Relatividad general, ecuaciones de Einstein y Schwarzschild

La relatividad general modela la gravedad mediante una métrica lorentziana dinámica. Las partículas de prueba siguen geodésicas, la materia se describe por un tensor de energía-momento y la métrica responde mediante las ecuaciones de Einstein. La solución de Schwarzschild permite calcular órbitas, corrimientos de frecuencia y estructura causal fuera de una fuente esférica estática. Cada resultado requiere distinguir coordenadas, observables e hipótesis físicas.

Equivalencia y geodesia

En caída libre, un observador puede elegir coordenadas localmente inerciales en un punto $p$ tales que

$$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}, \qquad \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}(p)=0.$$

Las derivadas de la conexión no desaparecen en general y producen curvatura. Dos partículas cercanas con separación $\xi^\mu$ obedecen la ecuación de desviación geodésica

$$\frac{D^2\xi^\mu}{D\tau^2} =-R^\mu{}_{\nu\rho\sigma} U^\nu\xi^\rho U^\sigma$$

con la convención de Riemann elegida. Las aceleraciones relativas de marea son observables locales de curvatura. Un campo gravitacional uniforme ideal puede eliminarse en un laboratorio pequeño; una distribución espacial de mareas, no.

La acción de una partícula masiva es

$$S_p=-mc\int ds=-mc^2\int d\tau.$$

Variarla con extremos fijos produce la ecuación geodésica. Para luz se usa una acción con parámetro afín o el límite nulo; el tiempo propio de una curva nula es cero y no sirve como parámetro.

Acción gravitacional

La acción de Einstein-Hilbert con constante cosmológica es

$$S_g=\frac{c^3}{16\pi G} \int_M(R-2\Lambda)\sqrt{-g}\,d^4x.$$

La acción total incluye $S_m[g,\psi]$. El tensor de energía-momento se define por

$$T_{\mu\nu} =-\frac{2c}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu\nu}}.$$

Equivalentemente, para coordenadas con $x^0=ct$ y medida $d^4x$,

$$\delta S_m=-\frac1{2c}\int_M T_{\mu\nu}\,\delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x.$$

El factor de $c$ es indispensable para que esta convención sea compatible con el prefactor $c^3/(16\pi G)$ de $S_g$ y produzca $8\pi G/c^4$ en las ecuaciones de campo.

Para variar la parte gravitacional se usan

$$\delta\sqrt{-g} =-\frac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$$

y la identidad de Palatini

$$\delta R_{\mu\nu} =\nabla_\rho\delta\Gamma^\rho{}_{\nu\mu} -\nabla_\nu\delta\Gamma^\rho{}_{\rho\mu}.$$

El término $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ se convierte en divergencia y aporta una frontera. Con condiciones variacionales adecuadas o el término de frontera correspondiente, queda

$$\delta S_g =\frac{c^3}{16\pi G}\int (G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}) \delta g^{\mu\nu}\sqrt{-g}\,d^4x.$$

Al combinar con $\delta S_m$ y exigir estacionariedad para variaciones arbitrarias,

$$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}.$$

Tong desarrolla esta variación y explicita por qué no puede descartarse el término de frontera sin declarar condiciones Tong, 2019 David Tong (2019) Lectures on General Relativity Part III Mathematical Tripos; distribución abierta con atribución · University of Cambridge Ubicación consultada: apartados sobre acción de Einstein-Hilbert, variación métrica y ecuaciones de campo Abrir fuente .

Conservación y límite newtoniano

La identidad de Bianchi implica

$$\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0.$$

Esta es conservación covariante local. En un espacio-tiempo sin simetría temporal global no siempre existe una energía total conservada definida de manera única.

Para recuperar gravedad newtoniana se toma un campo débil y estático,

$$g_{00}\simeq-\left(1+\frac{2\Phi}{c^2}\right),$$

velocidades pequeñas y presiones despreciables frente a $\rho c^2$. La geodésica espacial produce $\ddot x^i\simeq-\partial^i\Phi$. La componente $00$ de Einstein conduce a

$$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho.$$

Este límite fija el factor de acoplamiento. No autoriza a reemplazar la teoría completa por un potencial escalar cuando el campo es fuerte, dinámico o con tensiones relevantes.

Solución exterior de Schwarzschild

Fuera de una fuente esférica, estática y sin carga, con $T_{\mu\nu}=0$ y $\Lambda=0$, la métrica es

$$ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 +\left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1}dr^2 +r^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2),$$

donde $r_s=2GM/c^2$. La coordenada $r$ se define por el área de las esferas, $4\pi r^2$; no es distancia radial propia. La aparente divergencia de $g_{rr}$ en $r=r_s$ se elimina con otras coordenadas. En cambio, invariantes como

$$R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} =\frac{48G^2M^2}{c^4r^6}$$

divergen en $r=0$ y permanecen finitos en $r_s$. Así se distingue singularidad física de singularidad coordenada.

Ejemplo trabajado: corrimiento gravitacional

Para un observador estacionario con $dr=d\theta=d\varphi=0$,

$$d\tau=\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}\,dt.$$

La métrica es estática, por lo que la frecuencia coordenada asociada a una onda estacionaria se conserva. Dos observadores fijos en $r_A$ y $r_B$ miden

$$\frac{\nu_B}{\nu_A} =\sqrt{\frac{1-r_s/r_A}{1-r_s/r_B}}.$$

Si $r_B>r_A$, el fotón que asciende es medido con menor frecuencia: $\nu_B<\nu_A$. En campo débil,

$$\frac{\nu_B-\nu_A}{\nu_A} \simeq\frac{\Phi_A-\Phi_B}{c^2}.$$

El observador estacionario deja de ser físicamente posible en el horizonte porque su línea $r,\theta,\varphi$ constantes deja de ser temporal. La fórmula no debe extrapolarse a $r<r_s$ conservando esa interpretación.

Geodésicas y constantes de movimiento

Por simetría esférica, una geodésica puede elegirse en el plano ecuatorial $\theta=\pi/2$. El lagrangiano por unidad de masa es

$$2\mathcal L =-f(r)c^2\dot t^2+f(r)^{-1}\dot r^2+r^2\dot\varphi^2, \qquad f(r)=1-\frac{r_s}{r}.$$

Como $t$ y $\varphi$ son coordenadas cíclicas,

$$E=f(r)c^2\dot t, \qquad L=r^2\dot\varphi$$

son constantes por unidad de masa, con convenciones de normalización. Para una geodésica temporal normalizada por $g(\dot\gamma,\dot\gamma)=-c^2$, se obtiene

$$\dot r^2+\left(1-\frac{r_s}{r}\right) \left(c^2+\frac{L^2}{r^2}\right) =\frac{E^2}{c^2}.$$

El término entre paréntesis define un potencial efectivo relativista. Además de la barrera centrífuga $L^2/r^2$, aparece una corrección $-r_sL^2/r^3$ que permite órbitas circulares inestables y precesión.

Ejemplo trabajado: órbita circular

En unidades geométricas $G=c=1$, $f=1-2M/r$ y

$$V_{\mathrm{eff}}(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right) \left(1+\frac{L^2}{r^2}\right).$$

Una órbita circular cumple $\dot r=0$ y $V'_{\mathrm{eff}}=0$. Derivando,

$$\frac{2M}{r^2} -\frac{2L^2}{r^3} +\frac{6ML^2}{r^4}=0.$$

Multiplicar por $r^4/2$ da

$$Mr^2-L^2r+3ML^2=0,$$

de donde

$$L^2=\frac{Mr^2}{r-3M}.$$

Se requiere $r>3M$. La segunda derivada muestra estabilidad sólo para $r>6M$; $r=6M$ es la órbita circular estable más interna para partículas masivas. Restaurar unidades produce $r=6GM/c^2=3r_s$. La conclusión pertenece al modelo Schwarzschild ideal de partícula de prueba, no a cualquier objeto compacto con rotación o disco de materia.

Luz y radio de fotones

Para una geodésica nula, la normalización cambia a cero y el potencial efectivo es

$$V_{\mathrm{null}}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{L^2}{r^2}.$$

La condición circular da $r=3M$, o $3GM/c^2$. Es inestable. El parámetro de impacto crítico y la desviación de rayos requieren integrar la ecuación radial; identificar el radio de fotones no equivale a calcular una imagen observacional completa.

Tensor de un fluido perfecto

Un fluido perfecto con densidad de energía $\varepsilon$, presión $p$ y cuatro-velocidad $U$ tiene

$$T_{\mu\nu} =\left(\varepsilon+p\right)\frac{U_\mu U_\nu}{c^2} +pg_{\mu\nu}$$

si $U^\mu U_\mu=-c^2$. En el marco comóvil, $T_{00}$ representa densidad de energía y las componentes espaciales diagonales son la presión. La presión gravita porque forma parte del tensor completo, aunque el límite newtoniano de materia lenta la haga pequeña frente a $\varepsilon\simeq\rho c^2$.

Proyectar $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ en la dirección de $U$ produce el balance de energía; proyectar ortogonalmente produce la ecuación relativista de Euler. Para polvo, $p=0$, la conservación implica que las líneas de flujo siguen geodésicas si la densidad no se anula. Este resultado se deriva de la ecuación material y no debe imponerse además como una fuerza independiente.

La traza de las ecuaciones de Einstein sin constante cosmológica da

$$-R=\frac{8\pi G}{c^4}T,$$

por lo que también pueden escribirse

$$R_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4} \left(T_{\mu\nu}-\frac12Tg_{\mu\nu}\right).$$

En vacío, $R_{\mu\nu}=0$, pero Riemann puede ser no nulo. Schwarzschild es Ricci-plano fuera de la fuente y conserva curvatura de Weyl.

Simetrías esférica y estática

Una métrica es estática cuando posee un campo de Killing temporal hipersuperficie-ortogonal en la región considerada. La simetría esférica aporta tres generadores de rotación. Estas simetrías permiten el ansatz

$$ds^2=-A(r)c^2dt^2+B(r)dr^2+r^2d\Omega^2.$$

Las ecuaciones de vacío reducen a EDO para $A$ y $B$. Una combinación produce

$$\frac d{dr}\left[r\left(1-\frac1B\right)\right]=0,$$

de modo que $B=(1-C/r)^{-1}$. Otra ecuación da $A=C_0(1-C/r)$. La condición asintóticamente plana fija $C_0=1$ y el límite newtoniano fija $C=2GM/c^2$.

Este esquema no reemplaza el cálculo componente por componente, pero muestra qué hipótesis determinan la familia. El teorema de Birkhoff añade que toda solución de vacío esféricamente simétrica es localmente estática; una fuente esférica que pulsa no emite ondas gravitacionales monopolares en su exterior vacío.

Coordenadas del horizonte

El tiempo tortuga se define por

$$r_*=r+r_s\log\left|\frac r{r_s}-1\right|.$$

Las coordenadas nulas $u=ct-r_*$ y $v=ct+r_*$ permiten construir coordenadas de Eddington–Finkelstein. En la versión entrante,

$$ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dv^2 +2\,dv\,dr+r^2d\Omega^2$$

ajustando unidades de $v$. La matriz métrica es regular en $r=r_s$. Las geodésicas nulas entrantes cruzan el horizonte sin divergencia local.

El horizonte es una hipersuperficie nula globalmente significativa, no una singularidad de curvatura. Un observador lejano asigna tiempo de Schwarzschild creciente al acercamiento, mientras el tiempo propio de una partícula infalente hasta cruzarlo es finito. Ambas afirmaciones son compatibles porque comparan parámetros diferentes.

Ejemplo trabajado: caída radial desde el reposo

En unidades $G=c=1$, para una partícula radial con $L=0$,

$$\dot r^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)=E^2.$$

Si parte del reposo en infinito, $E=1$, y

$$\dot r=-\sqrt{\frac{2M}{r}}.$$

El signo negativo selecciona caída. Integrando,

$$\frac23r^{3/2} =-\sqrt{2M}\,\tau+C.$$

El tiempo propio para caer de $r_0$ a $r_1$ es

$$\Delta\tau =\frac{2}{3\sqrt{2M}} \left(r_0^{3/2}-r_1^{3/2}\right).$$

Es finito al poner $r_1=2M$ e incluso al extrapolar el modelo de partícula de prueba hacia $r_1=0$. En cambio,

$$\dot t=\frac{E}{1-2M/r}$$

diverge al aproximarse al horizonte, por lo que el tiempo coordenado $t$ no es una parametrización regular allí.

Precesión perihelial

Para órbitas temporales se introduce $u=1/r$ y se elimina el parámetro afín en favor de $\varphi$. A primer orden relativista,

$$\frac{d^2u}{d\varphi^2}+u =\frac{GM}{L^2} +\frac{3GM}{c^2}u^2.$$

El último término desplaza la frecuencia angular radial. Para una órbita de semieje mayor $a$ y excentricidad $e$, el avance por revolución es

$$\Delta\varphi \simeq\frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2}.$$

La fórmula supone campo débil, cuerpo central no rotante, masa de prueba y perturbación pequeña. Otros planetas, multipolos, rotación y marcos de referencia también contribuyen en una comparación observacional.

Deflexión de luz

Una geodésica nula con parámetro de impacto $b$ recibe, en campo débil,

$$\Delta\phi\simeq\frac{4GM}{bc^2}.$$

La mitad puede asociarse heurísticamente a un cálculo newtoniano de aceleración y la otra a la curvatura espacial, pero la derivación consistente usa la geodésica nula completa. El ángulo es asintótico y presupone emisor y observador en regiones casi planas; en distancias finitas se define con una geometría de observación más cuidadosa.

Condiciones de energía y causalidad

Las condiciones de energía son desigualdades sobre $T_{\mu\nu}$ usadas en teoremas geométricos. La condición nula exige $T_{\mu\nu}k^\mu k^\nu\ge0$ para todo vector nulo $k$. Para un fluido perfecto se relaciona con $\varepsilon+p\ge0$. Son hipótesis matemáticas susceptibles de violación en modelos cuánticos efectivos; no son identidades derivadas de Einstein.

La causalidad global tampoco se sigue sólo de la signatura local. Para plantear evolución se buscan hipersuperficies de Cauchy y globalmente hiperbólicas. Schwarzschild exterior posee una estructura causal controlable, pero la extensión máxima incluye regiones que las coordenadas estáticas no cubren.

Masa y observables asintóticos

En una geometría asintóticamente plana, la masa total puede definirse mediante el comportamiento de la métrica en el infinito espacial. El parámetro $M$ de Schwarzschild coincide con esa masa y con el coeficiente del potencial newtoniano lejano. Esta identificación usa condiciones de caída; una constante en una solución local no adquiere automáticamente interpretación de masa.

Las frecuencias, ángulos y tiempos propios se asignan a observadores concretos. Por ejemplo, la energía conservada $E=-g(\partial_t,U)$ usa el campo de Killing estático. La energía local medida por un observador estacionario incluye su normalización y varía con $r$. Confundir ambas cantidades puede invertir la interpretación de un corrimiento gravitacional.

Escalas adimensionales

Tres razones controlan muchos límites: compacidad $GM/(Rc^2)$, rapidez $v/c$ y distancia relativa $r_s/r$. La Tierra tiene compacidad pequeña, mientras una estrella de neutrones puede requerir correcciones fuertes. Una órbita lejana alrededor de un agujero negro puede tratarse débilmente aunque el objeto central tenga horizonte.

Antes de truncar una expresión se debe estimar cada razón y el tiempo de acumulación. La precesión por revolución puede ser pequeña, pero sumarse durante muchas órbitas. Un error de orden cuadrático local tampoco es necesariamente despreciable en un ajuste de alta precisión.

Consistencia dimensional y geométrica

$R_{\mu\nu}$ y $\Lambda g_{\mu\nu}$ tienen dimensiones de longitud inversa al cuadrado. El factor $G/c^4$ convierte energía-momento a la misma dimensión. En unidades geométricas $G=c=1$, masas, tiempos y distancias comparten unidad; restaurarlas exige revisar cada término, no insertar factores al final por intuición.

Una solución candidata debe pasar al menos cuatro pruebas: simetrías declaradas, ecuaciones de campo, identidades de Bianchi y límite físico apropiado. Verificar sólo una componente de Einstein no garantiza las demás, aunque las simetrías reduzcan el número independiente.

Condiciones y límites

La solución de Schwarzschild supone exterior vacío, simetría esférica, ausencia de rotación y carga, y estacionariedad. Una estrella tiene una solución interior unida al exterior; un agujero negro requiere extensión regular a través del horizonte. La masa $M$ se interpreta asintóticamente. Cerca de cuerpos rotantes se usa otra geometría, y en cosmología el comportamiento asintótico puede no ser plano.

Procedimiento para una métrica gravitacional

1. Declarar simetrías, región, fuente y convención de unidades.
2. Identificar vectores de Killing y constantes de movimiento.
3. Clasificar curvas como temporales, nulas o espaciales.
4. Reducir geodésicas a un potencial efectivo cuando sea posible.
5. Verificar límites newtoniano y asintótico.
6. Evaluar escalares de curvatura ante una divergencia coordenada.
7. Separar observadores físicamente realizables de líneas coordenadas.
8. Registrar condiciones bajo las cuales una órbita o aproximación es estable.

Ejercicios de Einstein y Schwarzschild

1. Deriva la variación de $\sqrt{-g}$ a partir de $\delta\log|g|=-g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$.
2. Explica el término de frontera en la variación de Einstein-Hilbert y por qué necesita tratamiento explícito.
3. Recupera la ecuación de Poisson desde el límite débil bajo hipótesis declaradas.
4. Calcula la dilatación temporal entre dos radios y desarrolla el resultado a primer orden en $GM/(rc^2)$.
5. Verifica que el escalar de Kretschmann es finito en $r=r_s$ y diverge en $r=0$.
6. Deriva las constantes $E$ y $L$ desde las coordenadas cíclicas.
7. Obtén el radio de la órbita circular nula y analiza su estabilidad.
8. Compara la órbita estable más interna con el radio de Schwarzschild y restaura unidades.

Las ecuaciones de Einstein enlazan curvatura y materia dentro de un principio variacional y una identidad de conservación. Schwarzschild ofrece un laboratorio exacto para ese enlace, siempre que sus simetrías y su dominio se mantengan explícitos.