Formas diferenciales y cálculo exterior

Las formas diferenciales son tensores covariantes alternantes que pueden integrarse sobre objetos de la misma dimensión. Una uno-forma mide desplazamientos orientados, una dos-forma mide elementos orientados de superficie y una forma de grado máximo mide volumen con signo. El producto exterior combina mediciones independientes y la derivada exterior reúne gradiente, rotacional y divergencia en un único operador.

Álgebra alternante

Una $k$-forma en $p$ es una aplicación multilineal alternante

$$\omega_p:(T_pM)^k\to\mathbb R.$$

En coordenadas,

$$\omega=\frac1{k!}\omega_{i_1\ldots i_k} dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}.$$

La alternancia implica que intercambiar dos argumentos cambia el signo y que una lista con dos argumentos iguales produce cero. En dimensión $n$, $\Lambda^kT_p^*M$ tiene dimensión $\binom nk$ y se anula para $k>n$.

Si $\alpha$ es de grado $k$ y $\beta$ de grado $\ell$, su producto exterior satisface

$$\alpha\wedge\beta=(-1)^{k\ell}\beta\wedge\alpha.$$

Para uno-formas $\alpha,\beta$, $(\alpha\wedge\beta)(u,v)=\alpha(u)\beta(v)-\alpha(v)\beta(u)$. El determinante aparece porque la forma registra área orientada en el paralelogramo generado por $u,v$.

Pullback y cambio de variables

Para $F:M\to N$, el pullback de una $k$-forma es

$$(F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)}(dF_pv_1,\ldots,dF_pv_k).$$

El pullback invierte la dirección de la aplicación: lleva formas de $N$ a $M$. Cumple

$$F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta, \qquad (G\circ F)^*=F^*G^*.$$

Estas identidades explican por qué una integral sobre una parametrización contiene el jacobiano correcto sin añadirlo de manera separada.

Derivada exterior

La derivada exterior $d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$ se caracteriza por

$$df=\partial_if\,dx^i, \qquad d^2=0,$$

y la regla graduada

$$d(\alpha\wedge\beta) =d\alpha\wedge\beta+(-1)^k\alpha\wedge d\beta.$$

En coordenadas, si $\alpha=\alpha_i dx^i$,

$$d\alpha=\partial_j\alpha_i\,dx^j\wedge dx^i.$$

El operador conmuta con pullback: $d(F^*\omega)=F^*(d\omega)$. Sadun deriva estas propiedades y muestra cómo absorben las identidades clásicas del cálculo vectorial Sadun, 2016 Lorenzo Sadun (2016) Lecture Notes on Differential Forms arXiv Ubicación consultada: secciones sobre producto exterior, derivada exterior y naturalidad respecto del pullback Abrir fuente .

Formas cerradas y exactas

Una forma es cerrada si $d\omega=0$ y exacta si $\omega=d\eta$. Como $d^2=0$, toda exacta es cerrada. La recíproca es local en dominios contractibles por el lema de Poincaré, pero puede fallar globalmente.

En $\mathbb R^2\setminus\{0\}$,

$$\alpha=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}$$

es cerrada. Sobre el círculo $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$,

$$\gamma^*\alpha=dt, \qquad \int_\gamma\alpha=2\pi.$$

Si $\alpha=df$ globalmente, la integral sobre cualquier curva cerrada sería cero. Por ello no es exacta. La obstrucción no está en una singularidad de $\alpha$ dentro del dominio, sino en el agujero excluido.

Cálculo trabajado: circulación y exactitud

Considere

$$\beta=(2xy+1)\,dx+(x^2+2y)\,dy$$

en $\mathbb R^2$. Calculamos

$$d\beta =d(2xy+1)\wedge dx+d(x^2+2y)\wedge dy.$$

El primer término aporta $2x\,dy\wedge dx$ y el segundo $2x\,dx\wedge dy$; se cancelan. Como $\mathbb R^2$ es contractible, $\beta$ es exacta. Buscamos $F$ con $F_x=2xy+1$. Integrando en $x$,

$$F=x^2y+x+C(y).$$

La condición $F_y=x^2+C'(y)=x^2+2y$ da $C=y^2$. Así,

$$F=x^2y+x+y^2+C_0.$$

Para cualquier curva de $p$ a $q$, $\int\beta=F(q)-F(p)$. El procedimiento exige tanto la igualdad de derivadas cruzadas como información del dominio; la primera por sí sola no bastó para $\alpha$ en el plano perforado.

Orientación y formas de volumen

Una orientación en una variedad de dimensión $n$ puede describirse mediante clases de bases con determinante de transición positivo. Una forma de volumen es una $n$-forma que nunca se anula y selecciona una orientación. En $\mathbb R^n$, $dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ es la forma estándar.

Sobre una superficie parametrizada $X(u,v)$, la orientación decide si $(X_u,X_v,n)$ es positiva. Invertir $(u,v)$ cambia el signo de $du\wedge dv$. Las integrales de densidades físicas no orientadas pueden usar el valor absoluto del jacobiano; las integrales de formas conservan el signo y, con él, la dirección de circulación o flujo.

Correspondencia con cálculo vectorial

En $\mathbb R^3$ euclidiano y orientado, la métrica y el operador de Hodge identifican campos con formas. Gradiente, rotacional y divergencia aparecen como versiones de $d$, pero esa identificación usa estructura adicional. La igualdad $d^2=0$ contiene $\nabla\times\nabla f=0$ y $\nabla\cdot(\nabla\times A)=0$. Sin métrica, $d$ sigue estando definido; gradiente y Hodge, no.

Procedimiento para una forma

Contracción y fórmula de Cartan

La contracción interior con un campo $X$ reduce el grado:

$$(\iota_X\omega)(X_2,\ldots,X_k) =\omega(X,X_2,\ldots,X_k).$$

Satisface una regla graduada,

$$\iota_X(\alpha\wedge\beta) =\iota_X\alpha\wedge\beta +(-1)^k\alpha\wedge\iota_X\beta$$

si $\alpha$ tiene grado $k$. Junto con $d$ produce la derivada de Lie:

$$\mathcal L_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega).$$

Esta fórmula de Cartan permite calcular cómo se transporta una forma sin introducir conexión. Si $\omega$ es cerrada y $\iota_X\omega=dH$, entonces $\mathcal L_X\omega=0$. Esa identidad es la base de la preservación simpléctica por campos hamiltonianos.

Para una forma de volumen $\mu$, la divergencia relativa se define por

$$\mathcal L_X\mu=(\operatorname{div}_\mu X)\mu.$$

En coordenadas cartesianas recupera la suma de derivadas de componentes; en coordenadas generales aparecen el jacobiano del volumen y la variación de la base.

Operador de Hodge

Una métrica y una orientación definen

$$\star:\Lambda^kT^*M\to\Lambda^{n-k}T^*M$$

mediante $\alpha\wedge\star\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\mathrm{vol}_g$. En un marco ortonormal positivo de $\mathbb R^3$,

$$\star dx=dy\wedge dz, \qquad \star(dy\wedge dz)=dx.$$

El signo de $\star^2$ depende del grado, la dimensión y la signatura. Por ello una fórmula aprendida en espacio euclidiano tridimensional no puede trasladarse sin revisión a una métrica lorentziana cuadridimensional.

La codiferencial puede definirse, según convenciones, mediante $\delta=\pm\star d\star$. El laplaciano de Hodge es $\Delta=d\delta+\delta d$. Estas operaciones sí dependen de la métrica, mientras $d$ y el pullback no. La separación explica qué parte de Maxwell es topológica y qué parte usa la geometría del espacio-tiempo.

Ejemplo trabajado: flujo de un campo radial

En $\mathbb R^3\setminus\{0\}$, considere

$$V=\frac{1}{r^3}(x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z).$$

Con la forma de volumen $\mu=dx\wedge dy\wedge dz$, la dos-forma de flujo es

$$\omega=\iota_V\mu =\frac1{r^3} (x\,dy\wedge dz-y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy).$$

Como $\operatorname{div}V=0$ fuera del origen,

$$d\omega=\mathcal L_V\mu=0$$

en ese dominio. Sobre la esfera $S_R^2$ con orientación exterior, $V\cdot n=1/R^2$ y $dA=R^2\sin\vartheta\,d\vartheta d\varphi$. Por tanto,

$$\int_{S_R^2}\omega =\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin\vartheta\,d\vartheta d\varphi=4\pi.$$

El flujo no depende de $R$. Aunque $\omega$ es cerrada en el espacio perforado, no es exacta allí: si fuese $d\eta$, Stokes sobre la esfera cerrada daría integral cero. La singularidad excluida genera una clase global no trivial. En una región que no rodee el origen, el lema de Poincaré sí permite un potencial local.

Potenciales y datos de periodo

Resolver $d\eta=\omega$ no es únicamente integrar componentes. Primero debe cumplirse $d\omega=0$; después deben anularse sus periodos sobre ciclos adecuados. En dominios simplemente conexos del plano, una uno-forma cerrada es exacta, pero en grados superiores la simple conexidad por sí sola no controla toda la cohomología. La condición local correcta es trabajar en una región contractible o estrellada.

Cuando se construye un potencial por integración a lo largo de curvas,

$$F(q)=\int_{\gamma_{p,q}}\alpha,$$

la independencia respecto de la curva debe demostrarse. Se obtiene si todas las integrales sobre lazos se anulan. Elegir una curva particular y hallar una fórmula no establece todavía un potencial global.

Complejo de de Rham

La sucesión

$$0\longrightarrow\Omega^0(M) \xrightarrow{d}\Omega^1(M) \xrightarrow{d}\cdots \xrightarrow{d}\Omega^n(M) \longrightarrow0$$

es un complejo porque la composición consecutiva es cero. La información global reside en los cocientes entre núcleos e imágenes. En esta unidad basta reconocer el mecanismo: $d^2=0$ impone identidades diferenciales, mientras la falta de un potencial global señala topología no trivial.

El lema de Poincaré puede demostrarse en un dominio estrellado mediante el operador de homotopía radial. Si $F_t(x)=tx$ contrae el dominio al origen y $\omega$ es cerrada de grado positivo, se construye una forma $K\omega$ integrando la contracción con el campo radial. La identidad

$$dK+Kd=F_1^*-F_0^*$$

produce $\omega=d(K\omega)$ porque $F_0^*\omega=0$ en grado positivo. Esto es una justificación, no sólo una afirmación de existencia.

Ejemplo trabajado: campo magnético de una corriente recta

Fuera del eje $z$, una forma idealizada proporcional al campo alrededor de una corriente recta puede representarse en el plano transversal por

$$\alpha=C\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^2+y^2}=C\,d\theta$$

localmente. Se verifica $d\alpha=0$ en el dominio. Para un círculo de radio $R$,

$$\int_{S_R^1}\alpha=2\pi C.$$

La integral es independiente de $R$ mientras la curva rodee el eje y permanezca en el dominio. Si dos círculos se deforman uno en otro dentro del plano perforado, Stokes aplicado al anillo entre ellos demuestra la igualdad de periodos.

No existe una función angular global real con $d\theta=\alpha/C$. Elegir una semirrecta de corte permite un potencial local, pero éste salta en $2\pi$. La circulación no desaparece aunque el rotacional local sea cero fuera de la fuente. El ejemplo distingue ecuación diferencial local, fuente excluida y periodo global.

Integración sobre parametrizaciones

Para una superficie $\Sigma$ parametrizada por $X(u,v)$ y una dos-forma $\omega$, se calcula

$$\int_\Sigma\omega =\int_D\omega_{X(u,v)}(X_u,X_v)\,du\,dv.$$

El orden $(u,v)$ fija la orientación. Si otra parametrización preserva orientación, el cambio de variable mantiene la integral; si la invierte, cambia el signo. No se inserta por separado una normal unitaria salvo que se haya usado métrica para convertir un campo vectorial en una forma de flujo.

Esta última distinción evita duplicar factores de área: una dos-forma ya evalúa el paralelogramo orientado $X_u,X_v$. La fórmula vectorial $(V\cdot n)dA$ es su versión euclidiana después de aplicar contracción con la forma de volumen.

1. Registrar grado, dominio y orientación.
2. Expandir en una base ordenada de productos exteriores.
3. Calcular $d\omega$ usando regla graduada y antisimetría.
4. Si $d\omega=0$, examinar la topología antes de concluir exactitud.
5. Para integrar, parametrizar y calcular el pullback completo.
6. Comprobar el signo al cambiar orientación.
7. Contrastar la integral con un potencial o con Stokes cuando sea aplicable.

Ejercicios de cálculo exterior

1. Calcula $(dx+dy)\wedge(dy+dz)$ y evalúa la forma sobre dos vectores elegidos.
2. Demuestra la regla graduada para una función multiplicada por una uno-forma.
3. Decide si $(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz$ es exacta y construye un potencial.
4. Integra $(-y\,dx+x\,dy)/(x^2+y^2)$ sobre curvas con distintos números de vueltas.
5. Calcula el pullback de $x\,dy\wedge dz$ por una parametrización de la esfera.
6. Prueba directamente que $d^2f=0$ usando simetría de derivadas parciales.
7. Expresa rotacional y divergencia mediante $d$ y el Hodge euclidiano, indicando dónde se usa la métrica.
8. Analiza si la banda de Möbius admite una forma de volumen global no nula.

El cálculo exterior separa tres capas: álgebra alternante en cada punto, variación diferencial mediante $d$ y obstrucciones globales ligadas al dominio. Esa separación será esencial al integrar en variedades y definir cohomología.