Ecuaciones lineales no homogéneas y coeficientes variables

La linealidad no desaparece cuando hay una entrada externa. En

$$\dot x=A(t)x+g(t),$$

la suma de dos soluciones ya no es solución porque duplica $g$, pero la diferencia de dos soluciones sí satisface el sistema homogéneo. El conjunto de soluciones es un espacio afín: una solución particular más todas las homogéneas. Esta estructura permite separar la dinámica interna, descrita por una matriz fundamental, de la respuesta al forzamiento.

Si $\Phi'(t)=A(t)\Phi(t)$ y $\Phi(t_0)=I$, la variación de constantes da

$$x(t)=\Phi(t)x_0+ \Phi(t)\int_{t_0}^{t}\Phi(s)^{-1}g(s)\,ds.$$

La fórmula se deriva proponiendo $x=\Phi c$, de donde $\Phi c'=g$. No es una plantilla para memorizar: exhibe cómo una entrada aplicada en $s$ se transporta hasta $t$ por $\Phi(t)\Phi(s)^{-1}$. Jaurez y colaboradores usan este principio para organizar ecuaciones no homogéneas, vibraciones y coeficientes variables. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I Papirhos Textos 13 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 5, variación de parámetros y ecuaciones lineales no homogéneas Abrir fuente

Ecuación escalar de primer orden

Para

$$x'+p(t)x=q(t),$$

el factor integrante $\mu(t)=\exp(\int p(t)dt)$ convierte el lado izquierdo en $(\mu x)'$. Así,

$$x(t)=\mu(t)^{-1} \left(C+\int^t\mu(s)q(s)\,ds\right).$$

La constante se fija con el dato inicial. Elegir diferentes primitivas sólo redistribuye factores constantes entre $\mu$ y $C$. La comprobación correcta deriva la expresión, sustituye en la ecuación y evalúa el dato; simplificar simbólicamente sin revisar el dominio puede perder intervalos donde $p$ tiene singularidades.

Como ejemplo, $x'+2tx=t$ tiene $\mu=e^{t^2}$ y

$$x(t)=\frac12+Ce^{-t^2}.$$

El equilibrio instantáneo $1/2$ aparece porque el forzamiento es compatible con el coeficiente. Si $x(0)=0$, $C=-1/2$ y la solución se aproxima a $1/2$ en ambos extremos temporales, aunque la ecuación no sea autónoma.

Variación de parámetros en segundo orden

Sea

$$y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)$$

y sean $y_1,y_2$ soluciones independientes de la homogénea. Se busca $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ con la condición auxiliar $u_1'y_1+u_2'y_2=0$. Entonces

$$u_1'=-\frac{y_2r}{W}, \qquad u_2'=\frac{y_1r}{W}, \qquad W=y_1y_2'-y_1'y_2.$$

La independencia exige $W\ne0$ en el intervalo. La fórmula de Abel determina $W(t)=W(t_0)e^{-\int p}$; si es no nulo en un punto, lo es en todo el intervalo regular. Las constantes introducidas al integrar $u_1',u_2'$ generan soluciones homogéneas y pueden fijarse en cero para una particular.

Ejemplo trabajado: oscilador forzado

Considere

$$y''+\omega_0^2y=F\cos\omega t, \qquad \omega\ne\omega_0.$$

Una particular $y_p=A\cos\omega t$ produce

$$A=\frac{F}{\omega_0^2-\omega^2}.$$

La solución completa es

$$y=C_1\cos\omega_0t+C_2\sin\omega_0t+ \frac{F}{\omega_0^2-\omega^2}\cos\omega t.$$

Cuando $\omega\to\omega_0$, el denominador advierte resonancia y la conjetura deja de ser válida. En resonancia exacta,

$$y_p=\frac{F}{2\omega_0}t\sin\omega_0t,$$

cuyo crecimiento secular refleja la ausencia de disipación. No significa que un sistema físico alcance amplitud infinita: antes suelen intervenir amortiguamiento, no linealidad o límites materiales. Es una señal de que el modelo lineal ideal ya no es uniforme para tiempos largos.

Vibración amortiguada y respuesta en frecuencia

Para

$$my''+cy'+ky=F_0\cos\omega t,$$

la respuesta estacionaria tiene amplitud

$$A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}$$

y desfase $\tan\delta=c\omega/(k-m\omega^2)$, con cuadrante determinado por ambos términos. La parte homogénea es transitoria si $c>0$. La frecuencia de máxima amplitud no coincide necesariamente con $\sqrt{k/m}$; para amortiguamiento débil es $\sqrt{k/m-c^2/(2m^2)}$ cuando esta cantidad es real.

Un análisis experimental separa transitorio y régimen estacionario, mide amplitud y fase después de varios tiempos de decaimiento, y repite frecuencias en ambos sentidos para detectar no linealidad o histéresis. Ajustar sólo el pico no identifica de manera robusta los tres parámetros.

Coeficientes variables y matriz fundamental

Cuando $A=A(t)$, en general

$$\Phi(t)\ne\exp\!\left(\int_{t_0}^tA(s)ds\right)$$

porque matrices en tiempos distintos pueden no conmutar. La igualdad vale si $A(t)A(s)=A(s)A(t)$ para todos $s,t$. De otro modo se requiere una matriz fundamental obtenida por integración, serie de Peano–Baker u otros métodos.

La propagación de una entrada se describe por $G(t,s)=\Phi(t)\Phi(s)^{-1}$:

$$x(t)=G(t,t_0)x_0+\int_{t_0}^tG(t,s)g(s)ds.$$

Este operador de evolución distingue el instante de aplicación del instante de observación. En sistemas invariantes en el tiempo depende sólo de $t-s$ y la integral se convierte en convolución; con coeficientes variables no debe imponerse esa simplificación.

Series de potencias en puntos ordinarios

Si $p,q,r$ son analíticas cerca de $t_0$ y el coeficiente de $y''$ no se anula, se busca

$$y(t)=\sum_{n=0}^\infty a_n(t-t_0)^n.$$

Al derivar y alinear potencias se obtiene una recurrencia. Los dos coeficientes libres corresponden a $y(t_0)$ y $y'(t_0)$. La teoría garantiza la convergencia al menos hasta la distancia a la singularidad compleja más próxima de los coeficientes. El radio exacto de una solución particular puede ser mayor si esa singularidad resulta removible para ella; en ningún caso lo determina el número de términos calculados.

Para $y''+ty=0$ alrededor de cero,

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_{n-1}=0\quad(n\ge1),$$

con $a_2=0$. Los coeficientes se separan en clases módulo tres. Truncar en orden $N$ produce un polinomio cuya validez se audita sustituyendo en la EDO y midiendo el residuo en un intervalo. Una gráfica suave lejos del centro no garantiza convergencia suficiente.

Procedimiento de selección del método

Función de Green e impulso

Para un operador lineal de segundo orden con condiciones iniciales nulas, la respuesta puede escribirse como una integral contra una función de Green causal. En el oscilador no amortiguado,

$$y''+\omega_0^2y=r(t),$$

la respuesta es

$$y(t)=\int_{t_0}^t \frac{\sin(\omega_0(t-s))}{\omega_0}r(s)ds.$$

El núcleo es la respuesta a un impulso aplicado en $s$ y transportado hasta $t$. Derivar bajo la integral comprueba la ecuación y muestra el salto apropiado de la derivada del núcleo en el origen. Si hay datos no nulos, se añade la solución homogénea correspondiente.

En coeficientes variables, la función depende de ambos tiempos por separado, no sólo de su diferencia. Las condiciones de frontera producen otra función de Green que generalmente no es causal y puede ser simétrica cuando el operador es autoadjunto. Mezclar respuesta inicial y problema de frontera conduce a condiciones incorrectas.

Principio de superposición y entradas por tramos

Una entrada compuesta $g=g_1+g_2$ produce la suma de respuestas particulares. Esto permite aproximar una señal por pulsos o funciones base, siempre que se conserve el mismo operador lineal. Si un parámetro depende de la amplitud, el principio deja de aplicar.

Para una entrada escalón, la solución es continua pero su derivada puede cambiar según el orden de la ecuación y la forma de la entrada. Para un impulso ideal, se integra la ecuación en un intervalo pequeño para deducir el salto. Sustituir una función muy estrecha en un integrador sin resolver su escala puede perder el área y entregar una respuesta dependiente de la malla.

Resonancia con duración finita

El término secular de la resonancia exacta crece mientras actúa el forzamiento coherente. Si la entrada se aplica sólo hasta un tiempo $T$, después queda una oscilación libre cuya amplitud depende de la fase al apagar. La divergencia temporal de la solución ideal no implica divergencia instantánea para una excitación finita.

Cuando la frecuencia cambia lentamente, la respuesta atraviesa la resonancia y la aproximación estacionaria puede fallar. Comparar la tasa de barrido con el tiempo de relajación permite decidir si el sistema sigue casi estacionariamente la curva de respuesta. Este análisis exige amortiguamiento y escala temporal, no sólo sustituir una frecuencia instantánea.

Series, singularidades y método de Frobenius

En un punto ordinario, dos datos libres generan dos series analíticas. Si el coeficiente principal se anula, el punto puede ser singular regular y la conjetura cambia a

$$y=(t-t_0)^r\sum_{n=0}^\infty a_n(t-t_0)^n.$$

La ecuación indicial determina exponentes posibles. Raíces que difieren por un entero pueden introducir logaritmos; no debe suponerse que siempre existen dos series puras. Un punto singular irregular requiere técnicas distintas.

Aunque Frobenius pertenece a una extensión del caso de coeficientes variables, distinguir punto ordinario, singular regular e irregular evita aplicar una recurrencia inválida. En todos los casos, sustituir la suma truncada y estudiar el residuo proporciona una comprobación local.

Condicionamiento de la base fundamental

Dos soluciones homogéneas pueden ser matemáticamente independientes y casi proporcionales en un intervalo numérico. Entonces el Wronskiano es pequeño respecto de las escalas de las columnas y variación de parámetros amplifica errores. Reescalar la base o integrar una matriz fundamental con reortogonalización mejora el cálculo sin cambiar el espacio de soluciones.

Al reportar una solución, conserve el residuo de la ecuación, las condiciones iniciales y una estimación del condicionamiento. Una expresión simbólica muy larga no ofrece por sí sola mayor confiabilidad que una representación integral estable.

1. Identifique orden, linealidad, homogeneidad y dominio regular.
2. Resuelva o construya una base de la homogénea.
3. Use factor integrante, variación de parámetros o Green según la estructura.
4. Revise Wronskiano y condiciones iniciales.
5. Detecte resonancia antes de elegir la forma de la particular.
6. Para coeficientes variables, compruebe conmutación antes de exponentiar una integral.
7. En series, derive la recurrencia y estime residuo y radio útil.
8. Compare solución analítica y cálculo numérico mediante cantidades físicas.

Ejercicios

1. Resuelva $x'+(1/t)x=t^2$ en cada intervalo regular y discuta el punto $t=0$.
2. Aplique variación de parámetros a $y''+y=\sec t$ en un intervalo donde el forzamiento sea regular.
3. Derive la solución resonante de $y''+4y=\cos2t$ y compruebe el coeficiente secular.
4. Calcule amplitud y fase del oscilador amortiguado para tres frecuencias y localice su máximo.
5. Construya dos matrices $A(t)$ no conmutativas y muestre por expansión por qué falla la exponencial de la integral.
6. Obtenga seis coeficientes de la serie para $y''+ty=0$ con dos datos iniciales distintos.
7. Integre el mismo problema con dos pasos y compare el residuo diferencial con el error frente a una solución conocida.

La solución no homogénea registra cómo la dinámica interna transporta cada contribución externa. Variación de parámetros, respuesta en frecuencia y series son expresiones distintas de esa misma estructura lineal, cada una con un dominio de validez que debe comprobarse.