Campos tensoriales y corchete de Lie

Un tensor definido en un solo espacio tangente es un objeto algebraico puntual. Un campo tensorial asigna esos objetos suavemente a todos los puntos de una región. La variación espacial introduce una dificultad: las bases también cambian. El corchete de Lie detecta si dos campos vectoriales generan desplazamientos locales cuyo orden puede intercambiarse y distingue las bases procedentes de coordenadas de otros marcos útiles.

Secciones tensoriales y componentes

Un campo de tipo $(r,s)$ es una sección suave del fibrado $T^r_sM$. En una carta $x=(x^1,\ldots,x^n)$,

$$T=T^{i_1\cdots i_r}{}_{j_1\cdots j_s}(x) \,\partial_{i_1}\otimes\cdots\otimes\partial_{i_r} \otimes dx^{j_1}\otimes\cdots\otimes dx^{j_s}.$$

La suavidad significa que las componentes son suaves en cada carta. Campos definidos por fórmulas distintas en cartas diferentes forman un único tensor global si obedecen la ley de transformación en cada solapamiento.

La suma, el producto tensorial, las permutaciones y las contracciones se realizan punto a punto. Si $f$ es suave, $fT$ conserva el tipo. En cambio, derivar componentes ordinariamente no produce en general otro tensor: aparecen derivadas de los jacobianos. El corchete de dos campos vectoriales constituye una excepción natural que no requiere conexión.

Definición del corchete

Los campos vectoriales actúan como derivaciones sobre funciones. Para $X,Y\in\mathfrak X(M)$ se define

$$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf).$$

El operador resultante vuelve a ser una derivación y, por tanto, un campo vectorial. En coordenadas,

$$[X,Y]^k=X^i\partial_iY^k-Y^i\partial_iX^k.$$

El corchete es bilineal sobre $\mathbb R$, antisimétrico y satisface la identidad de Jacobi

$$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0.$$

No es lineal sobre funciones: $[fX,Y]=f[X,Y]-Y(f)X$. Este término adicional registra la variación espacial de $f$.

Bases coordenadas y marcos móviles

En una carta, las derivadas parciales conmutan:

$$[\partial_i,\partial_j]=0.$$

Un marco local $e_1,\ldots,e_n$ es una colección de campos linealmente independientes, pero no tiene por qué provenir de coordenadas. Sus coeficientes de estructura se definen por

$$[e_a,e_b]=C^c{}_{ab}e_c.$$

Si algún $C^c{}_{ab}$ es no nulo, ese marco no es coordenado. La afirmación recíproca local requiere que todos los corchetes se anulen y que el marco tenga rango completo. Esta condición es una manifestación del teorema de Frobenius.

Cálculo trabajado en polares

En el plano sin el origen, las coordenadas polares dan la base coordenada $\partial_r,\partial_\theta$, que conmuta. El marco ortonormal habitual es

$$e_r=\partial_r, \qquad e_\theta=\frac1r\partial_\theta.$$

Usando $[X,fY]=f[X,Y]+X(f)Y$,

$$[e_r,e_\theta] =\left[\partial_r,\frac1r\partial_\theta\right] =-\frac1{r^2}\partial_\theta =-\frac1r e_\theta.$$

Aunque el marco es ortonormal para la métrica euclidiana, no es coordenado. Desplazarse una distancia pequeña en dirección angular, cambiar de radio y repetir en orden opuesto no cierra exactamente el mismo cuadrilátero, porque una unidad angular física mide $r\,d\theta$ y varía con $r$.

Para contrastar, sean $X=x\partial_y$ y $Y=\partial_x$ en cartesianas. Entonces

$$[X,Y]=-\partial_y.$$

En efecto, aplicar primero el flujo de $Y$ cambia $x$ y modifica la velocidad vertical generada por $X$; invertir el orden produce una diferencia vertical de segundo orden.

Interpretación mediante flujos

Sean $\Phi_t^X$ y $\Phi_s^Y$ los flujos locales. La composición

$$\Phi_{-s}^Y\circ\Phi_{-t}^X \circ\Phi_s^Y\circ\Phi_t^X(p)$$

regresa a $p$ en primer orden, pero su término mixto es proporcional a $ts[X,Y]_p$, con signo dependiente de la convención de composición. Por ello $[X,Y]=0$ implica que los flujos locales conmutan cuando están definidos. Las notas de MIT presentan este vínculo entre conmutadores algebraicos y desplazamientos generados por flujos Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: notas sobre campos vectoriales, flujos locales y corchete de Lie Abrir fuente .

El corchete también prueba invariancia. Si $Y$ genera una distribución o una simetría, la condición $[X,Y]=0$ dice que el flujo de $X$ transporta $Y$ en sí mismo. Para una familia de campos $X_1,\ldots,X_k$, que sus corchetes permanezcan en su span es la condición de involutividad usada por Frobenius para obtener subvariedades integrales.

Tensores y cambios infinitesimales

El corchete es la derivada de Lie de un campo respecto de otro:

$$\mathcal L_XY=[X,Y].$$

La derivada de Lie se extiende a covectores y tensores mediante dualidad y la regla de Leibniz. Para una uno-forma $\alpha$,

$$(\mathcal L_X\alpha)(Y) =X(\alpha(Y))-\alpha([X,Y]).$$

No necesita métrica ni conexión. Mide el cambio bajo el arrastre del flujo, no la variación obtenida al transportar paralelamente. Las notas de MIT relacionan esta naturalidad con campos, flujos, formas y difeomorfismos Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: notas sobre campos vectoriales, flujos, derivada de Lie y operaciones naturales Abrir fuente .

Procedimiento de cálculo

Ejemplo trabajado: campos lineales y conmutador matricial

Sean $X_A(x)=Ax$ y $X_B(x)=Bx$ campos lineales en $\mathbb R^n$. Sus jacobianos son las matrices constantes $A$ y $B$. Al evaluar la fórmula coordenada,

$$[X_A,X_B](x) =DX_B(x)X_A(x)-DX_A(x)X_B(x) =BAx-ABx.$$

Con la convención $Xf=X^i\partial_if$, el resultado es $X_{BA-AB}$. El orden es importante: asociar mecánicamente $[A,B]=AB-BA$ sin revisar cómo se asignó la matriz al campo puede invertir el signo.

Tomemos

$$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

$X_A=-y\partial_x+x\partial_y$ genera rotaciones y $X_B=x\partial_x-y\partial_y$ genera expansión en $x$ y contracción en $y$. Se calcula

$$BA-AB= \begin{pmatrix}0&-2\\-2&0\end{pmatrix}.$$

Por tanto,

$$[X_A,X_B]=-2y\partial_x-2x\partial_y.$$

Aplicar primero una rotación pequeña y luego la deformación hiperbólica no equivale al orden opuesto. El campo resultante cuantifica el primer defecto no nulo. Además, la traza de $BA-AB$ es cero, como ocurre para todo conmutador matricial; el nuevo campo lineal preserva área infinitesimal.

La identidad de Jacobi se verifica aquí por asociatividad de matrices. Al expandir los tres dobles conmutadores, cada producto $ABC$ aparece una vez con signo positivo y una con negativo. Esta justificación es más informativa que comprobar componentes para una terna particular.

Distribuciones e integrabilidad

Una distribución de rango $k$ asigna un subespacio $D_p\subset T_pM$ generado localmente por campos independientes $X_1,\ldots,X_k$. Se llama involutiva si

$$[X_i,X_j]\in\Gamma(D)$$

para todos los pares. El teorema de Frobenius afirma que una distribución suave de rango constante es tangente localmente a subvariedades de dimensión $k$ si y sólo si es involutiva.

Considere en $\mathbb R^3$

$$X=\partial_x+y\partial_z, \qquad Y=\partial_y.$$

Entonces $[X,Y]=-\partial_z$. Si $-\partial_z=aX+bY$, comparar componentes $x$ e $y$ obliga a $a=b=0$, incompatible con la componente $z$. La distribución no es involutiva y no existen superficies cuyas tangentes sean exactamente $\operatorname{span}\{X,Y\}$ en una región abierta.

La obstrucción también aparece mediante la uno-forma

$$\alpha=dz-y\,dx,$$

cuyo núcleo es la distribución. Como $d\alpha=-dy\wedge dx$,

$$\alpha\wedge d\alpha =(dz-y\,dx)\wedge(-dy\wedge dx) =-dz\wedge dy\wedge dx\ne0.$$

Para una distribución de hiperplanos, la condición de Frobenius es $\alpha\wedge d\alpha=0$. Las dos pruebas —corchetes y formas— coinciden.

Marcos ortonormales y coeficientes de estructura

Un marco móvil puede simplificar la métrica a componentes constantes mientras complica los conmutadores. En coordenadas esféricas euclidianas, por ejemplo,

$$e_r=\partial_r, \qquad e_\vartheta=\frac1r\partial_\vartheta, \qquad e_\varphi=\frac1{r\sin\vartheta}\partial_\varphi.$$

Se obtienen

$$[e_r,e_\vartheta]=-\frac1r e_\vartheta, \qquad [e_r,e_\varphi]=-\frac1r e_\varphi,$$ $$[e_\vartheta,e_\varphi] =-\frac{\cot\vartheta}{r}e_\varphi.$$

Las singularidades en $r=0$ y $\sin\vartheta=0$ pertenecen al marco. Antes de atribuirlas al tensor calculado, debe cambiarse a una base regular. En las ecuaciones de conexión con marcos no coordenados, estos coeficientes contribuyen a torsión y no pueden omitirse.

Desarrollo matemático del flujo conmutador

El sistema de flujos de dos campos puede analizarse mediante su operador sobre funciones. Para tiempo pequeño,

$$(\Phi_t^X)^*f=f+tXf+\frac{t^2}{2}X^2f+O(t^3).$$

Esta serie es la exponencial formal del operador derivada $X$. Al componer el lazo de flujos y conservar los términos mixtos se obtiene

$$(\Phi_t^X)^*(\Phi_s^Y)^* (\Phi_{-t}^X)^*(\Phi_{-s}^Y)^*f =f+ts[X,Y]f+O(|t|^2|s|+|t||s|^2).$$

Por tanto, el vector corchete es el coeficiente principal del defecto de conmutación. Esta derivación usa una ecuación de flujo y una aproximación de segundo orden en el espacio de funciones; no depende de una matriz particular.

Cuando $[X,Y]=0$, el sistema local de ecuaciones para ambos flujos es compatible y las composiciones coinciden mientras estén definidas. La conclusión es local porque una explosión en tiempo finito o un dominio no invariante puede impedir comparar parámetros grandes.

Componentes de un tensor bajo una base móvil

Sea $T=T^a{}_be_a\otimes\theta^b$ en un marco con dual $\theta^b$. La derivada de las componentes a lo largo de $X$ no basta para describir el cambio del tensor, porque también varían $e_a$ y $\theta^b$. La derivada de Lie satisface

$$\mathcal L_XT =X(T^a{}_b)e_a\otimes\theta^b +T^a{}_b[X,e_a]\otimes\theta^b +T^a{}_be_a\otimes\mathcal L_X\theta^b.$$

La dualidad impone

$$(\mathcal L_X\theta^b)(e_c) =-\theta^b([X,e_c]).$$

En una base coordenada, estos términos siguen presentes si $X$ tiene componentes variables. En un marco transportado por el flujo de $X$, se simplifican. El cálculo explica por qué «derivar cada entrada» sólo funciona bajo condiciones especiales.

Simetrías de una ecuación diferencial

Si el sistema autónomo está generado por $X$ y $Y$ satisface $[X,Y]=0$, el flujo de $Y$ lleva soluciones de $X$ a soluciones de $X$ con el mismo parámetro temporal. Para una función $H$, la condición $X(H)=0$ expresa conservación; si además $Y(H)=0$, ambas evoluciones permanecen en los mismos niveles.

En cambio, $[X,Y]=fX$ con una función $f$ puede conservar las curvas de $X$ pero reparametrizar su tiempo. Debe distinguirse simetría temporal de equivalencia orbital. Esta separación resulta esencial cuando un cambio de escala del campo no altera el retrato orientado, pero sí periodos y velocidades.

La verificación práctica consiste en calcular el vector corchete como derivada, sustituirlo en la ecuación del sistema y comprobar si pertenece al espacio generado por las simetrías declaradas. La matriz de componentes puede cambiar entre cartas; la pertenencia a la distribución y la conmutación de flujos son afirmaciones geométricas.

1. Declarar la base y decidir si es coordenada.
2. Expresar ambos campos en esa misma base.
3. Derivar tanto componentes como funciones que multipliquen la base.
4. Reunir el resultado y comprobar antisimetría.
5. Repetir en otra carta cuando haya una aparente singularidad coordenada.
6. Interpretar $[X,Y]=0$ sólo en el dominio común de los flujos.
7. Para una distribución, verificar cierre de todos los pares relevantes.

Ejercicios de campos y conmutadores

1. Calcula $[x\partial_x,y\partial_y]$ y verifica la respuesta aplicando el operador a una función general.
2. Para $X=\partial_x+y\partial_z$ y $Y=\partial_y$, calcula el corchete e interpreta el desplazamiento de los flujos.
3. Obtén los coeficientes de estructura del marco cilíndrico ortonormal.
4. Demuestra la identidad $[fX,gY]=fg[X,Y]+fX(g)Y-gY(f)X$.
5. Verifica la identidad de Jacobi para tres campos lineales representados por matrices.
6. Decide si la distribución generada por $X=\partial_x+y\partial_z$ y $Y=\partial_y$ es involutiva.
7. Prueba que un difeomorfismo preserva corchetes: $F_*[X,Y]=[F_*X,F_*Y]$.

El corchete distingue la variación de los campos de la variación de las coordenadas. Su carácter intrínseco lo convierte en el primer operador diferencial sobre tensores que puede definirse sin escoger una conexión.