Conexiones lineales y transporte paralelo

Vectores situados en puntos distintos pertenecen a espacios tangentes distintos, de modo que su resta no está definida de manera intrínseca. Una conexión lineal añade una regla para derivar campos y transportar vectores a lo largo de curvas. Sus coeficientes dependen de la base, pero la derivada covariante y el transporte resultante son objetos geométricos.

Axiomas de una conexión

Una conexión sobre $TM$ es una aplicación

$$\nabla:\mathfrak X(M)\times\mathfrak X(M)\to\mathfrak X(M), \qquad (X,Y)\mapsto\nabla_XY,$$

lineal sobre funciones en la primera entrada y que satisface

$$\nabla_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_XY.$$

Es lineal sobre $\mathbb R$ en la segunda entrada, pero no sobre funciones debido al término $X(f)Y$. En coordenadas,

$$\nabla_{\partial_i}\partial_j =\Gamma^k{}_{ij}\partial_k.$$

Para $Y=Y^j\partial_j$,

$$(\nabla_XY)^k =X^i\left(\partial_iY^k+\Gamma^k{}_{ij}Y^j\right).$$

Los símbolos $\Gamma^k{}_{ij}$ no transforman como tensor: incluyen segundas derivadas del cambio de coordenadas. Esa falta es necesaria para cancelar el término no tensorial de $\partial_iY^k$.

Derivación a lo largo de una curva

Sea $\gamma(t)$ una curva y $V(t)\in T_{\gamma(t)}M$ un campo a lo largo de ella. La derivada covariante es

$$\frac{DV^k}{dt} =\frac{dV^k}{dt} +\Gamma^k{}_{ij}(\gamma(t))\dot\gamma^iV^j.$$

$V$ es paralelo si $DV/dt=0$. Dado $V(t_0)$, esta ecuación lineal tiene solución local única. El transporte paralelo $P_\gamma:T_{\gamma(t_0)}M\to T_{\gamma(t_1)}M$ es lineal y depende, en general, de la curva.

Si la conexión preserva una métrica, entonces dos campos paralelos satisfacen

$$\frac d{dt}g(V,W)=0.$$

Por ello el transporte conserva longitudes y ángulos. Una conexión lineal arbitraria no tiene por qué hacerlo.

Formas y tensores

La conexión se extiende por dualidad. Para una uno-forma $\alpha$,

$$(\nabla_X\alpha)(Y) =X(\alpha(Y))-\alpha(\nabla_XY).$$

En componentes,

$$\nabla_i\alpha_j=\partial_i\alpha_j-\Gamma^k{}_{ij}\alpha_k.$$

Cada índice contravariante recibe un término $+\Gamma$ y cada covariante uno $-\Gamma$. La extensión satisface la regla de Leibniz para productos tensoriales y conmuta con contracciones. Tong usa esta contabilidad para escribir conservación y curvatura en forma independiente de coordenadas Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre conexión y derivada covariante de tensores Abrir fuente .

Cálculo trabajado en polares

En el plano euclidiano con coordenadas polares,

$$ds^2=dr^2+r^2d\theta^2.$$

La conexión de Levi-Civita tiene coeficientes no nulos

$$\Gamma^r{}_{\theta\theta}=-r, \qquad \Gamma^\theta{}_{r\theta} =\Gamma^\theta{}_{\theta r}=\frac1r.$$

Transportemos un vector a lo largo del círculo $\gamma(\theta)=(R,\theta)$, usando $\theta$ como parámetro. Las ecuaciones son

$$\frac{dV^r}{d\theta}-R V^\theta=0, \qquad \frac{dV^\theta}{d\theta}+\frac1R V^r=0.$$

Al definir $W=RV^\theta$, queda

$$\frac{dV^r}{d\theta}=W, \qquad \frac{dW}{d\theta}=-V^r.$$

Por tanto $V^r=A\cos\theta+B\sin\theta$ y $W=-A\sin\theta+B\cos\theta$. Las componentes polares giran durante el transporte, aunque el vector cartesiano permanezca constante. Tras una vuelta recuperan sus valores. La conexión tiene coeficientes no nulos, pero la curvatura del plano es cero.

Cambio de coordenadas

En cartesianas, los coeficientes de Levi-Civita euclidianos se anulan. Transformar a polares produce los anteriores porque las bases $\partial_r,\partial_\theta$ varían. Este ejemplo establece dos controles:

• $\Gamma=0$ en una carta no es una afirmación tensorial.
• $\Gamma\ne0$ no implica curvatura.

La curvatura exige combinar derivadas y productos de $\Gamma$ de manera que los términos no tensoriales se cancelen. Las notas abiertas de relatividad general desarrollan esta compensación mediante conexión, coeficientes locales y cambio de coordenadas Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados de geometría diferencial sobre conexión, coeficientes y transporte paralelo Abrir fuente .

Formas de conexión en un marco

Para un marco $e_a$, se escriben uno-formas de conexión $\omega^a{}_b$ mediante

$$\nabla e_b=\omega^a{}_b\otimes e_a.$$

A lo largo de $\gamma$, un vector $V=V^ae_a$ es paralelo si

$$\dot V^a+\omega^a{}_b(\dot\gamma)V^b=0.$$

En un marco ortonormal y una conexión métrica, $\omega_{ab}=-\omega_{ba}$. La matriz infinitesimal es antisimétrica, coherente con la conservación del producto interno.

Diferencia entre conexiones

Sean $\nabla$ y $\widetilde\nabla$ dos conexiones sobre $TM$. La diferencia

$$A(X,Y)=\widetilde\nabla_XY-\nabla_XY$$

es lineal sobre funciones en ambas entradas. Los términos $X(f)Y$ de las dos reglas de Leibniz se cancelan, por lo que $A$ es un tensor de tipo $(1,2)$. Recíprocamente, sumar cualquier tensor de ese tipo a una conexión produce otra conexión.

En coordenadas,

$$A^k{}_{ij}=\widetilde\Gamma^k{}_{ij}-\Gamma^k{}_{ij}$$

sí transforma tensorialmente, aunque cada lista de coeficientes no lo haga. Esta observación permite comparar conexiones sin asignar significado absoluto a un $\Gamma$ aislado. También muestra que el conjunto de conexiones es un espacio afín: no posee un origen preferido hasta que una métrica u otra estructura selecciona uno.

Si ambas conexiones no tienen torsión, $A^k{}_{ij}$ es simétrico en $i,j$. Si además comparten las mismas geodésicas parametrizadas afínmente, la diferencia queda aún más restringida. Compartir sólo curvas geodésicas no parametrizadas es una condición más débil y admite términos que modifican el parámetro.

Conexiones inducidas y proyección

Una subvariedad riemanniana $M\subset\mathbb R^N$ hereda la conexión de Levi-Civita proyectando la derivada ambiente:

$$\nabla_XY=(D_XY)^\top.$$

La parte normal

$$II(X,Y)=(D_XY)^\perp$$

es la segunda forma fundamental vectorial. La descomposición de Gauss

$$D_XY=\nabla_XY+II(X,Y)$$

separa cambio intrínseco y flexión ambiente. Para una esfera unitaria, si $Y(p)$ es tangente y se deriva $p\cdot Y(p)=0$ en dirección $X$, resulta

$$p\cdot D_XY=-X\cdot Y.$$

Así, $(D_XY)^\perp=-(X\cdot Y)p$ con la normal exterior, mientras la proyección tangente define $\nabla_XY$. La fórmula permite calcular sin una carta angular y permanece regular en los polos.

Ejemplo trabajado: transporte sobre el ecuador

Sea la esfera unitaria y la geodésica ecuatorial

$$\gamma(t)=(\cos t,\sin t,0).$$

Su tangente es $T=(-\sin t,\cos t,0)$. Considere el vector constante ambiente $V=(0,0,1)$. Es tangente a la esfera a lo largo del ecuador porque $V\cdot\gamma=0$, y $D_TV=0$. Por la fórmula de proyección,

$$\nabla_TV=(D_TV)^\top=0,$$

de modo que $V$ se transporta paralelamente. También $T$ es paralelo, pues

$$D_TT=-\gamma$$

es completamente normal. Cualquier combinación $aT+bV$ con coeficientes constantes es paralela a lo largo del ecuador.

Ahora transporte alrededor de un triángulo esférico formado por dos meridianos perpendiculares y un cuarto del ecuador. El vector final rota respecto del inicial un ángulo igual al exceso esférico del triángulo, $\pi/2$, para la esfera unitaria. La diferencia respecto del lazo plano manifiesta holonomía. El cálculo por tramos puede hacerse manteniendo el vector en el plano de cada gran círculo y proyectando en los vértices; el resultado depende del área encerrada.

Transformación de formas de conexión

Si el marco cambia por $e'=eA$, la matriz de formas de conexión satisface

$$\omega'=A^{-1}\omega A+A^{-1}dA.$$

El término inhomogéneo $A^{-1}dA$ explica por qué $\omega$ no es tensor. Para un marco constante, $dA=0$ y queda una transformación por semejanza. La curvatura

$$\Omega=d\omega+\omega\wedge\omega$$

sí transforma homogéneamente: $\Omega'=A^{-1}\Omega A$. Esta es la misma lógica de compensación que aparece en teorías gauge.

Transporte numérico controlado

Cuando $\Gamma(\gamma(t))$ no permite solución cerrada, $DV/dt=0$ es un sistema lineal no autónomo. Conviene integrar simultáneamente la curva y la matriz de transporte $P(t)$:

$$\dot P^k{}_j =-\Gamma^k{}_{\ell m}(\gamma(t)) \dot\gamma^\ell P^m{}_j, \qquad P(t_0)=I.$$

Cada columna transporta un vector de la base inicial. Para una conexión métrica, el control numérico es

$$P(t)^Tg(\gamma(t))P(t)=g(\gamma(t_0)).$$

La desviación de esta igualdad mide error de integración, pero no valida que los coeficientes de conexión se hayan derivado correctamente; hace falta además comparar una curva o simetría con solución conocida.

Holonomía y dependencia respecto de la curva

Para un lazo $\gamma$ basado en $p$, el transporte paralelo define un automorfismo

$$P_\gamma:T_pM\to T_pM.$$

El conjunto generado por esos automorfismos forma el grupo de holonomía de la conexión en $p$. En una conexión métrica riemanniana, está contenido en el grupo ortogonal. La holonomía puede ser no trivial aunque el lazo sea contractible, cuando hay curvatura; también puede reflejar topología global en conexiones planas sobre dominios no simplemente conexos.

Para un rectángulo coordenado infinitesimal de lados $\varepsilon X$ y $\delta Y$, el transporte satisface

$$P_{\partial R}V =V+\varepsilon\delta\,R(X,Y)V +o(\varepsilon\delta)$$

con signo según la orientación y la convención de Riemann. Esta expansión conecta el efecto finito de recorrer un lazo con el tensor de curvatura puntual. Calcular sólo un lado del rectángulo no basta, porque los cambios de base de primer orden se cancelan al completar el contorno.

En el plano euclidiano perforado, la conexión de Levi-Civita estándar conserva cada vector cartesiano alrededor de cualquier lazo y su holonomía es trivial. En un cono, la superficie es plana lejos del vértice, pero un lazo que rodea la singularidad puede rotar un vector por el déficit angular. El modelo requiere tratar el vértice como singularidad o usar una geometría con distribución de curvatura; no contradice la curvatura local nula de la región regular.

Conexiones en fibrados generales

La idea no se limita a $TM$. En un fibrado vectorial $E\to M$, una conexión asigna

$$\nabla:\Gamma(E)\to\Omega^1(M;E)$$

y satisface $\nabla(fs)=df\otimes s+f\nabla s$. En una trivialización, $\nabla=d+\omega$, con una matriz de uno-formas. Bajo cambio de marco aparece el término inhomogéneo ya calculado.

El fibrado cotangente recibe la conexión dual; los productos tensoriales reciben la conexión inducida por Leibniz. Así se garantiza que derivar una contracción da la contracción de las derivadas. Una fórmula de componentes que no respete esta compatibilidad no define la extensión correcta.

Criterios locales y globales

Anular los coeficientes en un punto siempre es posible para Levi-Civita mediante coordenadas normales. Anularlos en una región abierta exige una base paralela local y, en un dominio simplemente conexo, curvatura cero. Incluso con curvatura cero, una topología no trivial puede impedir una elección global única.

Estas diferencias se comprueban en orden: primero tensor de curvatura, después conectividad del dominio y finalmente holonomía de lazos representativos. Concluir «la conexión es trivial» a partir de $\Gamma(p)=0$ omite los tres niveles.

Procedimiento de transporte

1. Declarar la conexión, la base y la curva parametrizada.
2. Evaluar $\Gamma^k{}_{ij}$ a lo largo de la curva.
3. Plantear el sistema lineal $DV/dt=0$ con el dato inicial.
4. Resolver analíticamente o con tolerancias documentadas.
5. Si hay métrica compatible, verificar la constancia de $g(V,V)$.
6. Repetir en otra carta o marco y transformar las componentes finales.
7. Comparar curvas distintas sólo después de fijar sus extremos y orientación.

Ejercicios de conexiones

1. Verifica directamente los axiomas de la conexión euclidiana en coordenadas cartesianas.
2. Deriva los coeficientes polares a partir de la transformación de bases.
3. Transporta un vector a lo largo de una línea radial y de un círculo en el plano.
4. Calcula $\nabla_i\alpha_j$ para una uno-forma dada en polares.
5. Demuestra que la diferencia entre dos conexiones es un tensor de tipo $(1,2)$.
6. Prueba que una conexión métrica conserva el producto interno de campos paralelos.
7. Construye una conexión en $\mathbb R^2$ con coeficientes constantes no nulos y resuelve un transporte paralelo.
8. Explica por qué sumar vectores en puntos distintos requiere estructura adicional.

Una conexión no crea una identificación absoluta de todos los espacios tangentes. Produce identificaciones dependientes de curvas y una derivada compatible con el cálculo tensorial. La dependencia respecto de la curva será cuantificada por la curvatura.