Teoría geométrica de las ecuaciones diferenciales

Objetivos

• Interpretar sistemas lineales y no lineales mediante flujos, equivalencias y estabilidad.
• Analizar periodicidad con Poincaré, Floquet, índice y Poincaré–Bendixson.
• Usar formas normales, variedades invariantes y bifurcaciones locales y globales.

1. 01

   Campos vectoriales y ecuaciones diferenciales

   Construir campos, curvas integrales, flujo local, órbitas y retratos como objetos geométricos.

   Actividad evaluable: Campo vectorial modelado, integrado y descrito por su flujo y sus órbitas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
2. 02

   Ecuaciones lineales autónomas en R y aplicaciones

   Resolver la ecuación lineal homogénea escalar y relacionar signo, crecimiento, decaimiento y modelos elementales.

   Actividad evaluable: Clasificación completa de la dinámica escalar con tres aplicaciones contrastadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
3. 03

   Sistemas lineales diagonalizables y geometría espectral

   Relacionar transformaciones lineales, vectores propios, diagonalización, soluciones y retratos de fase.

   Actividad evaluable: Sistema diagonalizado en dos bases con retrato y solución matricial verificados. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
4. 04

   Dinámica compleja, exponencial de matrices y teorema de Liouville

   Usar complejificación, pares propios complejos, exponencial y logaritmo de operadores y realificación.

   Actividad evaluable: Flujo espiral calculado por forma real y compleja, con determinante contrastado mediante Liouville. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
5. 05

   Ecuaciones lineales no homogéneas y coeficientes variables

   Aplicar variación de parámetros a primer y segundo orden, vibraciones, coeficientes variables y series de potencias.

   Actividad evaluable: Oscilador forzado y ecuación de coeficientes variables resueltos por métodos distintos. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
6. 06

   Clasificación topológica y estabilidad de Lyapunov

   Clasificar flujos lineales y no lineales, usar derivada de Lie y separar estabilidad, estabilidad asintótica e inestabilidad.

   Actividad evaluable: Dos retratos comparados por conjugación y una función de Lyapunov con dominio explícito. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
7. 07

   Ecuaciones integrables y sistemas hamiltonianos

   Reconocer integrales primeras, reducir ecuaciones escalares y formular sistemas hamiltonianos y conjuntos de nivel.

   Actividad evaluable: Sistema integrable resuelto mediante una integral primera y representado por sus niveles. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
8. 08

   Existencia, unicidad y ecuación variacional

   Probar el teorema local, derivar la primera variación y estudiar diferenciabilidad respecto a condiciones iniciales.

   Actividad evaluable: Flujo local y matriz de sensibilidad calculados con cota de dependencia de datos. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
9. 09

   Rectificación y teorema de Grobman–Hartman

   Enderezar campos no nulos y comparar la dinámica cerca de puntos hiperbólicos con su linealización, también para difeomorfismos.

   Actividad evaluable: Conjugación local construida o delimitada para un equilibrio y un punto fijo hiperbólicos. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
10. 10

    Órbitas periódicas, Poincaré y Floquet

    Reducir el flujo a un primer retorno y calcular monodromía, multiplicadores de Floquet y estabilidad transversal.

    Actividad evaluable: Sección de retorno con multiplicadores y clasificación de estabilidad orbital. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
11. 11

    Poincaré–Bendixson, índice y campos sobre variedades

    Analizar conjuntos límite planares, calcular índice de Poincaré y formular campos en el fibrado tangente.

    Actividad evaluable: Región atrapante con conclusión de Poincaré–Bendixson e índice comprobado. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
12. 12

    Variedades centrales y formas normales

    Reducir singularidades no hiperbólicas y justificar términos resonantes mediante transformaciones casi identidad.

    Actividad evaluable: Variedad central y forma normal calculadas con ecuación de invariancia. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
13. 13

    Bifurcaciones locales, ciclos y policiclos

    Derivar bifurcaciones locales, aparición de órbitas periódicas, criterio de Poincaré–Pontryagin y formas normales finito diferenciables.

    Actividad evaluable: Diagrama paramétrico con condiciones de no degeneración y transición orbital verificadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
14. 14

    Estabilidad estructural, Peixoto y Morse–Smale

    Distinguir estabilidad de trayectorias y de campos y reconocer robustez en flujos sobre superficies compactas.

    Actividad evaluable: Retrato planar auditado frente a las hipótesis de Peixoto. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
15. 15

    Variedades invariantes y transversalidad

    Construir variedades estables e inestables y analizar persistencia de intersecciones transversales.

    Actividad evaluable: Variedades locales aproximadas y una intersección transversal comprobada. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
16. 16

    Promediado, perturbación y método de Melnikov

    Aproximar dinámicas lentas y detectar separación transversal de variedades mediante la integral de Melnikov.

    Actividad evaluable: Función de Melnikov calculada y cruce previsto contrastado numéricamente. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
17. 17

    Órbitas homoclínicas y bifurcaciones globales

    Relacionar conexiones homo y heteroclínicas, Shilnikov, policiclos y transiciones de codimensión dos.

    Actividad evaluable: Diagrama global con objetos invariantes, parámetros y condiciones de conexión identificados. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
18. 18

    Conjuntos hiperbólicos, Markov y entropía

    Conectar descomposición hiperbólica, herraduras, particiones de Markov, codificación y entropía topológica.

    Actividad evaluable: Herradura codificada por una matriz de transición con cota de entropía. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h
19. 19

    Geometría simpléctica, teoría KAM y problemas globales

    Relacionar forma simpléctica, variables acción-ángulo, resonancias, persistencia de toros y límites del análisis global.

    Actividad evaluable: Sección simpléctica con toros persistentes, resonancias y alcance del cálculo documentados. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h