Ecuaciones integrables y sistemas hamiltonianos

Una ecuación es integrable cuando puede reducirse a un número suficiente de operaciones explícitas —cuadraturas, cambios de variable o resolución algebraica— para describir sus soluciones. En dinámica, una integral primera es una función $H$ constante a lo largo de las trayectorias:

$$\frac{d}{dt}H(x(t))=\nabla H(x)\cdot f(x)=0.$$

Las órbitas quedan contenidas en conjuntos de nivel $H=c$. En el plano, un nivel regular es localmente una curva, de modo que una sola integral primera reduce el movimiento a una variable. La conservación no proporciona por sí sola la parametrización temporal ni asegura que todos los niveles sean compactos; primero organiza la geometría, después se completa la cuadratura. Jaurez y colaboradores colocan esta relación en la apertura del tomo II. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 7, ecuaciones integrables y sistemas hamiltonianos Abrir fuente

Integrales primeras y tangencia a niveles

Si $c$ es valor regular de $H$, entonces $H^{-1}(c)$ es una subvariedad y la igualdad $\nabla H\cdot f=0$ dice que el campo es tangente a ella. En dimensión dos, cualquier campo de la forma

$$f(x,y)=\mu(x,y)J\nabla H(x,y), \qquad J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},$$

conserva $H$, porque $\nabla H\cdot J\nabla H=0$. El factor $\mu$ cambia la rapidez y puede anularse, introduciendo equilibrios adicionales. Compartir curvas de nivel no basta para compartir el mismo flujo.

Para buscar una integral, se puede resolver la ecuación lineal de primer orden $f\cdot\nabla H=0$, reconocer una forma exacta o usar simetrías. En el campo planar $\dot x=P$, $\dot y=Q$, las trayectorias satisfacen $Q,dx-P,dy=0$. Un factor integrante puede convertir esta forma en $dH$. Encontrar un factor no es automático y su dominio puede excluir ceros o singularidades.

Ecuaciones escalares reducibles por cuadratura

Una ecuación autónoma escalar $\dot x=f(x)$ es separable en intervalos donde $f\ne0$:

$$t-t_0=\int_{x_0}^{x(t)}\frac{ds}{f(s)}.$$

La integral implícita permite decidir si un equilibrio se alcanza en tiempo finito. Para $\dot x=-x^\alpha$, $x>0$, la integral hasta cero es finita si $0<\alpha<1$ e infinita si $\alpha\ge1$. En el primer caso el campo no es Lipschitz en cero y la continuación puede perder unicidad. La cuadratura revela una cuestión que un retrato con flechas no distingue.

Una ecuación de segundo orden conservativa

$$q''+V'(q)=0$$

se reduce multiplicando por $q'$:

$$E=\frac12(q')^2+V(q).$$

Entonces $q'=\pm\sqrt{2(E-V(q))}$ y el tiempo se obtiene integrando $dq/\sqrt{2(E-V(q))}$. Los puntos donde $E=V(q)$ son retornos si la raíz es simple respecto del movimiento permitido; cerca de una separatriz la integral temporal puede divergir.

Sistemas hamiltonianos canónicos

En coordenadas $(q,p)\in\mathbb R^{2n}$, un Hamiltoniano $H(q,p)$ genera

$$\dot q=\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q},$$

o $\dot z=J\nabla H(z)$. Por antisimetría de $J$,

$$\dot H=\nabla H^TJ\nabla H=0.$$

Además, la divergencia del campo es cero cuando $H$ es $C^2$, por lo que el flujo preserva volumen de fase. En un sistema planar preserva área. Esto impide un atractor asintóticamente estable con cuenca abierta dentro de una región regular y acotada: la contracción requerida contradice la preservación de área.

Un equilibrio satisface $\nabla H=0$. Si es un mínimo estricto, los niveles cercanos suelen ser curvas cerradas y el equilibrio es estable por energía, aunque la convergencia no ocurre. Si $H$ tiene una silla, el nivel crítico contiene separatrices.

Ejemplo trabajado: péndulo simple

Para

$$q''+\sin q=0,$$

defina $p=q'$ y

$$H(q,p)=\frac12p^2+1-\cos q.$$

Los equilibrios son $(2k\pi,0)$, mínimos de energía, y $((2k+1)\pi,0)$, sillas. Si $0<E<2$, el ángulo oscila entre puntos de retorno definidos por $1-\cos q=E$; son libraciones. Si $E>2$, $p$ no se anula y hay rotaciones. El nivel $E=2$ contiene las separatrices.

Sobre la rama superior de la separatriz,

$$p=2\cos(q/2),\qquad -\pi<q<\pi.$$

La cuadratura $dt=dq/[2\cos(q/2)]$ diverge al acercarse a $q=\pm\pi$. La trayectoria se aproxima a la silla en tiempo infinito; no la atraviesa como podría sugerir una curva dibujada sin flechas. El periodo de las libraciones crece y diverge cuando $E\uparrow2$.

Corchete de Poisson e integrabilidad en más dimensiones

Para funciones $F,G$, el corchete de Poisson es

$$\{F,G\}=\nabla F^TJ\nabla G.$$

A lo largo del flujo de $H$, $\dot F=\{F,H\}$. Así, $F$ es integral primera si conmuta con $H$. En $n$ grados de libertad, la integrabilidad de Liouville requiere $n$ integrales independientes en involución sobre una región regular. No basta acumular cantidades conservadas algebraicamente dependientes.

En regiones compactas y regulares, el teorema de Liouville–Arnold conduce a toros invariantes y coordenadas acción–ángulo. Cerca de niveles críticos, separatrices o singularidades, esas coordenadas pueden fallar. La unidad 19 retomará la geometría simpléctica y KAM; aquí el objetivo es reconocer las hipótesis que permiten reducir por niveles.

Perturbación y pérdida de conservación

Si al péndulo se añade amortiguamiento $\varepsilon p$,

$$q'=p,\qquad p'=-\sin q-\varepsilon p,$$

entonces

$$\dot H=-\varepsilon p^2\le0.$$

Los niveles dejan de ser órbitas y se cruzan hacia energía menor. Una fuerza periódica puede inyectar o retirar energía según la fase. Guckenheimer y Holmes usan la estructura hamiltoniana no perturbada como referencia para promediado y Melnikov. La integral primera exacta no debe seguir tratándose como constante después de introducir términos disipativos o forzados.

Numéricamente, un método no simpléctico puede producir deriva artificial de energía aun en el sistema conservativo. Compare pasos, tiempos largos y, cuando sea pertinente, un integrador simpléctico. Conservar energía aproximadamente no prueba que el método preserve toda la forma simpléctica.

Procedimiento para analizar un sistema integrable

Formas diferenciales y factores integrantes

Las trayectorias de $x'=P(x,y)$, $y'=Q(x,y)$ satisfacen la ecuación diferencial

$$Q\,dx-P\,dy=0.$$

Si la forma $\alpha=Qdx-Pdy$ es exacta, existe $H$ con $dH=\alpha$ y las trayectorias pertenecen a sus niveles. En una región simplemente conexa, la condición $\partial Q/\partial y=-\partial P/\partial x$ garantiza exactitud. En otros casos se busca un factor integrante $\mu$ para que $\mu\alpha$ sea exacta.

La simple conexidad no es un tecnicismo. Una forma cerrada en un anillo puede tener integral no nula alrededor del agujero y carecer de potencial global. Puede existir una integral primera local en varias cartas sin una función real global monovaluada. Registrar dominio y periodos de la forma evita identificar integrabilidad local con global.

Periodo como derivada de la acción

Para un sistema hamiltoniano de un grado de libertad con óvalos regulares, defina la acción

$$I(E)=\frac{1}{2\pi}\oint_{H=E}p\,dq.$$

Bajo hipótesis regulares,

$$\frac{dI}{dE}=\frac{T(E)}{2\pi}.$$

La relación conecta área encerrada y tiempo de recorrido. En el oscilador armónico, $I=E/\omega$ y el periodo es constante. En el péndulo, el periodo depende de la energía y diverge al acercarse a la separatriz. Medir áreas de niveles ofrece así una vía independiente para estudiar la variación de frecuencia.

La derivación diferencia una integral sobre una familia de curvas; cerca de un nivel crítico esa familia deja de ser regular y no se puede usar sin analizar el límite.

Reducción por simetría

Una simetría continua puede producir una cantidad conservada y reducir la dimensión. En coordenadas polares, un Hamiltoniano independiente del ángulo conserva el momento angular conjugado. Fijar su valor deja una ecuación radial con potencial efectivo. El término centrífugo modifica puntos de retorno y puede crear una barrera cerca del origen.

La reducción debe conservar los valores regulares y tratar aparte los puntos donde la acción del grupo no es libre. En ellos cambian dimensiones de las órbitas de simetría y la coordenada reducida puede ser singular. Una conservación observada numéricamente sugiere revisar simetrías, pero no demuestra que exista una acción global con las propiedades requeridas.

Integrabilidad y estabilidad

Un mínimo estricto de $H$ proporciona estabilidad mediante subniveles compactos, sin atracción. Un máximo también puede ser estable en un sistema hamiltoniano planar según la geometría de niveles. Una silla corresponde a un nivel crítico con separatrices y es inestable.

En más dimensiones, que la energía tenga un mínimo sigue siendo suficiente para estabilidad, pero una integral indefinida no decide. Varias integrales pueden confinar el movimiento sobre una intersección compacta. La prueba debe verificar independencia y compactitud, no sólo conservación formal.

1. Proponga una cantidad conservada y calcule $\nabla H\cdot f$ exactamente.
2. Identifique valores regulares y críticos de $H$.
3. Clasifique las componentes conexas de cada nivel relevante.
4. Marque equilibrios, puntos de retorno y separatrices.
5. Obtenga la parametrización temporal por cuadratura.
6. Compruebe convergencia o divergencia del tiempo cerca de niveles críticos.
7. Si el sistema es hamiltoniano, verifique ecuaciones canónicas y divergencia.
8. Contraste la conservación numérica con refinamiento y un método adecuado.

Ejercicios

1. Encuentre una integral primera de $x'=y$, $y'=-4x$ y calcule periodo y niveles.
2. Analice $q''+q^3-q=0$: localice críticos del potencial, separatrices y tipos de movimiento.
3. Determine si $H=x^2y^2$ es integral de $x'=x$, $y'=-y$ y describa las componentes de nivel.
4. Calcule el tiempo para alcanzar cero en $x'=-x^\alpha$ y relacione el resultado con unicidad.
5. Verifique que un campo hamiltoniano canónico tiene divergencia cero y explique el alcance local de la afirmación.
6. Para dos osciladores armónicos desacoplados, construya dos integrales en involución y revise independencia.
7. Compare deriva de energía de Euler explícito, Euler simpléctico y un método de orden alto en el péndulo.

Una integral primera reduce la geometría a niveles y una cuadratura recupera el tiempo. En sistemas hamiltonianos esa estructura se acompaña de preservación simpléctica y de volumen; ambas propiedades deben distinguirse de una simple conservación numérica de energía.