexión y, para la conexión de Levi-Civita, se obtendrán a partir de $g$.

Curvatura y ecuación de Einstein

El tensor de Riemann mide el defecto de conmutatividad de derivadas covariantes y el cambio de un vector transportado alrededor de un lazo pequeño. Sus contracciones producen el tensor de Ricci $R_{\mu\nu}$ y la curvatura escalar $R$. El tensor de Einstein es

$$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12 Rg_{\mu\nu}.$$

La ecuación de campo, con constante cosmológica, se escribe

$$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.$$

$T_{\mu\nu}$ codifica densidad de energía, densidad de momento, flujo y tensiones. La identidad de Bianchi implica $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$, compatible con la conservación covariante $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$. La igualdad no dice que una densidad gravitacional local ordinaria esté incluida en $T_{\mu\nu}$; delimita la respuesta geométrica a la materia y energía no gravitacional.

Cálculo trabajado: dilatación temporal débil

En un campo estático débil con potencial newtoniano $\Phi$ y $|\Phi|/c^2\ll1$, la componente temporal se aproxima por

$$g_{00}\simeq-\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right).$$

Para un reloj en reposo espacial, $dx^i=0$, de modo que

$$d\tau=dt\sqrt{-g_{00}} \simeq dt\left(1+\frac{\Phi}{c^2}\right),$$

donde se usó $\sqrt{1+\varepsilon}\simeq1+\varepsilon/2$. Cerca de una masa esférica, $\Phi(r)=-GM/r$. Para dos relojes fijos en radios $r_A<r_B$,

$$\frac{d\tau_B-d\tau_A}{dt} \simeq\frac{\Phi_B-\Phi_A}{c^2} =\frac{GM}{c^2}\left(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}\right)>0.$$

El reloj situado a mayor radio acumula más tiempo propio por unidad de tiempo coordenado. El cálculo requiere cuatro condiciones: campo débil, configuración estática, velocidades despreciables y comparación dentro de una misma elección temporal. Fuera de ese régimen debe usarse la métrica completa.

Escalas y procedimiento de lectura

Coordenadas, observadores e invariantes

Una transformación de coordenadas cambia las componentes de la métrica según

$$g'_{\alpha\beta}(x') =\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha} \frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\beta} g_{\mu\nu}(x).$$

La igualdad no representa una transformación física de la geometría. Describe el mismo campo mediante otra carta. En cambio, aplicar una simetría activa mueve puntos o configuraciones y puede producir un estado físicamente relacionado. Separar ambas interpretaciones evita afirmar que una fuerza apareció sólo porque surgieron términos cruzados en $ds^2$.

Los escalares son controles especialmente robustos. El tiempo propio integrado, $R$, $R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}$ y $R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}$ tienen el mismo valor en un suceso aunque cambien sus expresiones coordenadas. Sin embargo, ningún escalar aislado caracteriza siempre toda la geometría. También importan la estructura causal, las simetrías, la topología y los datos de frontera.

Considere Minkowski en coordenadas aceleradas. Pueden aparecer coeficientes métricos dependientes de la posición y símbolos de conexión no nulos, aunque Riemann siga siendo cero. El observador acelerado mide efectos inerciales reales en su laboratorio, pero esos efectos no convierten el espacio-tiempo plano en uno curvo. La comparación relevante consiste en calcular curvatura o desviación geodésica, no en inspeccionar sólo $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}$.

Segundo ejemplo trabajado: dos líneas de universo

En una dimensión espacial, compare dos observadores entre los sucesos $A=(0,0)$ y $B=(T,0)$. El primero permanece en $x=0$, por lo que acumula

$$\tau_1=T.$$

El segundo viaja a velocidad constante $v$ durante $T/2$ del tiempo coordenado y regresa con velocidad $-v$ durante el resto. Ignorando el breve intervalo de aceleración en el cambio de sentido,

$$\tau_2=\int_0^T\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}\,dt =T\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.$$

Para $v=0.6c$, $\tau_2=0.8T$. Ambos relojes parten y llegan a los mismos sucesos, de modo que sus tiempos propios pueden compararse sin convención adicional de sincronización. La diferencia no se debe a que durante cada tramo uno de los marcos inerciales sea privilegiado; las líneas de universo tienen geometrías distintas y el viajero cambia de segmento inercial.

Este cálculo también delimita la afirmación de extremalidad. En Minkowski, la geodésica temporal inercial entre dos sucesos maximiza localmente el tiempo propio entre curvas temporales próximas. En geometría riemanniana se acostumbra buscar geodésicas que minimicen longitud; trasladar esa frase sin atender a la signatura invierte la conclusión física.

Contenido físico de la curvatura

La desviación entre geodésicas próximas obedece, con una convención de signo fijada,

$$\frac{D^2\xi^\mu}{D\tau^2} =-R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} U^\nu\xi^\rho U^\sigma.$$

$U$ es la cuatro-velocidad de una geodésica de referencia y $\xi$ une idealmente partículas vecinas. Esta ecuación asigna significado operacional a componentes de Riemann: describen aceleraciones relativas de cuerpos libres. Una sola partícula no distingue localmente un campo uniforme de un marco acelerado; una familia de partículas sí puede registrar mareas.

El contenido dinámico de Einstein tampoco es «materia igual a curvatura» componente por componente. El lado geométrico contiene contracciones específicas y satisface identidades diferenciales. El lado material incluye energía y tensiones, no únicamente masa. En particular, la presión contribuye como fuente en regímenes relativistas. El límite newtoniano oculta esas contribuciones porque supone velocidades pequeñas, campo estático y presión despreciable frente a la densidad de energía.

Ante una métrica propuesta conviene seguir una secuencia estable:

1. Declarar coordenadas, dominio, unidades y signatura.
2. Calcular $ds^2$ sobre la curva de interés y clasificar su causalidad.
3. Elegir un parámetro y obtener $d\tau$ si la curva es temporal.
4. Separar singularidades de coordenadas de invariantes geométricos.
5. Estimar el parámetro adimensional que controla cualquier aproximación.
6. Contrastar el límite plano o newtoniano antes de interpretar el resultado.

Por ejemplo, $GM/(rc^2)$ es el parámetro del campo débil exterior. Un valor pequeño justifica truncar la expansión; no demuestra que todos los efectos relativistas sean experimentalmente irrelevantes, pues una diferencia diminuta puede acumularse o medirse con relojes precisos.

Ejercicios de causalidad y aproximación

1. Clasifica los vectores $(c,0,0,0)$, $(c,c,0,0)$ y $(c,2c,0,0)$ con la métrica de Minkowski.
2. Deriva la dilatación temporal especial para movimiento uniforme y calcula $\Delta\tau$ cuando $v=0.8c$ y $\Delta t=10\,\mathrm{s}$.
3. Demuestra que multiplicar una métrica lorentziana por una función positiva conserva los conos nulos, pero cambia los tiempos propios.
4. Obtén la diferencia fraccionaria de frecuencia entre dos alturas separadas por $h$ cerca de la superficie terrestre usando $\Phi(z)\simeq gz$.
5. Explica por qué anular $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ en un punto no obliga a que $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}$ se anule allí.
6. Verifica dimensionalmente el factor $8\pi G/c^4$ de la ecuación de Einstein.
7. Compara una curva temporal acelerada y una geodésica entre dos sucesos de Minkowski mediante el tiempo propio.

La motivación queda así delimitada: topología dará el espacio subyacente; variedades permitirán coordenadas locales; tensores expresarán leyes independientes de coordenadas; conexiones compararán vectores en puntos distintos; curvatura registrará efectos de marea. Las unidades posteriores construirán cada objeto antes de usarlo en las ecuaciones físicas.