Dinámica compleja, exponencial de matrices y teorema de Liouville

Una matriz real puede tener autovalores complejos sin que el estado físico deje de ser real. Los números complejos reúnen rotación y cambio de amplitud en una sola tasa. Si

$$\dot z=\lambda z,\qquad \lambda=\alpha+i\beta,$$

entonces

$$z(t)=e^{\alpha t}(\cos\beta t+i\sin\beta t)z_0.$$

La parte real $\alpha$ gobierna expansión o contracción; $\beta$ gobierna orientación y frecuencia angular. Para una matriz real, los pares $\alpha\pm i\beta$ aparecen juntos y producen un plano real invariante. El propósito de complejificar es calcular con eficiencia y regresar después a una base real, conservando la interpretación geométrica. Jaurez y colaboradores integran esta técnica con la exponencial matricial y la fórmula de Liouville. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I Papirhos Textos 13 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 4, complejificación, exponencial y teorema de Liouville Abrir fuente

Aritmética compleja con significado dinámico

Todo $z=x+iy$ tiene módulo $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y argumento definido módulo $2\pi$. La multiplicación por $\rho e^{i\theta}$ escala por $\rho$ y rota un ángulo $\theta$. La exponencial satisface

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$

Por eso el flujo de $\dot z=(\alpha+i\beta)z$ combina una homotecia y una rotación que conmutan. Si $\beta=0$, se recupera una dinámica radial. Si $\alpha=0$, las circunferencias son órbitas periódicas de periodo $2\pi/|\beta|$. Si ambos son no nulos, las órbitas son espirales logarítmicas y el origen es foco atractor o repulsor según el signo de $\alpha$.

El argumento no debe confundirse con una función global continua sobre $\mathbb C\setminus\{0\}$; al dar una vuelta cambia en $2\pi$. Esa multivaluación reaparece en el logaritmo de matrices y en la reconstrucción de generadores continuos desde mapas discretos.

Pares propios y realificación

Sea $A$ real y $Av=(\alpha+i\beta)v$, con $v=p+iq$. Separando partes reales,

$$Ap=\alpha p-\beta q, \qquad Aq=\beta p+\alpha q.$$

El plano $E=\operatorname{span}\{p,q\}$ es invariante. En la base ordenada $(p,-q)$, la restricción tiene forma

$$B=\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\ \beta&\alpha\end{pmatrix}.$$

Si se conserva la base $(p,q)$, la matriz correcta es $\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\beta&\alpha\end{pmatrix}$; cambiar la orientación cambia esos signos, no la dinámica del plano.

Su exponencial es

$$e^{Bt}=e^{\alpha t} \begin{pmatrix} \cos\beta t&-\sin\beta t\\ \sin\beta t&\cos\beta t \end{pmatrix}.$$

Una solución real se obtiene tomando partes real e imaginaria de $e^{(\alpha+i\beta)t}v$. La orientación observada en coordenadas originales depende de la base $P=(p,q)$; no se deduce únicamente del signo de $\beta$, porque cambiar $q$ por $-q$ invierte la convención.

Ejemplo trabajado: espiral en coordenadas oblicuas

Considere

$$A=\begin{pmatrix}0&-2\\1&-2\end{pmatrix}.$$

La traza es $-2$, el determinante $2$ y el polinomio $\lambda^2+2\lambda+2$, con raíces $-1\pm i$. Para $\lambda=-1+i$ puede tomarse $v=(1,(1-i)/2)^T$. Sus partes real e imaginaria generan una base real. También se puede usar Cayley–Hamilton: como $(A+I)^2=-I$,

$$e^{At}=e^{-t}e^{(A+I)t} =e^{-t}\bigl(I\cos t+(A+I)\sin t\bigr).$$

Sustituyendo,

$$e^{At}=e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t+\sin t&-2\sin t\\ \sin t&\cos t-\sin t \end{pmatrix}.$$

En $t=0$ resulta $I$ y la derivada es $A$. El determinante vale $e^{-2t}$: las áreas se contraen, aunque una dirección instantánea pueda alargarse. Las órbitas son espirales oblicuas hacia el origen y el periodo angular es $2\pi$; no son circunferencias en la métrica original.

Exponencial de un operador

La serie

$$e^{At}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kA^k}{k!}$$

converge para toda matriz finita. Puede calcularse por diagonalización, forma de Jordan, Cayley–Hamilton o algoritmos de escalado y cuadrado con aproximantes racionales. Expandir muchos términos directamente no siempre es estable para matrices grandes. La identidad $e^{A+B}=e^Ae^B$ sólo vale en general cuando $AB=BA$; omitir la conmutación es un error frecuente.

Si $A$ y $B$ no conmutan, el conmutador $[A,B]=AB-BA$ aparece en la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff. En integración geométrica, separar flujos exactos de dos campos introduce precisamente errores controlados por conmutadores. Incluso en este curso lineal, conviene comprobar la hipótesis antes de factorizar.

Fórmula de Liouville y evolución de volumen

Para $\dot x=A(t)x$, sea $\Phi(t)$ una matriz fundamental. El Wronskiano $W(t)=\det\Phi(t)$ satisface la fórmula de Abel–Liouville

$$W(t)=W(t_0) \exp\!\left(\int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)\,ds\right).$$

En el caso constante, $\det(e^{At})=e^{t\operatorname{tr}A}$. La traza es la tasa instantánea de expansión de volumen. Traza negativa implica contracción neta de volumen, no contracción en todas las direcciones; una silla con traza negativa todavía posee una dirección inestable.

Para un campo no lineal, la ecuación variacional a lo largo de $x(t)$ usa $A(t)=Df(x(t))$ y la traza se convierte en divergencia. Así se transporta un pequeño elemento de volumen. La fórmula es local a la derivada del flujo y no convierte automáticamente la contracción de volumen en existencia de un atractor compacto.

Logaritmo matricial y generadores

Si se observa un mapa lineal $M$ cada intervalo $\Delta t$, buscar un generador continuo exige resolver

$$e^{A\Delta t}=M.$$

Formalmente, $A=(1/\Delta t)\log M$, pero el logaritmo puede no ser único o no existir como matriz real. Un giro observado por un ángulo $\theta$ también puede corresponder a $\theta+2\pi k$ entre muestras. Autovalores negativos y bloques de Jordan imponen condiciones adicionales para un logaritmo real.

Cuando $M$ está cerca de $I$, la serie

$$\log(I+E)=E-\frac{E^2}{2}+\frac{E^3}{3}-\cdots$$

converge si el radio espectral de $E$ es menor que uno. Fuera de ese régimen se usa una descomposición espectral y una rama elegida del logaritmo. El resultado debe informar la rama: reconstruir una frecuencia sin límite de muestreo produce aliasing dinámico.

Procedimiento de cálculo y verificación

Descomposición real por bloques

En dimensión mayor, una matriz real diagonalizable sobre los complejos puede organizarse en bloques reales de tamaño uno para autovalores reales y de tamaño dos para pares conjugados. Existe una matriz real invertible $P$ tal que

$$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,B_1,\ldots),$$

donde cada $B_j$ tiene la forma rotación-expansión. La exponencial se calcula bloque por bloque sin introducir estados complejos en el resultado. Los subespacios reales correspondientes son invariantes y sus dimensiones se suman para formar las variedades lineales estable, central e inestable.

Si un par tiene parte real cero, el bloque lineal es un centro y sus órbitas son elipses tras volver a las coordenadas originales. Esta conclusión sólo pertenece al sistema lineal. En un campo no lineal, términos cúbicos pueden atraer o repeler aun con el mismo par imaginario, por lo que se necesita variedad central y forma normal.

Liouville en un sistema variable triangular

Considere

$$x'=a(t)x+b(t)y,\qquad y'=d(t)y.$$

La segunda ecuación da $y(t)=y_0\exp(\int d)$. La primera se resuelve con factor integrante después de sustituir $y$. Aunque el término $b(t)$ modifica la inclinación de las soluciones, la fórmula de Liouville predice que el determinante de cualquier matriz fundamental normalizada es

$$\det\Phi(t)=\exp\!\left(\int_{t_0}^t(a(s)+d(s))ds\right).$$

La entrada triangular no aparece porque no cambia la traza. Este ejemplo separa deformación por cizalla de cambio de área. Una verificación computacional integra dos columnas independientes, calcula el determinante y compara su logaritmo con la cuadratura de la traza.

Oscilación, frecuencia y muestreo

Una trayectoria espiral muestreada cada $\Delta t$ produce multiplicadores $e^{(\alpha\pm i\beta)\Delta t}$. La contracción radial permite recuperar $\alpha$ mediante el logaritmo del módulo. El argumento sólo determina $\beta\Delta t$ módulo $2\pi$, por lo que frecuencias separadas por $2\pi k/\Delta t$ generan las mismas muestras ideales.

Para resolver la ambigüedad se requiere una cota previa de frecuencia o muestreo más rápido. Aumentar el horizonte sin reducir $\Delta t$ mejora la resolución de tasas, pero no elimina el aliasing. Esta distinción es importante al calcular un logaritmo matricial de una aplicación observada.

Si se dispone de observaciones irregulares, las diferencias entre intervalos pueden romper parte de la ambigüedad, siempre que el reloj y la fase sean comparables. Se ajusta un mismo generador a todas las transiciones y se revisan residuos por intervalo. Un logaritmo calculado por separado para cada matriz puede escoger ramas incompatibles y producir una frecuencia que salta artificialmente. La selección debe ser conjunta y respetar continuidad paramétrica.

La estimación de amortiguamiento también requiere separar el radio geométrico de la norma medida. En coordenadas oblicuas, la norma euclidiana oscila dentro de una vuelta aunque la envolvente modal sea $e^{\alpha t}$. Proyectar a la base real invariante o ajustar máximos coherentes por fase evita interpretar esa modulación como una tasa variable.

Perturbaciones y continuidad espectral

Los coeficientes del polinomio característico varían continuamente con la matriz, pero los autovectores pueden ser muy sensibles cerca de multiplicidades. Para un par complejo simple, traza y determinante ofrecen estimadores robustos en dimensión dos. Al acercarse el discriminante a cero, la base modal pierde separación y conviene trabajar con bloques de Schur.

Una comprobación de estabilidad no debe redondear una parte real pequeña a cero sin una cota. Compare el margen espectral con incertidumbre de parámetros y error numérico. Si los intervalos se superponen con el eje imaginario, la clasificación queda indeterminada con la evidencia disponible.

1. Calcule el polinomio característico y agrupe pares conjugados.
2. Construya una base real con las partes de un autovector complejo.
3. Verifique el residuo de la similitud antes de exponentiar.
4. Obtenga $e^{At}$ por un segundo método cuando sea posible.
5. Compruebe $E(0)=I$, $E'(t)=AE(t)$ y la ley de composición.
6. Contraste $\det E(t)$ con Liouville.
7. Interprete por separado rotación, crecimiento radial y cambio de volumen.
8. Si calcula un logaritmo, declare rama, intervalo de muestreo y realidad del generador.

Ejercicios

1. Realifique el sistema $\dot z=(2-3i)z$ y describa orientación, periodo y cambio de área.
2. Calcule $e^{At}$ para $A=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ usando series y números complejos.
3. Verifique Liouville en un sistema triangular variable $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\0&-2t\end{pmatrix}$.
4. Muestre con dos matrices no conmutativas que $e^{A+B}\ne e^Ae^B$ mediante términos de orden dos.
5. Determine todos los generadores de rotación compatibles con un mapa que gira $\pi/3$ cada segundo.
6. Compare la contracción de área y la máxima expansión direccional para una matriz no normal estable.
7. Use Cayley–Hamilton para exponentiar una matriz real con espectro $1\pm2i$ y compruebe el resultado numéricamente.

La complejificación simplifica el cálculo, la realificación recupera la geometría y Liouville audita el cambio de volumen. El logaritmo invierte parcialmente el proceso, pero introduce ramas que deben formar parte explícita de cualquier reconstrucción.