Geometría simpléctica, teoría KAM y problemas globales

La estructura hamiltoniana no consiste únicamente en conservar una función de energía. El espacio de fases lleva una forma simpléctica no degenerada que relaciona funciones con campos, determina transformaciones canónicas y obliga al flujo a preservar volumen. En regiones integrables, las trayectorias regulares se organizan sobre toros con variables acción–ángulo. Una perturbación pequeña destruye las resonancias más frágiles, pero la teoría KAM demuestra la persistencia de muchos toros suficientemente irracionales bajo hipótesis de suavidad y no degeneración.

La conclusión es selectiva: no sobreviven todos los toros y no se obtiene una clasificación global completa. Separatrices, regiones resonantes y topología pueden bloquear coordenadas globales. Esta unidad enlaza la integrabilidad del tomo II con los resultados perturbativos usados en dinámica hamiltoniana. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 7, integrabilidad y sistemas hamiltonianos Abrir fuente

Forma simpléctica y campo hamiltoniano

En $\mathbb R^{2n}$ con coordenadas $(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n)$, la forma canónica es

$$\omega=\sum_{j=1}^n dq_j\wedge dp_j.$$

Es cerrada y no degenerada. Dado un Hamiltoniano $H$, el campo $X_H$ se define por

$$\iota_{X_H}\omega=dH$$

con una convención de signo que debe mantenerse. En coordenadas se recuperan las ecuaciones de Hamilton. La no degeneración garantiza un único campo para cada diferencial; si $dH=0$, aparece un equilibrio.

El flujo $\varphi_t$ preserva $\omega$ porque la derivada de Lie satisface

$$\mathcal L_{X_H}\omega=d(\iota_{X_H}\omega)+\iota_{X_H}d\omega=d^2H=0.$$

En consecuencia preserva $\omega^n/n!$, el volumen simpléctico. La conservación de energía sigue de $dH(X_H)=\omega(X_H,X_H)=0$. Energía y forma son propiedades distintas: un método numérico puede conservar aproximadamente una energía particular sin ser simpléctico.

Transformaciones canónicas

Un difeomorfismo $F$ es simpléctico si $F^*\omega=\omega$. En coordenadas canónicas, su jacobiano cumple

$$DF(z)^TJDF(z)=J.$$

Esto implica determinante uno, pero preservar volumen no basta para ser simpléctico cuando $n>1$. Las transformaciones canónicas conservan corchetes de Poisson y la forma de las ecuaciones de Hamilton.

Una función generatriz puede construir cambios canónicos relacionando antiguas y nuevas variables mediante derivadas. Hay varias clases según qué variables se traten como independientes. Antes de usar una función generatriz se verifica que la transformación sea localmente invertible y que el tipo elegido corresponda a esas variables; cambiar signos entre convenciones altera las ecuaciones.

Corchete de Poisson e integrales en involución

El corchete

$$\{F,G\}=\nabla F^TJ\nabla G$$

mide la variación de $F$ a lo largo del flujo de $G$. Es bilineal, antisimétrico, satisface Leibniz y Jacobi. Una función $F$ es integral de $H$ si $\{F,H\}=0$. Dos integrales están en involución si su corchete se anula.

En un sistema de $n$ grados de libertad, la integrabilidad de Liouville requiere $n$ integrales independientes en involución sobre una región regular. Independencia significa que sus diferenciales son linealmente independientes casi en todas partes de interés. Contar energía, una función de la energía y otra combinación dependiente no satisface la hipótesis.

En una componente compacta y conexa de nivel común regular, el flujo se organiza sobre un toro $\mathbb T^n$. La compactitud y regularidad son esenciales; niveles abiertos o críticos pueden contener dispersión, colisiones o separatrices.

Variables acción–ángulo

Sobre un toro regular integrable se pueden elegir acciones $I$ constantes y ángulos $\theta$ módulo $2\pi$ tales que

$$H=H_0(I),\qquad \dot I=0,\qquad \dot\theta=\Omega(I)=\nabla_IH_0(I).$$

La trayectoria angular es $\theta(t)=\theta_0+\Omega t$. Para una frecuencia no nula, la órbita es periódica si y sólo si $\Omega=\omega m$ para algún $m\in\mathbb Z^n$ y algún $\omega\ne0$. Es densa en todo $\mathbb T^n$ si $k\cdot\Omega\ne0$ para cada $k\in\mathbb Z^n\setminus\{0\}$. En el caso intermedio, una o más relaciones enteras confinan la órbita a un subtoro propio, donde su cierre puede tener dimensión mayor que uno sin ser una órbita periódica. Densidad no equivale a mezcla; una traslación irracional conserva correlaciones rígidas.

Para un grado de libertad, la acción puede escribirse

$$I(E)=\frac{1}{2\pi}\oint p\,dq.$$

Su derivada respecto de la energía se relaciona con el periodo. Cerca de una separatriz, el periodo diverge y las coordenadas acción–ángulo se vuelven singulares. Este fallo es geométrico, no un defecto de la integración.

Ejemplo trabajado: oscilador armónico

Para

$$H(q,p)=\frac12(p^2+\omega^2q^2),$$

los niveles $E>0$ son elipses. Defina

$$q=\sqrt{\frac{2I}{\omega}}\sin\theta, \qquad p=\sqrt{2I\omega}\cos\theta.$$

Al sustituir, $H=\omega I$ y las ecuaciones dan $I'=0$, $\theta'=\omega$ según la convención elegida. El área encerrada por la elipse es $2\pi I$, por lo que la acción mide área de fase dividida por $2\pi$.

Para dos osciladores desacoplados, $H=\omega_1I_1+\omega_2I_2$. Si $\omega_1/\omega_2$ es racional, las órbitas cierran; si es irracional, llenan densamente el toro. Como las frecuencias son constantes, el Hessiano de $H$ respecto de $I$ es cero: la condición de torsión habitual de KAM falla en este modelo lineal degenerado. Se requiere una no linealidad que haga variar las frecuencias con las acciones o una versión degenerada del teorema.

Perturbación casi integrable

Considere

$$H(I,\theta)=H_0(I)+\varepsilon H_1(I,\theta).$$

Las ecuaciones son

$$\dot I=-\varepsilon\partial_\theta H_1, \qquad \dot\theta=\Omega(I)+\varepsilon\partial_IH_1.$$

Las acciones ya no son exactamente constantes. Un intento perturbativo de eliminar la dependencia angular conduce a denominadores $k\cdot\Omega$ para vectores enteros $k$. Cerca de una resonancia esos denominadores son pequeños y la transformación deja de ser uniforme. Los términos resonantes deben conservarse y analizarse con variables lentas adaptadas.

La perturbación pequeña se mide en una norma de regularidad concreta y sobre un dominio. Un coeficiente numéricamente pequeño no basta si sus derivadas son grandes o si se estudia una región pegada a una separatriz.

Condición diofántica y pequeños denominadores

Una frecuencia $\Omega$ es diofántica si existen $\gamma>0$ y $\tau$ tales que

$$|k\cdot\Omega|\ge\frac{\gamma}{|k|^\tau} \quad\text{para todo }k\in\mathbb Z^n\setminus\{0\}.$$

La desigualdad evita aproximaciones racionales demasiado buenas y controla los denominadores de la iteración. Las frecuencias resonantes quedan excluidas; las muy próximas a resonancia requieren una perturbación aún menor. El conjunto diofántico ocupa gran medida para parámetros adecuados, aunque tiene estructura perforada.

Decir que una razón parece irracional con precisión finita no verifica la condición. En cálculo se exploran resonancias de orden acotado, se informa el límite y se mide la distancia a ellas. Una frecuencia puede superar todas las pruebas finitas y fallar a orden mayor.

Enunciado operativo de KAM

En una formulación clásica, si $H_0$ es suficientemente suave o analítico, satisface una condición de no degeneración como

$$\det D_I^2H_0(I)\ne0,$$

y la perturbación es suficientemente pequeña en la norma requerida, muchos toros con frecuencias diofánticas persisten deformados. El movimiento sobre cada toro persistente es conjugado a una traslación cuasiperiódica. La medida de toros destruidos tiende a cero con la perturbación bajo estimaciones apropiadas.

El teorema no afirma que todo toro sobreviva, que no exista caos entre ellos o que el sistema sea globalmente integrable. Tampoco cubre automáticamente puntos críticos, colisiones o dominios no compactos. Guckenheimer y Holmes y Wiggins sitúan KAM junto con resonancias y separatrices, donde se observa la coexistencia de regiones regulares y capas complejas. Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: secciones de sistemas hamiltonianos casi integrables y teoría KAM Abrir fuente

Resonancias y dinámica reducida

Cerca de $k\cdot\Omega=0$, se introduce un ángulo lento $\psi=k\cdot\theta$ y se promedian los ángulos rápidos. La forma resonante suele parecerse a un péndulo:

$$K(J,\psi)=\frac{a}{2}(J-J_*)^2+\varepsilon b\cos\psi+\cdots.$$

Aparecen islas alrededor de puntos elípticos y separatrices asociadas a puntos hiperbólicos. Resonancias distintas pueden superponerse y facilitar transporte. La reducción es local en acción y en orden perturbativo; su separatriz no debe extenderse como frontera exacta del sistema completo.

En dos dimensiones de fase, curvas invariantes cerradas pueden actuar como barreras. Con más grados de libertad, los toros tienen codimensión mayor dentro de la superficie de energía y no separan necesariamente el espacio. Esta diferencia abre la posibilidad de transporte lento, incluido el mecanismo llamado difusión de Arnold bajo hipótesis especializadas. No todo desplazamiento numérico de acciones constituye evidencia de ese mecanismo.

Aplicaciones simplécticas y sección

Una sección transversal de un flujo hamiltoniano autónomo, restringida adecuadamente a una superficie de energía, induce una aplicación que preserva la forma de área correspondiente. En coordenadas canónicas bidimensionales, el jacobiano debe tener determinante uno. La aplicación estándar

$$p_{n+1}=p_n+K\sin q_n, \qquad q_{n+1}=q_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}$$

es simpléctica. Para $K$ pequeño muestra curvas invariantes, cadenas resonantes e intervalos complejos. Al crecer $K$, se rompen más barreras, pero el umbral preciso depende del número de rotación y del criterio utilizado.

Verificar determinante uno es suficiente para simplécticidad en dimensión dos orientada, pero en dimensiones mayores hay que comprobar $DF^TJDF=J$. Una aplicación ajustada a datos puede parecer preservadora de área con error finito y aun violar sistemáticamente la estructura.

Problemas globales y obstrucciones

Las variables acción–ángulo pueden existir en cartas y fallar globalmente por niveles críticos, monodromía, cambio de topología de fibras o singularidades. Incluso una familia de toros regulares puede no admitir una elección global única de ciclos base. La geometría simpléctica global estudia estas obstrucciones además de la evolución local.

Separatrices dividen regímenes y generan tiempos largos; perturbarlas puede producir intersecciones homoclínicas y capas complejas. En dominios no compactos también deben estudiarse escape y crecimiento. KAM cubre una región no resonante regular, no resuelve esas zonas.

Una conclusión responsable identifica el dominio del toro, norma de perturbación, regularidad, condición diofántica, no degeneración y medida o topología en que se afirma persistencia. Sin esos datos, «aplica KAM» no es una justificación verificable.

Protocolo analítico y numérico

1. Escriba la forma simpléctica y compruebe no degeneración.
2. Derive el campo desde $\iota_X\omega=dH$ con signos consistentes.
3. Localice integrales independientes y pruebe involución.
4. Delimite niveles regulares compactos donde existan acciones.
5. Calcule frecuencias y revise torsión o la no degeneración pertinente.
6. Enumere resonancias hasta un orden declarado y mida distancias.
7. Compruebe simplécticidad del integrador o aplicación de retorno.
8. Distinga toros persistentes, regiones resonantes y transporte no clasificado.

Ejercicios

1. Verifique directamente que el flujo hamiltoniano preserva la forma simpléctica canónica.
2. Calcule acción y periodo del oscilador armónico y relacione $dI/dE$ con el periodo.
3. Compruebe que una transformación lineal dada es simpléctica usando la identidad matricial.
4. Construya dos integrales en involución para osciladores desacoplados y examine su independencia.
5. Identifique los denominadores pequeños de una perturbación con dos frecuencias y una lista finita de resonancias.
6. Demuestre que la aplicación estándar tiene determinante uno y estudie su forma lineal cerca de un punto fijo.
7. Compare un integrador simpléctico y RK4 en tiempo largo para el péndulo, midiendo energía y error de área.

La geometría simpléctica fija las cantidades que el flujo debe preservar; la integrabilidad organiza toros; KAM garantiza persistencia selectiva lejos de resonancias fuertes. Las regiones excluidas no son residuos sin interés: allí se concentran separatrices, transiciones y los principales límites de una descripción global.