Poincaré–Bendixson, índice y campos sobre variedades

La dinámica continua en el plano está fuertemente restringida. Una trayectoria acotada no puede enredarse indefinidamente con la libertad disponible en tres dimensiones: bajo hipótesis precisas, su comportamiento límite se reduce a equilibrios, órbitas periódicas o conexiones entre puntos críticos. El teorema de Poincaré–Bendixson formaliza esa restricción. El índice añade una condición topológica que relaciona la rotación del campo sobre una curva con los equilibrios encerrados.

Estas herramientas no dependen de resolver la ecuación. Combinan compactación, invariancia, unicidad y orientación. Por ello son especialmente útiles para demostrar que existe un ciclo o que cierto retrato es imposible. Jaurez y colaboradores presentan conjuntamente conjuntos límite, índice y campos sobre variedades en el capítulo dedicado a dinámica planar. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 9, Poincaré–Bendixson, índice y campos en variedades Abrir fuente

Conjuntos alfa y omega

Para una trayectoria completa hacia adelante, el conjunto omega de $x$ es

$$\omega(x)=\{y:\exists t_n\to+\infty, \ \varphi_{t_n}(x)\to y\}.$$

El conjunto alfa se define con tiempos que tienden a menos infinito. Si la semiórbita positiva está contenida en un compacto, $\omega(x)$ es no vacío, compacto, conexo e invariante. No es simplemente el último tramo dibujado: reúne todos los puntos de acumulación para sucesiones arbitrarias de tiempos grandes.

Un equilibrio atractivo tiene conjunto omega unitario para datos de su cuenca. Una órbita periódica atractiva tiene como conjunto omega toda la curva cerrada, no un punto elegido sobre ella. Una conexión heteroclínica puede tener conjuntos alfa y omega distintos. Para afirmar convergencia desde datos numéricos se necesita controlar el horizonte y el error; una trayectoria lenta cerca de una silla puede parecer estabilizada antes de continuar.

La invariancia se demuestra desplazando las sucesiones temporales: si $y$ es límite de $\varphi_{t_n}(x)$, la continuidad del flujo implica que $\varphi_s(y)$ es límite de $\varphi_{t_n+s}(x)$. Este argumento requiere que el flujo esté definido durante los desplazamientos utilizados.

Regiones positivamente invariantes y atrapantes

Una región cerrada $D$ es positivamente invariante cuando toda solución que comienza en ella permanece allí hacia adelante. Si su frontera es regular y está dada localmente por $g=0$, con $D=\{g\le0\}$, la desigualdad

$$\nabla g\cdot f<0$$

sobre la frontera indica entrada estricta. Para una frontera por tramos se revisa cada arco y cada esquina. Si el campo es tangente en algún punto, la desigualdad no decide y hay que analizar invariancia o términos superiores.

Una región atrapante compacta proporciona acotación y, por tanto, existencia de conjuntos omega. No garantiza por sí sola una órbita periódica: puede contener un sumidero. Para aplicar Poincaré–Bendixson se excluyen equilibrios del conjunto límite o se estudia su disposición. Un anillo suele ser útil porque puede rodear una región interior repelente sin incluir el equilibrio central.

Teorema de Poincaré–Bendixson

Una forma estándar afirma: si una semiórbita positiva de un campo planar $C^1$ permanece en un compacto y su conjunto omega no contiene equilibrios, entonces ese conjunto omega es una órbita periódica. Versiones más completas describen el caso con un número finito de puntos críticos y permiten uniones de equilibrios y conexiones. La condición planar y la unicidad son esenciales.

La idea de la prueba toma una sección transversal cerca de un punto regular del conjunto límite. Los cruces sucesivos quedan ordenados sobre un intervalo, porque las trayectorias no pueden intersectarse. Recurrencia y monotonicidad fuerzan la coincidencia que cierra una órbita. En dimensión tres, los cruces viven en una superficie y pueden organizarse de manera mucho más compleja; Lorenz demuestra que la conclusión no se extiende directamente.

El teorema certifica existencia y forma del conjunto límite, pero no calcula periodo, estabilidad o unicidad de todos los ciclos. Esos datos requieren retorno, divergencia, funciones de Dulac o argumentos adicionales.

Ejemplo trabajado: ciclo en coordenadas polares

Considere

$$\dot r=r(1-r),\qquad \dot\theta=1.$$

En coordenadas cartesianas el campo es suave lejos de cualquier problema angular y el círculo $r=1$ es una órbita periódica. Construyamos el anillo $D=\{1/2\le r\le2\}$. En la frontera interior, $r'=1/4>0$, de modo que el campo entra al anillo. En la exterior, $r'=-2<0$, también entra. No hay equilibrios en $D$ porque $\theta'=1$.

Toda trayectoria iniciada en el anillo permanece en un compacto. Poincaré–Bendixson implica que su conjunto omega es una órbita periódica. La ecuación radial permite identificarla: si $r<1$, aumenta; si $r>1$, disminuye. Por tanto, $r(t)\to1$ y el ciclo es único dentro del anillo. Su periodo es $2\pi$. El teorema aporta existencia cualitativa; la monotonicidad radial añade unicidad y atracción.

Esta separación lógica importa en sistemas donde no hay coordenadas polares explícitas: la región puede demostrar existencia aun cuando el ciclo sólo se aproxime numéricamente.

Índice del campo sobre una curva

Sea $\gamma$ una curva cerrada simple que no pasa por ceros de $f$. El vector normalizado

$$t\mapsto \frac{f(\gamma(t))}{\lVert f(\gamma(t))\rVert}$$

define una aplicación del círculo al círculo. Su grado entero es el índice $I(f,\gamma)$: número neto de vueltas del vector del campo mientras se recorre $\gamma$ con orientación positiva. Puede calcularse desenvolviendo un ángulo continuo y dividiendo su cambio total entre $2\pi$.

Si se deforma la curva sin cruzar un equilibrio, el índice no cambia. Si dentro hay ceros aislados,

$$I(f,\gamma)=\sum_{p\in\operatorname{int}\gamma}I(f,p).$$

Un nodo, foco o centro no degenerado tiene índice $+1$; una silla hiperbólica, $-1$. El índice no distingue entre nodo y foco, ni decide estabilidad. Es una obstrucción global que complementa el espectro local.

Índice de una órbita periódica y consecuencias

Sobre una órbita periódica regular, el campo es tangente y completa una vuelta con la curva. Su índice es $+1$ cuando la órbita se orienta positivamente de acuerdo con la convención. Por tanto, la suma de índices de los equilibrios encerrados debe ser uno. Un ciclo no puede rodear únicamente dos sillas hiperbólicas, cuya suma sería menos dos; debe haber otros críticos o la supuesta curva no ser una órbita regular simple.

La condición es necesaria, no suficiente. Encerrar un nodo de índice uno no garantiza un ciclo. Tampoco el índice cuenta cuántas órbitas periódicas existen. Su utilidad está en descartar configuraciones y comprobar inventarios de puntos críticos antes de aceptar un retrato obtenido por integración.

Numéricamente se muestrea el campo sobre la curva, se calcula $\operatorname{atan2}(f_2,f_1)$, se desenvuelve la fase y se controla que la norma del campo permanezca separada de cero. Refinar sólo el número de puntos no sirve si la curva pasa demasiado cerca de un equilibrio.

Criterios para excluir ciclos

Si la divergencia $\partial f_1/\partial x+\partial f_2/\partial y$ tiene signo estricto en una región simplemente conexa, el criterio de Bendixson excluye órbitas periódicas contenidas por completo en ella. La prueba integra la divergencia sobre el interior y usa Green; el flujo tangente a una órbita cerrada produciría flujo normal total cero, incompatible con una integral de signo estricto.

El criterio de Dulac permite multiplicar el campo por una función $B$ y estudiar $\operatorname{div}(Bf)$. La región debe ser simplemente conexa o hay que tratar sus agujeros. Un signo que falla sobre una curva de medida cero puede admitirse en algunas versiones, pero debe citarse la formulación exacta. No encontrar una función de Dulac no demuestra existencia de ciclo.

Campos sobre variedades y fibrado tangente

En una variedad diferenciable $M$, un campo es una sección $X:M\to TM$ con $X(p)\in T_pM$. En coordenadas, sus componentes cambian con el diferencial de la transición entre cartas. Una curva integral satisface la ecuación de manera intrínseca, aunque sus componentes adopten fórmulas distintas.

Si $M$ es una superficie embebida definida por $F(x)=0$, la tangencia exige $DF(x)X(x)=0$. En la esfera, $X(x)=a\times x$ es tangente. El teorema de Poincaré–Hopf relaciona los índices de ceros aislados con la característica de Euler:

$$\sum_p I(X,p)=\chi(M).$$

En $S^2$, la suma es dos, lo cual impide un campo tangente continuo sin ceros; en el toro, la característica es cero y sí existen campos no nulos. Esta afirmación global no reemplaza Poincaré–Bendixson, y la versión planar no se aplica sin adaptar compactación, frontera y topología de la superficie.

Protocolo de análisis planar

1. Determine dominio, regularidad y existencia global en la región de interés.
2. Localice todos los equilibrios y calcule sus índices.
3. Construya una región compacta positivamente invariante verificando cada tramo de frontera.
4. Establezca qué equilibrios puede contener el conjunto omega.
5. Aplique la formulación adecuada de Poincaré–Bendixson.
6. Use índice para comprobar la configuración interior.
7. Busque una función de Dulac si necesita excluir ciclos.
8. Estime periodo y estabilidad sólo con cálculos adicionales y refinados.

Ejercicios

1. Construya un anillo atrapante para $r'=r(1-r^2)$ y determine el ciclo límite y su estabilidad.
2. Calcule el índice sobre una circunferencia para un nodo, un foco y una silla lineales.
3. Demuestre que una órbita periódica simple no puede encerrar sólo una silla hiperbólica.
4. Aplique Bendixson a un sistema con divergencia estrictamente negativa en una región simplemente conexa.
5. Analice qué hipótesis falla al intentar aplicar Poincaré–Bendixson al atractor de Lorenz.
6. Construya un campo tangente sobre el toro sin ceros y relaciónelo con su característica de Euler.
7. Diseñe un cálculo de índice discreto y estudie su estabilidad al acercar la curva a un equilibrio.

Poincaré–Bendixson transforma compactación e invariancia en una conclusión dinámica; el índice transforma la rotación del campo en una restricción algebraica. Juntos permiten demostrar y refutar retratos planares sin depender de una solución cerrada.