Curvas integrales y derivadas de Lie

Un campo vectorial asigna a cada punto una velocidad tangente; una curva integral realiza esa velocidad como movimiento. La unicidad reúne las soluciones en un flujo, y el flujo permite comparar funciones, campos y tensores situados en puntos distintos. La derivada de Lie mide el cambio infinitesimal producido por ese transporte sin elegir una métrica ni una conexión. El capítulo 11 señalado en el índice de Nahmad-Achar fija este conjunto de temas; la exposición siguiente es original y se apoya en materiales universitarios abiertos Nahmad-Achar, 2022 Eduardo Nahmad-Achar (2022) Topología y geometría diferencial con aplicaciones a la física 1.ª ed. · UNAM, Dirección General de Publicaciones y Fomento Editorial Ubicación consultada: cap. 11, «Curvas integrales y derivadas de Lie», según el índice usado para organizar el curso Abrir fuente .

Campos vectoriales y curvas integrales

Sea $M$ una variedad suave y $X\in\mathfrak X(M)$ un campo vectorial. Una curva suave $\gamma:I\to M$, definida en un intervalo $I\subseteq\mathbb R$, es integral de $X$ si

$$\dot\gamma(t)=X_{\gamma(t)}$$

para todo $t\in I$. En una carta $x=(x^1,\ldots,x^n)$, si

$$X=\sum_{i=1}^n X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},$$

la condición se convierte en el sistema euclidiano

$$\frac{d}{dt}(x^i\circ\gamma)(t)=X^i(x(\gamma(t))), \qquad i=1,\ldots,n.$$

Como las componentes de un campo suave son localmente Lipschitz, el teorema de Picard-Lindelöf da una solución local única para cada condición $\gamma(0)=p$. Si la curva abandona una carta, se continúa en otra: las soluciones coordinadas coinciden en el solapamiento por unicidad. Así se obtiene una única curva integral maximal

$$\gamma_p:I_p\longrightarrow M, \qquad 0\in I_p,$$

que no admite una extensión integral a un intervalo mayor. El intervalo maximal es abierto. La conclusión es local: suavidad del campo no impide que $I_p$ tenga un extremo finito.

Hirsch, Smale y Devaney separan existencia, unicidad y dependencia respecto de las condiciones iniciales antes de usar las aplicaciones temporales como objetos dinámicos Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1-7.3, pp. 139-149; cap. 17, §§17.3 y 17.6, pp. 394-410 .

Flujo local y dominio maximal

Reunamos las curvas maximales en

$$\mathcal D=\{(t,p)\in\mathbb R\times M:t\in I_p\}, \qquad \Phi(t,p)=\gamma_p(t).$$

El conjunto $\mathcal D$ es abierto, contiene $\{0\}\times M$ y $\Phi$ es suave. Escribimos $\Phi_t(p)=\Phi(t,p)$. La unicidad prueba las identidades

$$\Phi_0(p)=p, \qquad \Phi_{t+s}(p)=\Phi_t(\Phi_s(p))$$

si todos los términos están definidos. Para justificar la segunda, las funciones $t\mapsto\Phi_{t+s}(p)$ y $t\mapsto\Phi_t(\Phi_s(p))$ resuelven la misma EDO y toman el mismo valor en $t=0$.

Para un tiempo fijo, sea $M_t=\{p:(t,p)\in\mathcal D\}$. Entonces

$$\Phi_t:M_t\longrightarrow M_{-t}$$

es un difeomorfismo con inversa $\Phi_{-t}$. Esta afirmación no convierte un flujo local en una acción global de $\mathbb R$: los dominios $M_t$ pueden depender del tiempo.

Ejemplo trabajado: explosión en tiempo finito

En $M=\mathbb R$ tome

$$X=x^2\frac{\partial}{\partial x}.$$

Separar variables en $\dot x=x^2$ da, para $x_0\ne0$,

$$x(t)=\frac{x_0}{1-tx_0}.$$

Si $x_0>0$, el intervalo maximal es $(-\infty,1/x_0)$; si $x_0<0$, es $(1/x_0,\infty)$; para $x_0=0$, la solución constante existe en todo $\mathbb R$. El dominio del flujo es

$$\mathcal D=\{(t,x):1-tx>0\}, \qquad \Phi_t(x)=\frac{x}{1-tx}.$$

La desigualdad describe en una sola expresión los intervalos anteriores y muestra que $\mathcal D$ es abierto. Una sustitución directa verifica

$$\Phi_t(\Phi_s(x))=\frac{x}{1-(t+s)x}=\Phi_{t+s}(x)$$

cuando los denominadores corresponden a puntos del dominio. El campo es suave, pero no completo.

Campos completos

Un campo $X$ es completo si $I_p=\mathbb R$ para todo $p\in M$. En ese caso $\Phi:\mathbb R\times M\to M$ es una acción suave y cada $\Phi_t$ es un difeomorfismo global. Todo campo suave sobre una variedad compacta sin frontera es completo: si una solución tuviera un extremo maximal finito, la compacidad proporcionaría puntos de acumulación; un teorema local uniforme permitiría prolongarla, contradiciendo maximalidad.

También es completo un campo con soporte compacto en una variedad sin frontera: fuera de un compacto se anula y dentro no puede escapar sin entrar en la zona donde la velocidad vale cero. En una variedad no compacta, acotamiento de las componentes en una carta particular no constituye por sí solo un criterio global; deben controlarse las cartas que recorre la solución.

Pushforward y pullback

Para una aplicación suave $F:M\to N$, el diferencial en $p$ es el pushforward

$$F_{*p}=dF_p:T_pM\longrightarrow T_{F(p)}N.$$

Si $v=[\gamma]$ se representa por una curva, entonces $F_{*p}v=[F\circ\gamma]$. Para campos, escribir $F_*Y$ como campo global de $N$ es natural cuando $F$ es un difeomorfismo:

$$(F_*Y)_{F(p)}=dF_p(Y_p).$$

Si $F$ no es biyectiva, dos puntos de una fibra pueden producir vectores diferentes en el mismo punto del codominio; en tal caso se habla de campos $F$-relacionados cuando existe $Z\in\mathfrak X(N)$ con $dF_p(Y_p)=Z_{F(p)}$.

El pullback invierte la dirección para funciones, covectores y formas. Si $f:N\to\mathbb R$, entonces $F^*f=f\circ F$. Para una $k$-forma $\omega$,

$$(F^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_k) =\omega_{F(p)}(dF_pv_1,\ldots,dF_pv_k).$$

Esta construcción está definida para toda aplicación suave. No existe un pullback natural de un campo vectorial por una aplicación suave arbitraria; hace falta, por ejemplo, que $F$ sea un difeomorfismo. Sjamaar desarrolla el pullback de formas y su compatibilidad con composición y derivada exterior Sjamaar, 2017 Reyer Sjamaar (2017) Manifolds and Differential Forms Notas de Mathematics 3210 · Cornell University Ubicación consultada: cap. 3, §3.2, pp. 38-45 Abrir fuente .

Derivada de Lie de funciones y campos

Sea $\Phi_t$ el flujo local de $X$. Para una función suave $f$,

$$(\mathcal L_Xf)(p) =\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\Phi_t(p)) =df_p(X_p)=X[f](p).$$

Por tanto $\mathcal L_Xf=0$ equivale a que $f$ sea constante sobre cada curva integral. Una integral primera no tiene que ser constante en toda la variedad: puede tomar valores distintos en órbitas distintas.

Para comparar un campo $Y$ en $\Phi_t(p)$ con un vector en $T_pM$, se transporta hacia atrás:

$$(\mathcal L_XY)_p =\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} (\Phi_{-t})_*Y_{\Phi_t(p)}.$$

El resultado es el corchete de Lie,

$$\mathcal L_XY=[X,Y],$$

y en coordenadas

$$[X,Y]^j =\sum_i\left( X^i\frac{\partial Y^j}{\partial x^i} -Y^i\frac{\partial X^j}{\partial x^i} \right).$$

El signo depende de transportar con $\Phi_{-t}$; cambiar esa convención cambia el signo de la fórmula. La lección 29 de MIT deriva la identidad mediante los flujos de $X$ y $Y$ y también enuncia la forma local canónica de un campo no nulo Mrowka, 2004 Tomasz Mrowka (2004) Geometry of Manifolds, 18.965 Notas y problemas; CC BY-NC-SA 4.0 · MIT OpenCourseWare Ubicación consultada: lección 29, pp. 1-3, lema 21.1, proposición 21.2 y teorema 21.3 Abrir fuente .

Derivada de Lie de tensores y formas

Para un tensor covariante $T$, se usa el pullback del flujo:

$$\mathcal L_XT= \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\Phi_t^*T.$$

Como $\Phi_t$ es un difeomorfismo local, la misma idea se extiende a tensores mixtos transportando sus factores contravariantes con el diferencial inverso. El operador preserva el tipo tensorial, es lineal, conmuta con contracciones y satisface Leibniz:

$$\mathcal L_X(S\otimes T) =(\mathcal L_XS)\otimes T+S\otimes(\mathcal L_XT).$$

Para formas también satisface

$$\mathcal L_X(\alpha\wedge\beta) =\mathcal L_X\alpha\wedge\beta +\alpha\wedge\mathcal L_X\beta, \qquad \mathcal L_X(d\alpha)=d(\mathcal L_X\alpha).$$

Una forma, una métrica o un tensor es invariante bajo el flujo cuando su derivada de Lie se anula. La condición expresa invariancia infinitesimal; en el dominio conectado de un flujo completo, integrar la ecuación muestra $\Phi_t^*T=T$ para todo $t$.

Fórmula de Cartan

Para una $k$-forma $\omega$, la contracción interior es

$$(\iota_X\omega)_p(v_1,\ldots,v_{k-1}) =\omega_p(X_p,v_1,\ldots,v_{k-1}).$$

La identidad fundamental es

$$\boxed{\mathcal L_X\omega=d(\iota_X\omega)+\iota_X(d\omega)}.$$

Se puede justificar localmente sin memorizar componentes extensas. Ambos lados son derivaciones de grado cero sobre el álgebra de formas. Para una función $f$, $\iota_Xf=0$ y $\iota_Xdf=X[f]$, así que el lado derecho es $\mathcal L_Xf$. Para una coordenada $x^j$,

$$d(\iota_Xdx^j)+\iota_X(d\,dx^j)=dX^j,$$

mientras $\mathcal L_Xdx^j=d(\mathcal L_Xx^j)=dX^j$. Como las funciones y los $dx^j$ generan localmente las formas mediante suma y producto exterior, las reglas de derivación extienden la igualdad a toda forma.

Ejemplo trabajado: rotación, pullback y forma invariante

En $\mathbb R^2$ considere

$$X=-y\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}.$$

Su flujo completo es

$$\Phi_t(x,y)= (x\cos t-y\sin t,\ x\sin t+y\cos t).$$

La función $H=x^2+y^2$ satisface

$$\mathcal L_XH=X[H]=-2xy+2xy=0,$$

de modo que cada círculo de nivel es invariante. Para la parametrización polar

$$P(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta),$$

se obtiene $P_*(\partial_\theta)=X$ y, para $\alpha=x\,dy-y\,dx$,

$$P^*\alpha=r^2\,d\theta.$$

La fórmula de Cartan confirma la invariancia de $\alpha$. Primero,

$$\iota_X\alpha=\alpha(X)=x^2+y^2=H, \qquad d\alpha=2\,dx\wedge dy.$$

Luego

$$\iota_X(d\alpha) =-2(x\,dx+y\,dy)=-dH,$$

y por tanto $\mathcal L_X\alpha=dH-dH=0$. El cálculo distingue tres operaciones: $P_*$ transporta el vector angular, $P^*$ expresa la forma en coordenadas polares y $\mathcal L_X$ comprueba su conservación por el flujo.

Ejemplo trabajado: dilatación de volumen y métrica

Para

$$D=x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y},$$

el flujo es $\Psi_t(x,y)=(e^tx,e^ty)$. Como $\Psi_t^*dx=e^t dx$ y $\Psi_t^*dy=e^t dy$,

$$\mathcal L_D(dx\wedge dy)=2\,dx\wedge dy.$$

El área crece a tasa infinitesimal relativa $2$. Para la métrica euclidiana

$$g=dx\otimes dx+dy\otimes dy,$$

se tiene $\Psi_t^*g=e^{2t}g$ y $\mathcal L_Dg=2g$; el flujo es conforme, no isométrico. Finalmente, con $Y=\partial_x$,

$$\mathcal L_DY=[D,Y]=-Y.$$

Funciones, campos, formas y tensores responden al mismo flujo, pero su regla de transporte depende del tipo geométrico.

Procedimiento para calcular una derivada de Lie

1. Determina el flujo local de $X$ o, si no es necesario resolverlo, escribe sus componentes.
2. Identifica el tipo del objeto: función, campo, forma o tensor mixto.
3. Usa $X[f]$ para funciones y $[X,Y]$ para campos.
4. Para formas, elige entre diferenciar $\Phi_t^*\omega$ o aplicar la fórmula de Cartan.
5. Para tensores, aplica Leibniz, contracciones y expresiones conocidas de los factores.
6. Comprueba el signo con un ejemplo elemental, como una traslación o dilatación.
7. Interpreta $\mathcal L_XT=0$ como invariancia bajo el flujo, no como constancia de componentes en cualquier carta.
8. Declara el dominio temporal si el campo no es completo.

Ejercicios sobre flujos y transporte

1. Halla todas las curvas integrales de $X=(1+x^2)\partial_x$ en $\mathbb R$, determina sus intervalos maximales y decide si el campo es completo.
2. Demuestra que el dominio maximal $\mathcal D$ del ejemplo $x^2\partial_x$ es abierto y verifica cuidadosamente la identidad de flujo con sus restricciones temporales.
3. Prueba que un campo suave de soporte compacto en $\mathbb R^n$ es completo, usando una cota de la velocidad dentro de un compacto que contenga el soporte.
4. Para $F(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$, calcula $F_*\partial_r$, $F_*\partial_\theta$, $F^*dx$, $F^*dy$ y $F^*(dx\wedge dy)$.
5. Sean $X=x\partial_y$ y $Y=\partial_x$. Calcula sus flujos, el corchete $[X,Y]$ y la derivada obtenida transportando $Y$ con el flujo de $X$.
6. Usa Cartan para calcular $\mathcal L_X(f\,dx+g\,dy)$ con $X=P\partial_x+Q\partial_y$ y confirma el resultado por componentes.
7. Si $\mu$ es una forma de volumen y $\mathcal L_X\mu=h\mu$, demuestra que $h$ coincide en coordenadas orientadas con la divergencia relativa a $\mu$; aplica el resultado a rotación y dilatación.
8. Sea $g$ una métrica riemanniana. Demuestra que $\mathcal L_Xg=0$ implica que el flujo local preserva $g$ y deduce que preserva longitudes de curvas mientras esté definido.

La existencia local produce una curva integral por cada estado y la unicidad las organiza en un flujo. Pushforward y pullback comparan objetos de tipos diferentes sin confundir la dirección de transporte. La derivada de Lie registra el cambio infinitesimal bajo ese flujo; para formas, la fórmula de Cartan lo expresa mediante contracción y derivada exterior. Completitud, dominio temporal y convención de signos deben permanecer explícitos en cada cálculo.