Gravedad lineal y radiación gravitacional

Las ondas gravitacionales se obtienen como perturbaciones propagantes de la métrica en un régimen de campo débil. La linealización revela una ecuación de onda y una libertad de gauge semejante, pero no idéntica, a la electromagnética. Las cantidades directamente observables son cambios relativos de separación, no componentes de la perturbación aisladas. La energía radiada aparece a segundo orden y la aproximación debe validarse frente a la escala de longitud, velocidad y distancia a la fuente.

Perturbación alrededor de Minkowski

Se escribe

$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \qquad |h_{\mu\nu}|\ll1.$$

Los índices de $h$ se elevan con $\eta$ al orden lineal. La inversa es

$$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}+O(h^2).$$

La conexión linealizada vale

$$\Gamma^{\rho(1)}{}_{\mu\nu} =\frac12\eta^{\rho\sigma} (\partial_\mu h_{\sigma\nu} +\partial_\nu h_{\sigma\mu} -\partial_\sigma h_{\mu\nu}).$$

Al sustituirla en Riemann se descartan productos $\Gamma\Gamma$ de orden $h^2$. La curvatura lineal conserva segundas derivadas de $h$ y ya puede producir fuerzas de marea.

Inversión de traza y gauge armónico

Definimos la perturbación con traza invertida

$$\bar h_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-\frac12\eta_{\mu\nu}h, \qquad h=\eta^{\rho\sigma}h_{\rho\sigma}.$$

Bajo un cambio infinitesimal de coordenadas $x^\mu\mapsto x^\mu+\xi^\mu$,

$$h_{\mu\nu}\mapsto h_{\mu\nu} -\partial_\mu\xi_\nu-\partial_\nu\xi_\mu.$$

El gauge armónico impone

$$\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}=0.$$

Las ecuaciones linealizadas quedan

$$\Box\bar h_{\mu\nu} =-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.$$

En vacío, $\Box\bar h_{\mu\nu}=0$. Tong deriva esta reducción y conserva explícita la libertad residual de gauge Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre ecuaciones linealizadas, gauge armónico y soluciones ondulatorias Abrir fuente .

Ondas planas y polarizaciones

Una solución de vacío adopta la forma

$$\bar h_{\mu\nu}=\Re\{A_{\mu\nu}e^{ik_\rho x^\rho}\}.$$

La ecuación de onda exige $k^\mu k_\mu=0$ y el gauge armónico exige $k^\mu A_{\mu\nu}=0$. Para una onda que viaja en dirección $z$, la libertad residual permite escoger gauge transversal y sin traza (TT), donde $h_{0\mu}^{TT}=0$, $\partial^ih_{ij}^{TT}=0$ y $h^{i}{}_{i}=0$.

La parte espacial es

$$[h_{ij}^{TT}]= \begin{pmatrix} h_+&h_\times&0\\ h_\times&-h_+&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

Quedan dos polarizaciones físicas. Una rotación de $45^\circ$ alrededor de $z$ mezcla $+$ y $\times$ con el comportamiento de un campo de espín dos.

Ejemplo trabajado: respuesta de masas libres

Considere una onda $+$ con

$$h_+(t-z/c)=h_0\cos\omega(t-z/c), \qquad h_\times=0.$$

En gauge TT, dos masas inicialmente en reposo mantienen coordenadas fijas, pero su distancia propia cambia. Para una separación inicial $L$ a lo largo de $x$,

$$L_x(t)\simeq L\left(1+\frac12h_+(t)\right).$$

A lo largo de $y$,

$$L_y(t)\simeq L\left(1-\frac12h_+(t)\right).$$

La deformación fraccionaria o strain es

$$\frac{\Delta L_x}{L}=\frac12h_0\cos\omega t.$$

Si $L=4\,\mathrm{km}$ y $h_0=10^{-21}$, la amplitud idealizada de cambio de longitud es $2\times10^{-18}\,\mathrm m$. La cifra es una estimación de respuesta geométrica; un detector real incluye cavidades ópticas, función de transferencia, ruido y orientación de la fuente.

La misma respuesta se obtiene de desviación geodésica. Al orden lineal,

$$R_{0i0j}^{(1)}=-\frac12\ddot h_{ij}^{TT}/c^2$$

según la coordenada temporal elegida, y

$$\ddot\xi^i=-c^2R^i{}_{0j0}\xi^j =\frac12\ddot h^i{}_j{}^{TT}\xi^j.$$

La curvatura, no el valor gauge-dependiente de cualquier componente de $h$, controla la aceleración relativa.

Producción cuadrupolar

La conservación de energía-momento impide radiación monopolar de masa total y radiación dipolar de momento lineal en la teoría lineal aislada. El primer término radiativo es el cuadrupolo de masa reducido

$$Q_{ij}(t)=\int\rho(t,\mathbf x) \left(x_ix_j-\frac13r^2\delta_{ij}\right)d^3x.$$

En la zona lejana,

$$h_{ij}^{TT}(t,\mathbf x) \simeq\frac{2G}{c^4r} \ddot Q_{ij}^{TT}(t-r/c).$$

La potencia media total es

$$P=\frac{G}{5c^5} \left\langle \dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij} \right\rangle.$$

La fórmula supone velocidades internas pequeñas frente a $c$, fuente débil, compacta respecto de la longitud de onda y observador lejano. Para campos fuertes se requieren aproximaciones postnewtonianas, perturbaciones de fondos curvos o relatividad numérica.

Ejemplo trabajado: sistema binario circular

Sean dos masas $m_1,m_2$ separadas por $a$, con masa total $M=m_1+m_2$ y masa reducida $\mu=m_1m_2/M$. En órbita circular newtoniana,

$$\Omega^2=\frac{GM}{a^3}.$$

El cuadrupolo oscila a frecuencia $2\Omega$. Al insertar sus terceras derivadas en la fórmula cuadrupolar se obtiene

$$P=\frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5} \frac{\mu^2M^3}{a^5}.$$

La energía orbital newtoniana es

$$E=-\frac{G\mu M}{2a}.$$

Imponer $dE/dt=-P$ da

$$\frac{da}{dt} =-\frac{64}{5}\frac{G^3\mu M^2}{c^5a^3}.$$

La separación disminuye y la frecuencia aumenta. Integrando desde $a_0$ hasta la región donde la aproximación deja de ser válida,

$$t_c\simeq\frac{5}{256} \frac{c^5a_0^4}{G^3\mu M^2}.$$

No debe usarse esta expresión hasta la coalescencia exacta: cerca de ella fallan la órbita newtoniana y el campo débil.

Energía de la onda

No existe un tensor local de energía gravitacional que sea simultáneamente tensorial y único como el electromagnético. En el régimen de alta frecuencia o tras promediar varias longitudes de onda, puede definirse un tensor efectivo. Para una onda TT,

$$\langle T^{GW}_{\mu\nu}\rangle =\frac{c^4}{32\pi G} \left\langle \partial_\mu h_{ij}^{TT} \partial_\nu h_{ij}^{TT} \right\rangle.$$

El flujo radial es de orden $c^3\langle\dot h_{ij}\dot h_{ij}\rangle/G$. El promedio y el régimen asintótico forman parte de la definición; omitirlos atribuye significado local excesivo a una cantidad de segundo orden.

Contraste con electromagnetismo

Ambas teorías linealizadas poseen ondas nulas y libertad de gauge. Sin embargo, electromagnetismo tiene fuente vectorial conservada y radiación dipolar; gravedad acopla al tensor de energía-momento y su primer multipolo radiativo aislado es cuadrupolar. El campo electromagnético físico es una dos-forma gauge-invariante; en gravedad lineal, la curvatura linealizada y la respuesta de separación proporcionan observables, mientras $h_{\mu\nu}$ conserva dependencia de gauge.

Desarrollo matemático de los grados de libertad

El tensor simétrico $h_{\mu\nu}$ tiene diez componentes en cuatro dimensiones. El sistema de ecuaciones linealizadas posee cuatro funciones de gauge $\xi^\mu$. Imponer gauge armónico establece cuatro condiciones y deja libertad residual con $\Box\xi^\mu=0$. Para una onda plana en vacío, esa libertad permite eliminar otras cuatro combinaciones no físicas. Quedan dos variables independientes, representadas por $h_+$ y $h_\times$.

El conteo debe acompañarse de las ecuaciones. Restar componentes sin comprobar restricciones puede contar dos veces una condición o eliminar datos físicos. En gauge TT, el operador de onda actúa sobre cada polarización:

$$\left(-\frac1{c^2}\partial_t^2+\nabla^2\right)h_A=0, \qquad A\in\{+,\times\}.$$

La solución general es una superposición de modos nulos. La función de Green retardada selecciona causalidad y produce una integral sobre la fuente evaluada en tiempo retardado.

Solución retardada y zona lejana

La ecuación con fuente

$$\Box\bar h_{\mu\nu} =-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

tiene, en fondo plano y condiciones salientes,

$$\bar h_{\mu\nu}(t,\mathbf x) =\frac{4G}{c^4} \int\frac{T_{\mu\nu}(t-|\mathbf x-\mathbf x'|/c,\mathbf x')} {|\mathbf x-\mathbf x'|}\,d^3x'.$$

En la zona lejana, $r$ es mucho mayor que el tamaño de la fuente y se aproxima el denominador por $r$. Expandir el tiempo retardado y usar $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ elimina términos monopolar y dipolar radiativos. El primer término transversal variable es el cuadrupolo.

La zona de radiación exige también $r$ grande frente a la longitud de onda. Cerca de la fuente existen campos que decaen más rápido que $1/r$ y almacenan energía sin constituir flujo radiativo asintótico. Observar oscilaciones temporales cerca de una fuente no basta para identificar radiación libre.

Ejemplo trabajado: polarizaciones rotadas

Una rotación de los ejes transversales por ángulo $\psi$ transforma

$$h'_+=h_+\cos2\psi+h_\times\sin2\psi,$$ $$h'_\times=-h_+\sin2\psi+h_\times\cos2\psi.$$

El ángulo doble expresa espín dos. Para $\psi=\pi/4$, una polarización $+$ pura se convierte, salvo signo convencional, en una polarización $\times$ pura. La onda física no cambió; cambió la base en el plano transversal.

Un detector con brazos unitarios $u,v$ responde mediante

$$h_{\mathrm{det}}=D^{ij}h_{ij}^{TT}, \qquad D^{ij}=\frac12(u^iu^j-v^iv^j).$$

Si la onda llega perpendicular al plano de brazos y éstos coinciden con $x,y$, $D:h^{TT}=h_+$. Una polarización cruzada pura produce respuesta nula en esa orientación instantánea, pero rotar el detector $45^\circ$ intercambia las respuestas. Una red de detectores con orientaciones diferentes permite reconstruir polarización y dirección.

Chirp y masa chirp

Para un binario circular, la frecuencia gravitacional es $f=\Omega/\pi$. Combinar Kepler, energía orbital y potencia cuadrupolar produce

$$\dot f =\frac{96}{5}\pi^{8/3} \left(\frac{G\mathcal M}{c^3}\right)^{5/3} f^{11/3},$$

donde

$$\mathcal M=\frac{(m_1m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}$$

es la masa chirp. Despejarla de $f$ y $\dot f$ permite estimar una combinación de masas directamente desde la fase en el régimen inspiral.

La amplitud dominante escala como

$$h\sim \frac{4}{r} \left(\frac{G\mathcal M}{c^2}\right)^{5/3} \left(\frac{\pi f}{c}\right)^{2/3}$$

con factores angulares omitidos. Frecuencia y amplitud aumentan al disminuir la separación. La aproximación pierde precisión cerca de la fusión; allí deben incorporarse correcciones postnewtonianas y soluciones de campo fuerte.

Gauge y observable

El tensor de Riemann linealizado es invariante bajo transformaciones gauge infinitesimales sobre fondo plano, siempre que se conserve el orden perturbativo. La respuesta de desviación geodésica puede expresarse con $R_{0i0j}$ y, por ello, no depende de la elección intermedia de $h$.

Un desplazamiento coordenado de una masa no es directamente observable. El detector compara tiempo de propagación de luz, fase óptica o distancia propia según su modelo. En el límite de longitud de brazo pequeña frente a la longitud de onda, la fórmula $\Delta L/L\simeq h/2$ es válida; para frecuencias altas debe usarse la función de transferencia completa.

Memoria gravitacional

Una ráfaga puede dejar un cambio permanente en la separación relativa, llamado memoria. Matemáticamente corresponde a una diferencia entre los valores asintóticos de la perturbación radiativa o a una integral del flujo de energía, según el tipo de memoria. No es una oscilación residual instrumental por definición; su identificación requiere modelar fuente, gauge asintótico y respuesta del detector.

La existencia de memoria recuerda que una solución de onda no tiene que ser sinusoidal. Pulsos, superposiciones y cambios de estado también satisfacen la ecuación lineal o sus extensiones no lineales dentro de sus regímenes respectivos.

Procedimiento de validación

1. Estimar $|h|$ y justificar la linealización.
2. Declarar fondo, signatura y transformación de gauge.
3. Imponer gauge armónico y conservar la libertad residual.
4. Verificar $k^2=0$, transversalidad y traza en una onda TT.
5. Calcular una respuesta observable mediante curvatura o distancia propia.
6. Comprobar zona lejana, fuente lenta y expansión multipolar antes de usar cuadrupolo.
7. Identificar el orden perturbativo de la energía radiada.
8. Detener la aproximación cuando la velocidad o compacidad deja de ser pequeña.

Ejercicios de radiación gravitacional

1. Obtén la inversa métrica hasta primer orden en $h$.
2. Deriva la conexión y el tensor de Riemann linealizados.
3. Verifica cómo cambia $\bar h_{\mu\nu}$ bajo una transformación infinitesimal.
4. Cuenta los grados de libertad que quedan en gauge TT para una onda plana.
5. Calcula la deformación de un anillo de partículas para polarización cruzada.
6. Deriva dimensionalmente la escala $G\ddot Q/(c^4r)$ del strain.
7. Obtén $da/dt$ de un binario a partir del balance de energía.
8. Enumera las condiciones que fallan al acercarse un binario a la fusión.

La gravedad lineal revela dos polarizaciones y una propagación ondulatoria, pero su validez está acotada. La curvatura linealizada sustenta el efecto observable, la fórmula cuadrupolar conecta con fuentes lentas y el tratamiento completo de campos fuertes requiere métodos posteriores.