Variedades invariantes y transversalidad

Una silla no es sólo un equilibrio inestable. Sus direcciones de contracción y expansión se prolongan en variedades que organizan las trayectorias lejos del punto. Cuando esas variedades se encuentran, pueden formar conexiones entre equilibrios, separar cuencas o producir el mecanismo repetido de estiramiento y plegamiento asociado con la dinámica caótica. La geometría local se determina con el jacobiano; la estructura global exige seguir las variedades sin confundir una proyección numérica con una intersección real.

Campos como secciones del fibrado tangente

En una variedad diferenciable $M$, un campo no es una lista global de componentes sino una sección $X:M\to TM$ del fibrado tangente, con $\pi\circ X=\operatorname{id}_M$. En una carta $x=(x^1,\ldots,x^n)$ se escribe $X=X^i\partial_{x^i}$; bajo un cambio $y=\psi(x)$, las componentes se transforman mediante $Y(y)=D\psi(x)X(x)$. Esta ley garantiza que la curva integral definida por $\dot\gamma(t)=X(\gamma(t))$ no depende de la carta.

Si $N\subset M$ es una subvariedad, la condición intrínseca de invariancia es $X(p)\in T_pN$ para todo $p\in N$. Cuando $N=F^{-1}(0)$ y $0$ es valor regular, equivale a $DF(p)X(p)=0$. Para la esfera $S^2=\{x:\lVert x\rVert^2=1\}$, el campo $X(x)=a\times x$ es tangente porque $x\cdot(a\times x)=0$. Sus órbitas son rotaciones sobre los círculos de latitud respecto del eje $a$; la fórmula no exige parametrizar toda la esfera con una sola carta imposible.

El teorema de la variedad estable produce subvariedades inmersas cuyas fibras tangentes en el equilibrio son $E^s$ y $E^u$. Lejos del equilibrio, $T_qW^s$ se transporta por $D\varphi_t(q)$, de modo que la transversalidad se expresa como $T_qW^s+T_qW^u=T_qM$. Esta formulación en el fibrado tangente sigue teniendo sentido en superficies curvas y evita decidir un cruce a partir de pendientes de una proyección. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 9, campos en variedades y geometría del fibrado tangente Abrir fuente

Sea $p$ un equilibrio hiperbólico de $\dot x=f(x)$. El espacio tangente se descompone como

$$T_p\mathbb R^n=E^s\oplus E^u,$$

donde $E^s$ está generado por autovectores cuyos autovalores tienen parte real negativa y $E^u$ por los de parte real positiva. El teorema de la variedad estable asegura la existencia de variedades locales $W^s_{\mathrm{loc}}(p)$ y $W^u_{\mathrm{loc}}(p)$ tangentes a esos subespacios. Sus versiones globales pueden definirse por

$$W^s(p)=\{x:\varphi_t(x)\to p\text{ cuando }t\to+\infty\},$$ $$W^u(p)=\{x:\varphi_t(x)\to p\text{ cuando }t\to-\infty\}.$$

Las dimensiones coinciden con las de $E^s$ y $E^u$. Cerca de $p$ las variedades se parecen a planos; lejos de él pueden curvarse y plegarse. Alligood, Sauer y Yorke conectan esta construcción local con el cálculo numérico de variedades y con los cambios globales que ocurren en una crisis. Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: cap. 10, pp. 399–446

Direcciones centrales y variedades invariantes

La descomposición anterior es concluyente sólo en un equilibrio hiperbólico. Si $Df(p)$ tiene autovalores con parte real cero, el espacio tangente incluye un subespacio central $E^c$. Entonces aparecen variedades locales $W^s_{\mathrm{loc}}$, $W^u_{\mathrm{loc}}$ y una variedad central $W^c_{\mathrm{loc}}$ tangentes, respectivamente, a $E^s$, $E^u$ y $E^c$. Jost desarrolla juntos estos tres componentes para separar la dinámica decidida por el espectro de la que aún depende de términos no lineales

Jost, 2005 Jürgen Jost (2005) Dynamical Systems: Examples of Complex Behaviour Springer Ubicación consultada: §2.10, pp. 52–60 .

Las direcciones estable e inestable conservan su comportamiento exponencial local. En la dirección central, la linealización no decide atracción, repulsión ni periodicidad. Comparemos

$$\dot x=-x,\qquad \dot y=-y^3$$

con

$$\dot x=-x,\qquad \dot y=y^3.$$

Ambos jacobianos en el origen son $\operatorname{diag}(-1,0)$: el eje $x$ es estable y el eje $y$ es central. Además, $x=0$ es una variedad central invariante en los dos sistemas. Sin embargo, sobre ella el primero satisface $y(t)=y_0/\sqrt{1+2y_0^2t}$ y converge al origen hacia adelante, mientras el segundo se aleja y alcanza amplitud no acotada en tiempo finito para $y_0\ne0$. La misma linealización permite destinos opuestos.

Una variedad central suele buscarse como gráfica $y=h(x)$ o $x=h(y)$, según la descomposición, e imponiendo que el campo sea tangente a la gráfica. Esa ecuación de invariancia determina coeficientes de una serie local. La variedad central puede no ser única fuera del orden calculado; lo robusto para el análisis local es que la dinámica pequeña que la restringe contiene los términos que la linealización omitió. Por eso una simulación corta a lo largo de una dirección casi neutra no reemplaza el cálculo reducido.

Continuación global de una rama invariante

Considere la silla lineal

$$\dot x=x, \qquad \dot y=-2y.$$

La solución es $x(t)=x_0e^t$, $y(t)=y_0e^{-2t}$. Para que $(x(t),y(t))\to(0,0)$ cuando $t\to+\infty$, hace falta $x_0=0$; por tanto

$$W^s(0)=\{(0,y):y\in\mathbb R\}.$$

Para converger al origen hacia atrás debe cumplirse $y_0=0$, así que

$$W^u(0)=\{(x,0):x\in\mathbb R\}.$$

En un sistema no lineal, el cálculo comienza de la misma forma: se localiza $p$, se diagonaliza $Df(p)$ y se siembran puntos $p\pm\varepsilon v_s$ o $p\pm\varepsilon v_u$. Para extender $W^u$ se integra hacia adelante desde las semillas inestables; para extender $W^s$ suele integrarse hacia atrás desde las estables. El signo de $\varepsilon$, el tiempo de integración y la tolerancia forman parte del resultado reproducible.

Integrar hacia atrás no es una operación inocente. La dirección que era estable en tiempo positivo se vuelve expansiva y amplifica redondeo y error de discretización. Una práctica fiable repite con varios valores de $\varepsilon$, reduce tolerancias y comprueba que las ramas recalculadas coincidan en la región común. Para curvas muy largas conviene redistribuir puntos o usar continuación de arcos, pues una sola trayectoria acumula separación desigual.

Homoclinicidad y heteroclinicidad

Una órbita es homoclínica a $p$ si pertenece a $W^s(p)\cap W^u(p)$ y se aproxima al mismo equilibrio en ambos extremos temporales. Es heteroclínica si conecta dos objetos invariantes distintos. Estas conexiones son globales: la linealización describe cómo salen y entran las ramas, pero no determina si se encontrarán lejos del equilibrio.

En el plano, las variedades estable e inestable de una silla son curvas. Si comparten una órbita de un flujo autónomo planar, sus tangentes coinciden con el campo sobre esa órbita; la conexión no es transversal en el espacio de fases. La situación cambia para el mapa de Poincaré de un sistema forzado o para mapas bidimensionales: curvas estable e inestable pueden cruzarse transversalmente en puntos homoclínicos.

Hirsch, Smale y Devaney dedican un capítulo completo a la relación entre puntos homoclínicos y la herradura; Devaney desarrolla esa relación mediante codificación simbólica. Las fuentes no autorizan a inferir una herradura sólo porque dos curvas parezcan cruzarse: primero hay que identificar el mapa, el punto hiperbólico y las variedades correspondientes. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 16, pp. 361–384 Devaney, 2022 Robert L. Devaney (2022) An Introduction to Chaotic Dynamical Systems 3.ª ed. · CRC Press Ubicación consultada: caps. 15 y 28

Condición de transversalidad

Dos subvariedades $M$ y $N$ se intersectan transversalmente en $q$ cuando

$$T_qM+T_qN=T_q\mathbb R^n.$$

Si tienen dimensiones $m$ y $k$, una intersección transversal tiene, localmente, dimensión $m+k-n$. Dos curvas en el plano se cruzan en puntos aislados; dos superficies en tres dimensiones lo hacen a lo largo de una curva. La transversalidad es robusta: pequeñas perturbaciones desplazan la intersección, pero no suelen eliminarla. Una tangencia es frágil y puede desaparecer o producir dos cruces al variar un parámetro.

Numéricamente puede estimarse el ángulo entre vectores tangentes normalizados $u_s$ y $u_u$ mediante

$$\theta=\arccos\!\left(|u_s\cdot u_u|\right).$$

Un ángulo visiblemente distinto de cero apoya transversalidad sólo después de controlar resolución y proyección. Si las curvas provienen de datos 3D proyectados al plano, un cruce de imágenes puede corresponder a puntos separados en la coordenada omitida. Si $\theta$ disminuye al refinar, la aparente intersección puede ser una tangencia o un error de muestreo.

Herradura asociada a una intersección transversal

El mecanismo de herradura toma una región, la estira en una dirección, la contrae en otra y la pliega para reinsertarla. Tras iterar, quedan franjas cada vez más delgadas. Etiquetar dos franjas con $0$ y $1$ asocia a cada órbita una sucesión simbólica; la dinámica de desplazamiento sobre esas sucesiones contiene órbitas periódicas de todos los periodos y dependencia sensible.

El teorema homoclínico de Smale–Birkhoff, en su contexto adecuado, vincula una intersección homoclínica transversal de las variedades de un punto periódico hiperbólico con una herradura para alguna iteración del mapa. La conclusión es local en una región invariante y no significa que todo el sistema sea caótico. Guckenheimer y Holmes integran esta idea con mapas de retorno, Melnikov y bifurcaciones globales. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: caps. 4–6, Melnikov, herraduras y órbitas homoclínicas

Medición de un cruce transversal

Supongamos que dos ramas calculadas cerca de $q=(0,0)$ se aproximan por

$$\gamma_s(r)=(r,\,0.3r+O(r^2)), \qquad \gamma_u(s)=(s,\,-0.5s+O(s^2)).$$

Sus tangentes en $q$ son $v_s=(1,0.3)$ y $v_u=(1,-0.5)$. El determinante

$$\det\begin{pmatrix}1&1\\0.3&-0.5\end{pmatrix}=-0.8$$

no es cero, así que los vectores generan $\mathbb R^2$ y el cruce es transversal. Esta conclusión usa derivadas en el punto, no el grosor de las líneas dibujadas. En datos discretos se ajusta una tangente a cada rama usando ventanas decrecientes y se comprueba que el determinante se estabilice lejos de cero.

La hiperbolicidad determina las direcciones locales; el teorema de variedades las prolonga; su encuentro puede ser transversal o tangente; y una herradura sólo puede concluirse bajo las hipótesis correspondientes.