Variedades diferenciables, atlas y funciones suaves

Una variedad diferenciable es un espacio que admite coordenadas euclidianas locales compatibles. La palabra “local” permite tratar círculos, esferas, toros y espacios de configuraciones aunque no exista una sola parametrización válida en todos sus puntos. La compatibilidad hace posible derivar sin que el resultado dependa de la carta. El capítulo 4 indicado en el índice de Nahmad-Achar determina el tema de esta unidad; el desarrollo siguiente es original y usa como respaldo técnico notas abiertas de Cornell y MIT Nahmad-Achar, 2022 Eduardo Nahmad-Achar (2022) Topología y geometría diferencial con aplicaciones a la física 1.ª ed. · UNAM, Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial Ubicación consultada: cap. 4, «Variedades diferenciables», según el índice usado para organizar el curso Abrir fuente .

Condiciones topológicas de una variedad

Un espacio topológico $M$ es localmente euclídeo de dimensión $n$ si cada $p\in M$ tiene un entorno abierto $U$ homeomorfo a un abierto de $\mathbb R^n$. Bajo la convención habitual de este curso, una variedad topológica de dimensión $n$ es además Hausdorff y segundo numerable.

Las tres condiciones cumplen funciones distintas:

• La semejanza local con $\mathbb R^n$ permite usar coordenadas y cálculo en torno a cada punto.
• La propiedad Hausdorff separa puntos y garantiza unicidad de límites.
• La segunda numerabilidad aporta una base global numerable. Junto con las otras hipótesis, conduce a propiedades de paracompacidad que permiten construir particiones de unidad.

Ninguna debe omitirse por costumbre. La recta con origen doble se obtiene duplicando el cero y compartiendo el resto de los puntos; cada origen tiene un entorno homeomorfo a un intervalo, pero ambos orígenes no poseen entornos disjuntos. Es localmente euclídea y no Hausdorff. Por otra parte, una unión disjunta no numerable de copias de $\mathbb R$ es Hausdorff y localmente euclídea, pero no es segundo numerable.

Las notas de MIT comienzan precisamente con un espacio Hausdorff y segundo numerable, definen cartas compatibles y luego reúnen esas condiciones en la definición de variedad suave Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lección 1, pp. 1-2, definiciones 1.1-1.3 Abrir fuente .

En esta unidad “variedad” significa variedad sin frontera. Para incluir frontera se reemplaza el modelo local $\mathbb R^n$ por el semiespacio $\mathbb H^n=\{x_n\ge0\}$. Una esquina, como la del cuadrado cerrado, exige una categoría adicional; no es automáticamente una variedad suave con frontera bajo esta definición.

Cartas, transiciones y dimensión

Una carta es un par $(U,\varphi)$ en el que $U\subseteq M$ es abierto y

$$\varphi:U\longrightarrow\varphi(U)\subseteq\mathbb R^n$$

es un homeomorfismo sobre un abierto euclidiano. Las componentes $x^1,\ldots,x^n$ de $\varphi$ son coordenadas locales. Si $(U,\varphi)$ y $(V,\psi)$ se superponen, la transición es

$$\psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\longrightarrow\psi(U\cap V).$$

Las cartas son $C^\infty$-compatibles si la transición es suave; la transición inversa también lo es por la compatibilidad en el orden opuesto. Cuando $U\cap V=\varnothing$, no hay condición que comprobar.

Un atlas es una familia de cartas compatibles cuyos dominios cubren $M$. La dimensión es el número de coordenadas de sus cartas. La invariancia del dominio impide que un abierto no vacío de $\mathbb R^m$ sea homeomorfo a uno de $\mathbb R^n$ cuando $m\ne n$; por tanto la dimensión local no cambia en una componente conexa. Este uso de la invariancia del dominio se refiere a apertura y dimensión, no al teorema del punto fijo de Brouwer.

Atlas máximos y estructuras suaves

Dos atlas son equivalentes si su unión sigue siendo un atlas suave. A partir de un atlas $\mathcal A$ se define

$$\mathcal A_{\max}= \{(U,\varphi):(U,\varphi)\text{ es compatible con toda carta de }\mathcal A\}.$$

Esta familia cubre $M$, contiene a $\mathcal A$ y es máxima: cualquier carta compatible con ella ya pertenece a ella. Además es única, porque dos atlas máximos equivalentes contienen su unión y, por maximalidad, coinciden. Una estructura diferenciable puede definirse como un atlas máximo; en los cálculos basta especificar un atlas generador más pequeño.

La maximalidad no significa “el mayor número de fórmulas útiles”. Incluye todas las cartas permitidas por la estructura y evita que la suavidad dependa de haber olvidado una coordenada compatible. Una misma variedad topológica puede, en dimensiones altas, admitir estructuras suaves no equivalentes; por eso la estructura forma parte de los datos.

Ejemplo trabajado: dos cartas en el círculo

Sea

$$S^1=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2=1\},$$

con $N=(0,1)$ y $S=(0,-1)$. La proyección estereográfica desde $N$ y desde $S$ produce

$$\varphi_N:S^1\setminus\{N\}\to\mathbb R, \qquad \varphi_N(x,y)=\frac{x}{1-y},$$ $$\varphi_S:S^1\setminus\{S\}\to\mathbb R, \qquad \varphi_S(x,y)=\frac{x}{1+y}.$$

Sus inversas son

$$\varphi_N^{-1}(u)= \left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{u^2-1}{1+u^2}\right),$$ $$\varphi_S^{-1}(v)= \left(\frac{2v}{1+v^2},\frac{1-v^2}{1+v^2}\right).$$

En la intersección se excluyen ambos polos, lo cual corresponde a $u\ne0$ y $v\ne0$. Sustituir la primera inversa en $\varphi_S$ da

$$v=(\varphi_S\circ\varphi_N^{-1})(u)=\frac1u.$$

La función $u\mapsto1/u$ y su inversa son suaves en $\mathbb R\setminus\{0\}$. Las dos cartas forman un atlas suave de dimensión uno. La coordenada angular también sirve localmente, pero no define una función real continua de valor único sobre todo $S^1$.

Sjamaar presenta la definición precisa de variedad mediante parametrizaciones locales y exige compatibilidad suave en las zonas comunes; el mismo principio aparece aquí con la convención inversa para las cartas Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: cap. 6, §6.1, pp. 75-82 Abrir fuente .

Aplicaciones suaves y difeomorfismos

Sean $M$ y $N$ variedades suaves. Una aplicación $F:M\to N$ es suave si, para cada $p\in M$ y para cartas $(U,\varphi)$ alrededor de $p$ y $(V,\psi)$ alrededor de $F(p)$ con $F(U)\subseteq V$, la representación

$$\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$$

es suave entre abiertos euclidianos. Basta verificarlo en atlas generadores: las transiciones suaves y la regla de la cadena extienden el resultado a todas las cartas compatibles. Una función $f:M\to\mathbb R$ es suave cuando sus expresiones $f\circ\varphi^{-1}$ lo son.

Un difeomorfismo es una biyección suave con inversa suave. Si el diferencial de una aplicación suave es invertible en $p$, el teorema de la función inversa proporciona un difeomorfismo entre entornos de $p$ y $F(p)$; ésta es una afirmación local y no demuestra inyectividad global. Las lecciones iniciales de MIT separan suavidad, equivalencia y patologías antes de estudiar diferenciales Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lección 2, pp. 1-4, funciones suaves y difeomorfismos Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: multiplicación en el toro

El producto $T^2=S^1\times S^1$ es una variedad de dimensión dos. En cartas angulares locales escribimos un punto como $(e^{i\theta},e^{i\phi})$. Consideremos

$$F:T^2\longrightarrow S^1, \qquad F(z,w)=zw.$$

Si los tres ángulos se eligen en intervalos que evitan el corte de coordenadas, la representación local es

$$(\theta,\phi)\longmapsto\theta+\phi.$$

Su matriz jacobiana es $(1\;1)$, de rango uno. Al cambiar una coordenada angular por otra que difiere en un múltiplo de $2\pi$, el punto $e^{i(\theta+\phi)}$ no cambia. Así, la fórmula local define una aplicación global suave. Sus fibras $F^{-1}(e^{i\alpha})$ son círculos dados localmente por $\theta+\phi=\alpha$.

Productos de variedades

Si $M^m$ y $N^n$ son variedades, $M\times N$ recibe la topología producto. Las cartas

$$(U\times V,\varphi\times\psi), \qquad (\varphi\times\psi)(p,q)=(\varphi(p),\psi(q)),$$

toman valores en $\mathbb R^{m+n}$. Las transiciones son productos de transiciones suaves, por lo que $M\times N$ es una variedad de dimensión $m+n$. Los productos finitos conservan Hausdorff y segunda numerabilidad. Esta construcción explica $T^n=(S^1)^n$ y los espacios de configuración de varios cuerpos cuando cada factor describe un estado individual.

Para aplicaciones suaves $F:M\to M'$ y $G:N\to N'$, la función $(F,G):M\times N\to M'\times N'$ es suave. La propiedad se verifica en cartas como un bloque de funciones euclidianas. En cambio, un producto infinito de variedades de dimensión positiva no es una variedad finito dimensional bajo estas definiciones.

Particiones de unidad y alcance del pegado

Dada una cubierta abierta $\{U_\alpha\}$ de $M$, una partición de unidad subordinada es una familia de funciones suaves $\{\rho_\alpha:M\to[0,1]\}$ tal que

$$\operatorname{supp}(\rho_\alpha)\subseteq U_\alpha, \qquad \sum_\alpha\rho_\alpha(p)=1,$$

y los soportes son localmente finitos: cada punto tiene un entorno que intersecta sólo un número finito de ellos. Esta última condición hace que la suma sea suave incluso cuando la familia es infinita. En las variedades Hausdorff y segundo numerables consideradas aquí existen particiones suaves subordinadas a cualquier cubierta abierta; MIT enuncia su existencia y Sjamaar muestra cómo permiten reducir una integral global a contribuciones coordenadas Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lección 8, pp. 2-3, «Partitions of unity» Abrir fuente Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: cap. 9, §9.2, pp. 117-119 Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: partición subordinada en el círculo

Use los abiertos $U_N=S^1\setminus\{N\}$ y $U_S=S^1\setminus\{S\}$. Defina

$$\eta(t)= \begin{cases} 0,&t\le0,\\ e^{-1/t},&t>0, \end{cases}$$

y, para $p=(x,y)\in S^1$,

$$a(p)=\eta\left(\frac34-y\right), \qquad b(p)=\eta\left(\frac34+y\right).$$

El soporte de $a$ queda en $\{y\le3/4\}\subset U_N$ y el de $b$ en $\{y\ge-3/4\}\subset U_S$. Para todo punto al menos una de las dos funciones es positiva. Por tanto

$$\rho_N=\frac{a}{a+b}, \qquad \rho_S=\frac{b}{a+b}$$

son suaves, sus soportes respetan la cubierta y $\rho_N+\rho_S=1$. Si $f_N$ y $f_S$ son funciones locales que coinciden donde ambos pesos son no nulos, entonces $\rho_Nf_N+\rho_Sf_S$ define la misma función global. Sin compatibilidad, la suma sigue siendo suave, pero interpola datos distintos y no puede afirmarse que recupere cada dato local.

Verificación de una estructura diferenciable

1. Comprueba que el espacio sea Hausdorff, segundo numerable y localmente euclídeo.
2. Declara si se permiten frontera o esquinas y selecciona el modelo local correspondiente.
3. Escribe las cartas con dominios e imágenes abiertos explícitos.
4. Calcula cada transición en las intersecciones no vacías y verifica suavidad en ambas direcciones.
5. Registra la dimensión y usa invariancia del dominio si aparece una posible contradicción entre dimensiones.
6. Sustituye el atlas inicial por el atlas máximo que genera, al menos conceptualmente.
7. Para una aplicación, compón con cartas del dominio y codominio y calcula la expresión euclidiana.
8. En construcciones globales, verifica local finitud y soporte antes de usar una partición de unidad.

Ejercicios sobre atlas y suavidad

1. Construye el atlas estereográfico de $S^2$, calcula una transición y demuestra que es suave en su dominio exacto.
2. Decide cuáles de la recta con origen doble, una unión no numerable de rectas y el intervalo abierto son variedades bajo la convención de esta unidad; identifica la hipótesis que falla en cada caso negativo.
3. Prueba que la compatibilidad de atlas es una relación de equivalencia y que atlas equivalentes determinan las mismas funciones suaves.
4. Demuestra que una carta de dimensión $m$ y otra de dimensión $n$ no pueden solaparse en una componente cuando $m\ne n$, indicando el uso preciso de invariancia del dominio.
5. Verifica que $\mathbb{RP}^n$ posee cartas $U_i=\{[x_0:\cdots:x_n]:x_i\ne0\}$ y calcula la transición entre $U_i$ y $U_j$.
6. Construye el atlas producto de $S^1\times\mathbb R$ y expresa en él la aplicación $(z,t)\mapsto(e^{it}z,t^2)$.
7. Comprueba todas las propiedades de la partición $\{\rho_N,\rho_S\}$ del ejemplo, incluida la suavidad en los niveles $y=\pm3/4$.
8. Dada una cubierta finita de una variedad compacta y funciones locales compatibles, formula el pegado mediante una partición de unidad y demuestra que la expresión no depende de términos cuyo soporte no alcanza el punto evaluado.

Una estructura suave consta de datos topológicos y de reglas de transición. Las cartas permiten calcular, el atlas máximo fija cuáles cálculos pertenecen a la misma estructura y las aplicaciones suaves respetan esa estructura. Los productos generan nuevos espacios de dimensión sumada; las particiones de unidad ensamblan construcciones locales cuando existe una operación lineal adecuada.