Espacios topológicos, separación y compacidad

Una topología declara qué subconjuntos pueden funcionar como entornos abiertos. Esa elección permite definir continuidad, convergencia y propiedades globales sin introducir primero una distancia. Los espacios métricos forman una clase especialmente manejable, pero no agotan la teoría: topologías distintas sobre el mismo conjunto pueden expresar grados diferentes de información observable. El capítulo 3 del libro de Nahmad-Achar fija el tema de esta unidad mediante su índice; las definiciones, justificaciones y actividades que siguen se redactan de manera original y se apoyan en notas universitarias abiertas Nahmad-Achar, 2022 Eduardo Nahmad-Achar (2022) Topología y geometría diferencial con aplicaciones a la física 1.ª ed. · UNAM, Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial Ubicación consultada: cap. 3, «Elementos de topología», según el índice usado para organizar el curso Abrir fuente .

Topologías y comparación de abiertos

Sea $X$ un conjunto. Una topología sobre $X$ es una familia $\tau\subseteq\mathcal P(X)$ que cumple:

1. $\varnothing,X\in\tau$;
2. la unión de cualquier familia de elementos de $\tau$ pertenece a $\tau$;
3. la intersección de un número finito de elementos de $\tau$ pertenece a $\tau$.

El par $(X,\tau)$ es un espacio topológico y los elementos de $\tau$ son sus abiertos. Un conjunto es cerrado cuando su complemento es abierto. La restricción a intersecciones finitas es esencial: en $\mathbb R$,

$$\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-\frac1n,\frac1n\right)=\{0\},$$

y el conjunto resultante no es abierto en la topología usual.

Sobre cualquier $X$ existen dos extremos. La topología indiscreta $\{\varnothing,X\}$ distingue muy poco; la discreta $\mathcal P(X)$ declara abierto todo subconjunto. Si $\tau_1\subseteq\tau_2$, se dice que $\tau_2$ es más fina que $\tau_1$. Una topología más fina facilita que una función con dominio $X$ sea discontinua, pues hay más abiertos cuya imagen inversa debe examinarse.

La topología de subespacio sobre $A\subseteq X$ consta de los conjuntos $A\cap U$ con $U$ abierto en $X$. Por ejemplo, $[0,1)$ es abierto en $[0,1]$ aunque no lo sea en $\mathbb R$, porque $[0,1)=(-1,1)\cap[0,1]$. Esta precisión evita confundir apertura absoluta con apertura relativa.

Bases y subbases

Una familia $\mathcal B\subseteq\tau$ es una base si todo abierto es unión de elementos de $\mathcal B$. Equivalentemente, para cada abierto $U$ y cada $x\in U$ existe $B\in\mathcal B$ tal que $x\in B\subseteq U$. Para proponer una topología sin enumerar todos sus abiertos basta verificar que la base cubre $X$ y que, si $x\in B_1\cap B_2$, algún $B_3$ satisface $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$.

Una subbase $\mathcal S$ genera una base al tomar intersecciones finitas de sus elementos; después, las uniones arbitrarias generan la topología. En $\mathbb R$, los rayos $(-\infty,a)$ y $(b,\infty)$ forman una subbase de la topología usual, porque sus intersecciones producen intervalos abiertos $(b,a)$.

Las bolas euclidianas con centro racional y radio racional positivo forman una base numerable de $\mathbb R^n$. En efecto, si $x\in U$ y $U$ es abierto, existe una bola $B_r(x)\subseteq U$; la densidad de $\mathbb Q^n$ permite escoger $q\in\mathbb Q^n$ próximo a $x$ y luego un radio racional $s$ tal que $x\in B_s(q)\subseteq B_r(x)$. Esta construcción será la prueba concreta de segunda numerabilidad.

Continuidad y homeomorfismos

Una función $f:X\to Y$ es continua si

$$V\text{ abierto en }Y\quad\Longrightarrow\quad f^{-1}(V)\text{ abierto en }X.$$

La definición usa imágenes inversas porque preservan uniones e intersecciones sin exigir que $f$ sea inyectiva. Si $\mathcal B_Y$ es una base de $Y$, basta comprobar $f^{-1}(B)$ para $B\in\mathcal B_Y$; si se dispone de una subbase, basta con sus elementos. En espacios métricos esta condición equivale a la formulación $\varepsilon$-$\delta$.

Un homeomorfismo es una biyección continua cuya inversa también es continua. La exigencia sobre la inversa no es redundante: una biyección continua puede convertir un abierto en un conjunto no abierto. Los homeomorfismos conservan compacidad, conexidad y cada axioma de separación, pero no longitudes ni ángulos.

Productos y cocientes

En $X\times Y$, la topología producto tiene como base los conjuntos $U\times V$ con $U$ abierto en $X$ y $V$ abierto en $Y$. Es la topología menos fina que hace continuas las proyecciones sobre cada factor. Una función $g:Z\to X\times Y$ es continua exactamente cuando sus componentes $\pi_X\circ g$ y $\pi_Y\circ g$ son continuas; así, una verificación sobre el producto se reduce a dos verificaciones en los factores.

Si $q:X\to Q$ es una función sobreyectiva, la topología cociente declara abierto $W\subseteq Q$ cuando $q^{-1}(W)$ es abierto en $X$. Es la topología más fina que mantiene continua a $q$. Identificar los extremos de $[0,1]$ produce un espacio homeomorfo a $S^1$: la función $q(t)=e^{2\pi it}$ es continua, sobreyectiva y constante exactamente en la clase común de $0$ y $1$. Para definir una función continua $h:Q\to Z$ basta construir una función continua $h\circ q$ sobre $X$ que tome el mismo valor en cada clase de equivalencia.

Separación de puntos

Los axiomas $T_0$, $T_1$ y $T_2$ registran cuánta información ofrecen los abiertos.

• $T_0$: para $x\ne y$, existe un abierto que contiene exactamente a uno de ellos.
• $T_1$: para $x\ne y$, cada punto posee un abierto que no contiene al otro. Esto equivale a que todos los conjuntos de un punto sean cerrados.
• $T_2$ o Hausdorff: para $x\ne y$, existen abiertos disjuntos $U\ni x$ y $V\ni y$.

Se cumple $T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$, y las recíprocas fallan. La propiedad Hausdorff garantiza unicidad de límites: si una sucesión convergiera a $x$ y a $y\ne x$, dos entornos disjuntos obligarían a sus términos finales a estar simultáneamente en ambos.

Las notas de MIT adoptan espacios Hausdorff y segundo numerables antes de introducir atlas diferenciables; no presentan esas hipótesis como consecuencias de ser localmente euclídeo, sino como condiciones adicionales de la definición usada en el curso Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lección 1, pp. 1-2, definiciones 1.1-1.3 Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: tres grados de separación

Sea $X=\{0,1\}$. Con la topología indiscreta, ningún abierto distingue $0$ de $1$, de modo que el espacio no es $T_0$. Con

$$\tau_S=\{\varnothing,\{1\},X\},$$

el abierto $\{1\}$ distingue los puntos, así que el espacio es $T_0$. Sin embargo, no existe un abierto que contenga a $0$ y excluya a $1$; por ello no es $T_1$.

Ahora sea $X$ infinito con topología cofinita: son abiertos $\varnothing$ y los conjuntos cuyo complemento es finito. Cada singleton es cerrado, así que el espacio es $T_1$. Dos abiertos no vacíos nunca son disjuntos, porque la unión de sus complementos sigue siendo finita y no puede cubrir $X$. Por tanto no es Hausdorff. Los ejemplos muestran que las implicaciones anteriores son estrictas.

Segunda numerabilidad

Un espacio es segundo numerable si posee una base numerable. La condición no dice que el espacio tenga pocos puntos: $\mathbb R^n$ es no numerable y, aun así, la base de bolas racionales es numerable. Una base global numerable implica separabilidad, pues se puede elegir un punto de cada abierto básico no vacío y obtener un subconjunto numerable denso.

En espacios métricos también vale la recíproca: de un conjunto denso numerable $D$ se obtienen las bolas $B_r(d)$ con $d\in D$ y $r\in\mathbb Q_{>0}$. Fuera del ámbito métrico, separabilidad y segunda numerabilidad ya no son equivalentes. Tampoco debe confundirse segunda numerabilidad con primera numerabilidad, que sólo pide una base numerable de entornos en cada punto.

Compacidad por cubiertas

Un espacio $X$ es compacto si toda cubierta por abiertos admite una subcubierta finita. Para $K\subseteq X$ se usa la topología de subespacio. Esta definición es topológica y no menciona acotamiento. En $\mathbb R^n$, el teorema de Heine-Borel identifica los compactos con los conjuntos cerrados y acotados; esa equivalencia no debe trasladarse sin prueba a un espacio general.

Dos resultados justifican el uso constante de la compacidad. Si $f:X\to Y$ es continua y $X$ compacto, entonces $f(X)$ es compacto: se toma una cubierta de $f(X)$, se retrotrae a una cubierta de $X$, se elige una subcubierta finita y se vuelve a aplicar $f$. Si además $Y$ es Hausdorff, cada compacto $K\subseteq Y$ es cerrado. La segunda afirmación usa entornos disjuntos de un punto exterior y de cada punto de $K$, seguidos por una subcubierta finita.

Conexidad y arcoconexidad

Un espacio es conexo si no puede expresarse como unión de dos abiertos disjuntos, no vacíos, que lo cubran. Es arcoconexo si cada par $x,y$ puede unirse mediante una función continua $\gamma:[0,1]\to X$ con $\gamma(0)=x$ y $\gamma(1)=y$. La arcoconexidad implica conexidad porque $[0,1]$ es conexo y la imagen continua de un conexo es conexa; la recíproca falla en ciertos subespacios del plano.

Las componentes conexas son los subconjuntos conexos máximos. La imagen continua de un conexo sigue siendo conexa, de modo que una función continua $f:X\to\{0,1\}$ hacia el espacio discreto debe ser constante cuando $X$ es conexo. Esta caracterización convierte una separación en una función indicadora continua y resulta útil para demostrar imposibilidades.

Espacios métricos

Una métrica $d:X\times X\to[0,\infty)$ satisface identidad de los indistinguibles, simetría y desigualdad triangular. Sus bolas abiertas generan una topología. Todo espacio métrico es Hausdorff: para $x\ne y$, las bolas de radio $d(x,y)/3$ son disjuntas.

En un espacio métrico, $x_n\to x$ significa $d(x_n,x)\to0$. Una sucesión es de Cauchy si sus términos terminan arbitrariamente próximos entre sí; el espacio es completo si toda sucesión de Cauchy converge dentro de él. Compacidad implica completitud y acotamiento, pero la recíproca no vale en general: un espacio de Hilbert infinito dimensional puede ser completo y tener bolas cerradas acotadas que no son compactas.

En espacios métricos, compacidad, compacidad secuencial y completitud más total acotamiento son equivalentes. El total acotamiento exige que, para todo $\varepsilon>0$, el espacio pueda cubrirse con un número finito de bolas de radio $\varepsilon$; es más fuerte que caber dentro de una sola bola grande. Sjamaar resume abiertos, cerrados, frontera, acotamiento y compacidad en el contexto euclidiano Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: apéndice A.2, pp. 141-142 Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: métricas equivalentes en dimensión finita

En $\mathbb R^n$ consideremos

$$\|x\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|, \qquad \|x\|_2=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}, \qquad \|x\|_\infty=\max_i|x_i|.$$

Las desigualdades

$$\|x\|_\infty\le \|x\|_2\le \|x\|_1\le n\|x\|_\infty$$

permiten comparar bolas. Por ejemplo,

$$B^{1}_{r}(x)\subseteq B^{\infty}_{r}(x) \quad\text{y}\quad B^{\infty}_{r/n}(x)\subseteq B^{1}_{r}(x).$$

Así, cada bola de una norma contiene una bola de la otra con el mismo centro, y las tres normas generan exactamente los mismos abiertos. Las distancias numéricas cambian, pero continuidad, convergencia, compacidad y conexidad permanecen. Este argumento depende de dimensión finita.

Dos teoremas de Brouwer con conclusiones distintas

El teorema del punto fijo de Brouwer afirma que toda aplicación continua

$$f:\overline B^n\longrightarrow\overline B^n$$

tiene al menos un punto $x$ con $f(x)=x$. No asegura unicidad, estabilidad ni convergencia de las iteraciones. Sjamaar demuestra primero que no existe una retracción suave de una variedad compacta orientable sobre su frontera y obtiene de ahí la versión suave para la bola; también explica el paso a la formulación continua Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: cap. 10, §10.1, pp. 125-126, teoremas 10.1 y 10.2 Abrir fuente .

La invariancia del dominio, también debida a Brouwer, sostiene que si $U\subseteq\mathbb R^n$ es abierto y $f:U\to\mathbb R^n$ es continua e inyectiva, entonces $f(U)$ es abierto y $f:U\to f(U)$ es un homeomorfismo. Aquí no se busca un punto fijo: se controla la apertura de la imagen de una inyección entre espacios de la misma dimensión. El requisito de igual dimensión forma parte del enunciado; la función $t\mapsto(t,0)$ de $\mathbb R$ a $\mathbb R^2$ es inyectiva y continua, pero su imagen no es abierta en el plano.

Procedimiento de análisis topológico

1. Declara el conjunto y la topología, incluida la topología relativa cuando corresponda.
2. Reduce las pruebas de apertura o continuidad a una base o subbase disponible.
3. Comprueba $T_0$, $T_1$ y Hausdorff mediante pares de puntos distintos.
4. Exhibe una base numerable o explica por qué no existe una candidata evidente.
5. Para compacidad, trabaja con cubiertas; usa sucesiones sólo cuando la equivalencia esté justificada.
6. Para conexidad, descarta separaciones o emplea imágenes continuas de espacios conexos.
7. Si hay una métrica, distingue acotamiento, total acotamiento y completitud.
8. Antes de invocar a Brouwer, verifica cuál de sus teoremas coincide con la conclusión buscada.

Ejercicios de topología general y métrica

1. Enumera todas las topologías sobre un conjunto de dos puntos y clasifícalas como $T_0$, $T_1$ y Hausdorff.
2. Demuestra directamente que las intersecciones finitas de elementos de una subbase forman una base para la topología generada.
3. Prueba que una función es continua si las imágenes inversas de los elementos de una subbase del codominio son abiertas.
4. En un conjunto infinito con topología cofinita, determina qué sucesiones convergen y explica por qué un límite puede no ser único.
5. Construye de forma explícita la base numerable de $\mathbb R^2$ formada por bolas racionales y demuestra que refina cualquier entorno abierto de un punto.
6. Prueba que un compacto contenido en un espacio Hausdorff es cerrado, indicando dónde se usa la subcubierta finita.
7. Demuestra que $[0,1]$ es conexo usando la propiedad del supremo y deduce que la imagen continua de un intervalo no puede omitir un valor intermedio.
8. Decide cuáles de $(0,1)$, $[0,1]$, $\mathbb Q\cap[0,1]$ y $\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb N\}$ son compactos en $\mathbb R$; justifica cada respuesta con una cubierta o una sucesión.

La topología separa propiedades estructurales de rasgos métricos accidentales. Bases y subbases reducen las verificaciones; los axiomas de separación controlan la distinción entre puntos; segunda numerabilidad limita el tamaño del sistema de coordenadas; compacidad y conexidad convierten información local en conclusiones globales. Las métricas añaden estimaciones y sucesiones sin reemplazar esas nociones.