Sistemas lineales diagonalizables y geometría espectral

Un sistema lineal autónomo

$$\dot x=Ax,\qquad x\in\mathbb R^n,$$

está gobernado por una transformación lineal fija. Si $A$ posee una base de autovectores, el cambio de coordenadas que diagonaliza la matriz separa el problema en ecuaciones escalares. La separación algebraica tiene una lectura geométrica: cada dirección propia es una recta invariante, y la combinación de sus tasas organiza las órbitas en todo el espacio.

Sea $A=PDP^{-1}$ con $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. Al escribir $x=Py$,

$$\dot y=Dy, \qquad y_j(t)=e^{\lambda_jt}y_j(0),$$

y por tanto

$$x(t)=Pe^{Dt}P^{-1}x_0=e^{At}x_0.$$

La matriz $P$ no es decoración: transforma la geometría ortogonal de las coordenadas propias en direcciones que pueden ser muy oblicuas. Jaurez y colaboradores desarrollan esta relación entre diagonalización, solución y retrato en el tercer capítulo del tomo I. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I Papirhos Textos 13 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 3, matrices diagonalizables y geometría de soluciones Abrir fuente

Rectas y subespacios invariantes

Si $Av=\lambda v$, una condición inicial $x_0=cv$ produce $x(t)=ce^{\lambda t}v$; la recta $\operatorname{span}\{v\}$ es invariante. Más generalmente, la suma de espacios propios asociados a un subconjunto del espectro es invariante. Para autovalores reales, el signo decide si una componente se contrae o se expande hacia adelante. Las razones entre componentes satisfacen

$$\frac{y_i(t)}{y_j(t)}= \frac{y_i(0)}{y_j(0)}e^{(\lambda_i-\lambda_j)t}.$$

Esta igualdad identifica la dirección dominante sin resolver de nuevo el sistema. Hacia adelante domina el autovalor con mayor parte real entre las componentes presentes; hacia atrás domina el menor. Una componente exactamente nula permanece nula, por lo que una trayectoria situada en un subespacio invariante no adquiere mágicamente la dirección dominante global.

Nodos, sillas y casos frontera

En dimensión dos, dos autovalores reales negativos producen un nodo atractor; dos positivos, un nodo repulsor; signos opuestos, una silla. Si uno es cero, existe una dirección neutral y el origen no es un equilibrio aislado cuando la matriz es diagonalizable con ese autovalor. La clasificación hiperbólica requiere partes reales no nulas.

Para una silla, $E^s$ y $E^u$ son las rectas propias estable e inestable. Las demás trayectorias se aproximan al origen en una dirección sólo en uno de los sentidos temporales y se alejan en el otro. Dibujar una silla con ejes cartesianos como separatrices es correcto únicamente cuando esos ejes son autovectores. En una base oblicua, las separatrices deben transformarse con $P$.

Si los autovalores son iguales y hay dos autovectores independientes, $A=\lambda I$ en alguna base y todas las rectas son invariantes. Si falta un autovector, la matriz no es diagonalizable y aparece un factor polinómico $te^{\lambda t}$; ese caso se estudia con forma de Jordan y no debe incluirse silenciosamente en la fórmula diagonal.

Traza y determinante en el plano

Para $A\in\mathbb R^{2\times2}$, el polinomio característico es

$$p(\lambda)=\lambda^2-\tau\lambda+\Delta, \qquad \tau=\operatorname{tr}A, \quad \Delta=\det A.$$

El discriminante $\tau^2-4\Delta$ decide si los autovalores son reales. Cuando $\Delta<0$ hay una silla. Si $\Delta>0$ y $\tau^2>4\Delta$, hay nodo; el signo de $\tau$ decide atracción o repulsión. Si $\tau^2<4\Delta$, aparece un par complejo y se necesita la realificación tratada en la unidad siguiente. Las curvas $\Delta=0$ y $\tau^2=4\Delta$ son fronteras donde cambia la clasificación o puede fallar la diagonalización.

Traza y determinante se conservan bajo similitud, pero no revelan la orientación de los autovectores ni el condicionamiento de la base. Dos matrices con los mismos autovalores pueden producir retratos muy deformados en la métrica euclidiana y aun así estar linealmente conjugadas.

Ejemplo trabajado en dos bases

Considere

$$A=\begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}.$$

Los autovalores son $1$ y $-2$. Para $\lambda_1=1$ puede tomarse $v_1=(1,0)^T$; para $\lambda_2=-2$, la ecuación $3v_x+3v_y=0$ da $v_2=(-1,1)^T$. Con

$$P=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-2\end{pmatrix},$$

se verifica $AP=PD$. Si $x_0=(2,1)^T$, entonces $P^{-1}x_0=(3,1)^T$ y

$$x(t)=3e^t\binom10+e^{-2t}\binom{-1}{1} =\binom{3e^t-e^{-2t}}{e^{-2t}}.$$

La comprobación debe incluir $x(0)=(2,1)^T$ y $x'(t)=Ax(t)$. El eje $x$ es la variedad inestable. La recta estable es $y=-x$, generada por el autovector $(-1,1)$. Hacia adelante la trayectoria genérica se alinea con $v_1$; una condición exactamente sobre $v_2$ converge al origen.

Exponencial matricial y ley de flujo

La exponencial se define por la serie convergente

$$e^{At}=I+tA+\frac{t^2A^2}{2!}+\cdots.$$

Para una matriz diagonalizable, sustituir $A=PDP^{-1}$ en cada potencia produce $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$. Además,

$$e^{A(t+s)}=e^{At}e^{As},\qquad \frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At},\qquad (e^{At})^{-1}=e^{-At}.$$

Estas identidades prueban que $e^{At}$ es el flujo global. A diferencia de un campo no lineal con explosión, todo sistema lineal de coeficientes constantes existe para cualquier tiempo finito. Una norma satisface $\lVert e^{At}\rVert\le e^{\lVert A\rVert |t|}$, que proporciona una cota aunque no sea espectralmente precisa.

No normalidad y crecimiento transitorio

Una matriz diagonalizable puede tener autovectores casi paralelos. Entonces $P$ y $P^{-1}$ tienen normas grandes y

$$\lVert e^{At}\rVert \le \kappa(P)e^{t\max_j\operatorname{Re}\lambda_j}$$

para $t\ge0$, donde $\kappa(P)=\lVert P\rVert\lVert P^{-1}\rVert$. Aunque todos los autovalores tengan parte real negativa, algunas normas de soluciones pueden crecer transitoriamente antes de decaer. Esto no contradice la estabilidad asintótica; muestra que el espectro fija la tasa final, no toda la respuesta de corto plazo en una métrica dada.

Para detectar el fenómeno, calcule valores singulares de $e^{At}$ y no sólo autovalores de $A$. Un retrato con una excursión grande puede ser exacto. También puede ser error numérico; se distingue comparando con la exponencial o refinando la integración.

Cambio de coordenadas y equivalencia lineal

Si $x=Py$, los flujos satisfacen

$$e^{At}P=Pe^{Dt}.$$

La aplicación $P$ conjuga las dinámicas y conserva tiempos, dimensiones de subespacios y tasas espectrales. No conserva en general longitudes, ángulos ni áreas. Si se normalizan por separado los ejes al graficar, se introduce otra deformación que debe documentarse.

Un procedimiento seguro es calcular espectro, rango de cada espacio propio, matriz $P$, residuo $\lVert AP-PD\rVert$ y condicionamiento. Sólo después se usa la fórmula diagonal. Si $P$ es numéricamente casi singular, una descomposición de Schur puede ser más estable para calcular $e^{At}$ aunque la diagonalización exista matemáticamente.

Proyectores espectrales

Cuando los autovalores $\lambda_j$ son distintos, el proyector sobre el espacio propio correspondiente puede escribirse como un polinomio en $A$:

$$\Pi_j=\prod_{k\ne j}\frac{A-\lambda_kI}{\lambda_j-\lambda_k}.$$

Estos proyectores satisfacen $\Pi_i\Pi_j=0$ para $i\ne j$, suman la identidad y permiten expresar

$$e^{At}=\sum_j e^{\lambda_jt}\Pi_j.$$

La fórmula separa modos sin escoger explícitamente la normalización de cada autovector. También muestra qué parte de un dato inicial excita cada tasa: $x_0=\sum_j\Pi_jx_0$. Si dos autovalores se acercan, los denominadores revelan la pérdida de condicionamiento de esta representación, aunque la exponencial completa pueda seguir variando suavemente.

En dimensión dos, Cayley–Hamilton reduce cualquier función analítica de $A$ a $\alpha(t)I+\beta(t)A$. Esta alternativa evita invertir una matriz de autovectores mal condicionada y proporciona una segunda comprobación simbólica.

Los proyectores también aclaran la respuesta a datos incompletos. Si sólo se observa una combinación lineal $c^Tx(t)$, un modo queda oculto cuando $c^T\Pi_jx_0=0$. La ausencia de una tasa en la señal no demuestra que el sistema carezca de ese autovalor; puede deberse al dato o al observable. Para diseñar una comprobación, seleccione varios datos iniciales y observables, reconstruya las amplitudes modales y evalúe el residuo de cada suma exponencial. Esta distinción entre dinámica, excitación y observación es indispensable al inferir una matriz desde series temporales.

En sistemas reales con autovalores repetidos pero espacios propios completos, el proyector asociado corresponde al espacio propio entero y no a una dirección privilegiada dentro de él. Cambiar la base en ese subespacio no modifica el flujo. Una gráfica que destaca un autovector particular puede sugerir una geometría inexistente; el objeto invariante es el subespacio.

Semigrupos estables y elección de norma

Si todos los autovalores tienen parte real negativa, existe una cota

$$\lVert e^{At}\rVert\le Me^{-\eta t},\qquad t\ge0,$$

para algunas constantes positivas $M,\eta$. En una base propia bien condicionada, pueden relacionarse con la tasa espectral; para una matriz no normal, $M$ puede ser grande. Elegir una norma adaptada permite disminuir el prefactor y expresar la contracción asintótica con mayor fidelidad.

Otra construcción resuelve $A^TP+PA=-Q$ para una matriz $Q$ positiva definida. Si el espectro es estable, existe una solución $P$ positiva definida y $V=x^TPx$ cumple $\dot V=-x^TQx$. Esta prueba no requiere que $A$ sea simétrica ni normal. La forma elíptica de los subniveles de $V$ muestra cómo una métrica adaptada convierte el flujo en contracción monótona aunque la norma euclidiana tenga crecimiento transitorio.

Parámetros y cruces espectrales

En una familia $A(\mu)$, los autovalores y espacios propios deben seguirse con continuidad y no ordenarse sólo por la posición que devuelve un programa. Un cruce de cero cambia dimensión estable y puede producir una bifurcación al añadir términos no lineales. La coincidencia de autovalores puede destruir diagonalización aunque no cambie inmediatamente la estabilidad.

Registre discriminante, rango de $A-\lambda I$ y ángulo entre espacios propios. Cerca de una matriz defectuosa, pequeñas perturbaciones mueven mucho los autovectores; una figura que rota bruscamente puede reflejar sensibilidad de la base, no una transición topológica del flujo hiperbólico.

Ejercicios

1. Diagonalice $A=\begin{pmatrix}-1&2\\0&-3\end{pmatrix}$, calcule $e^{At}$ y verifique por derivación.
2. Clasifique todos los retratos de $D=\operatorname{diag}(a,b)$ según los signos y posibles ceros de $a,b$.
3. Para una silla con autovectores $(1,1)$ y $(1,-2)$, dibuje correctamente las separatrices y cuatro órbitas genéricas.
4. Construya dos matrices similares con los mismos autovalores pero autovectores de ángulo muy distinto. Compare normas transitorias.
5. Demuestre que $\det(e^{At})=e^{t\operatorname{tr}A}$ en el caso diagonalizable.
6. Estime el error de Euler para un modo con $\lambda=-20$ y determine qué pasos cambian artificialmente su estabilidad discreta.
7. Identifique en el plano traza-determinante una trayectoria paramétrica $A(\mu)$ que cruce de nodo atractor a silla y localice la degeneración.

La diagonalización convierte el sistema en modos escalares, pero el retrato completo requiere devolver esos modos al espacio original. Espectro, base y condicionamiento forman juntos la descripción geométrica verificable.