Campos vectoriales y ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial autónoma asigna a cada estado una velocidad posible. Esa asignación es un campo vectorial; sus soluciones son curvas que en cada punto tienen exactamente la dirección indicada por el campo. Esta lectura convierte una fórmula en geometría: en lugar de buscar primero una expresión cerrada para cada solución, se estudian equilibrios, regiones invariantes, órbitas y la manera en que el tiempo transporta conjuntos. El punto de partida es

$$\dot x=f(x),\qquad x\in U\subset\mathbb R^n,$$

con $f:U\to\mathbb R^n$. Si $f$ es continua, una solución es una curva diferenciable $x:I\to U$ que satisface $x'(t)=f(x(t))$. Si además $f$ es localmente Lipschitz, por cada $x_0\in U$ pasa una única solución local. La unicidad es la razón geométrica por la que dos trayectorias distintas no pueden cruzarse en el espacio de estados en el mismo instante autónomo: un cruce produciría dos continuaciones desde un mismo dato.

Jaurez y colaboradores comienzan con esta correspondencia entre campo, curva integral y retrato, antes de introducir clasificaciones más refinadas. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I Papirhos Textos 13 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 1, campos vectoriales, curvas integrales y flujo Abrir fuente

Curvas integrales y soluciones máximas

Una solución local puede prolongarse mientras permanezca en una región compacta donde el campo sea regular. Su intervalo máximo $(\alpha, \beta)$ no tiene por qué ser todo $\mathbb R$. Para $\dot x=x^2$, con $x(0)=x_0>0$,

$$x(t)=\frac{x_0}{1-x_0t}$$

explota cuando $t\uparrow 1/x_0$. La fórmula del campo es suave en toda la recta, pero la trayectoria abandona todo compacto en tiempo finito. Por contraste, para $\dot x=-x^3$, la energía $V=x^2/2$ decrece y las soluciones permanecen acotadas; pueden prolongarse hacia adelante para todo tiempo.

Conviene distinguir tres afirmaciones. Existencia local proporciona una curva en torno al tiempo inicial. Prolongación determina el intervalo máximo. Completitud exige que cada solución exista para todo $t\in\mathbb R$. Un campo de soporte compacto es completo; un campo polinómico no lo es automáticamente. En cálculos numéricos, que un integrador llegue a un tiempo final no demuestra completitud, pues puede haber ocultado crecimiento mediante tolerancias o saturación.

Flujo local y ley de composición

Escribamos $\varphi(t,x_0)$ para la solución que parte de $x_0$ en $t=0$. Donde está definida, la aplicación

$$\varphi_t(x_0)=\varphi(t,x_0)$$

es el flujo local. Autonomía y unicidad implican

$$\varphi_0=\operatorname{id},\qquad \varphi_{t+s}(x)=\varphi_t(\varphi_s(x)),$$

si ambos lados existen. La segunda igualdad no es una convención: se prueba observando que $u(t)=\varphi_{t+s}(x)$ y $v(t)=\varphi_t(\varphi_s(x))$ resuelven el mismo problema inicial en $t=0$. Cuando el campo es completo, $(\varphi_t)_{t\in\mathbb R}$ forma un grupo de transformaciones; para un flujo sólo hacia adelante se obtiene un semigrupo.

El dominio de un flujo local vive en un subconjunto abierto de $\mathbb R\times U$, no necesariamente en todo el producto. Esta precisión evita escribir $\varphi_{-t}$ para una trayectoria que explota antes de retroceder ese tiempo. Si $f$ es $C^r$, la dependencia respecto al dato inicial también es $C^r$ dentro de ese dominio.

Órbitas, parametrización y retrato de fase

La órbita de $x_0$ es el conjunto

$$\mathcal O(x_0)=\{\varphi_t(x_0):t\text{ permitido}\}.$$

El flujo conserva orientación temporal, mientras que el retrato de fase muestra la familia de órbitas sin registrar la rapidez exacta. Multiplicar el campo por una función positiva $a(x)$ no cambia las curvas orientadas donde $a$ no se anula, pero cambia la parametrización temporal. Esta equivalencia orbital deja intactos los conjuntos recorridos y puede alterar periodos y tiempos de llegada.

Un retrato informativo contiene puntos críticos, nulclinas, direcciones del campo, separatrices y una selección de trayectorias; una cuadrícula saturada de flechas puede ocultar la estructura. Las flechas deben normalizarse sólo para mostrar dirección, dejando claro que su longitud ya no representa rapidez. También hay que declarar el dominio: un polo del campo o una frontera física puede impedir continuar una curva que el dibujo parece prolongar.

Equilibrios y linealización inicial

Un punto $p$ es equilibrio si $f(p)=0$. Su órbita consta de un solo punto. Cerca de $p$, si $f$ es diferenciable,

$$f(p+\xi)=Df(p)\xi+R(\xi),\qquad \frac{\lVert R(\xi)\rVert}{\lVert\xi\rVert}\to0.$$

La matriz $Df(p)$ propone direcciones de contracción, expansión o rotación. Cuando ningún autovalor tiene parte real cero, el equilibrio es hiperbólico y la parte lineal determina su tipo topológico local. Si aparece parte real cero, la aproximación lineal puede ser inconclusa. Los campos escalares $\dot x=x^3$ y $\dot x=-x^3$ comparten jacobiano nulo en el origen y tienen comportamientos opuestos.

Antes de diagonalizar conviene resolver $f(x)=0$, comprobar si el punto está en el dominio y evaluar la regularidad. Linealizar en un punto que no es equilibrio produce una aproximación afín del movimiento, no una clasificación de punto crítico.

Ejemplo trabajado: contracción con rotación

Considere

$$\dot x=-x-y,\qquad \dot y=x-y.$$

En coordenada compleja $z=x+iy$ se obtiene $\dot z=(-1+i)z$, de modo que

$$z(t)=e^{-t}e^{it}z_0.$$

Cada órbita no trivial gira en sentido antihorario y su radio satisface $r(t)=e^{-t}r_0$. El ángulo es $\theta(t)=\theta_0+t$. El flujo es

$$\varphi_t(x_0,y_0)=e^{-t} \begin{pmatrix} \cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t \end{pmatrix} \binom{x_0}{y_0}.$$

La ley de composición sigue de multiplicar factores exponenciales y matrices de rotación. El único equilibrio es el origen; ninguna trayectoria no trivial llega a él en tiempo finito, aunque todas convergen cuando $t\to\infty$. Para comprobar numéricamente el resultado, integre desde varios puntos con dos tolerancias, grafique $e^tr(t)$ y verifique que permanece próximo a $r_0$. Ese residuo escalar detecta errores que un espiral visualmente suave puede ocultar.

Conjuntos invariantes y barreras

Un conjunto $A$ es positivamente invariante si $\varphi_t(A)\subset A$ para $t\ge0$; es invariante si hay igualdad para todo tiempo permitido. Si una región $D=\{g\le0\}$ tiene frontera regular y

$$\nabla g(x)\cdot f(x)<0\quad\text{en }g(x)=0,$$

el campo apunta estrictamente hacia el interior y $D$ es una región atrapante hacia adelante. En una frontera donde el producto es cero se necesita análisis adicional: el campo puede ser tangente y permanecer en ella o un término de orden superior puede decidir el cruce.

Para el sistema del ejemplo, los discos $x^2+y^2\le R^2$ son positivamente invariantes porque

$$\frac{d}{dt}(x^2+y^2)=-2(x^2+y^2).$$

La misma cuenta combina geometría y análisis: certifica que las soluciones no escapan hacia adelante y que el origen atrae. Una gráfica sólo sugiere ambas propiedades.

Procedimiento para construir un retrato verificable

Cambios de coordenadas y campo transformado

La descripción geométrica debe sobrevivir a una elección distinta de coordenadas. Si $y=\Psi(x)$ es un difeomorfismo, una trayectoria transformada satisface

$$\dot y=D\Psi(x)f(x),\qquad x=\Psi^{-1}(y).$$

Por tanto, el nuevo campo es $g(y)=D\Psi(\Psi^{-1}(y))f(\Psi^{-1}(y))$. No basta reemplazar variables en la fórmula de $f$; el diferencial de la transformación actúa sobre los vectores. Equilibrios se transportan a equilibrios, curvas integrales a curvas integrales y el flujo cumple $\Psi\circ\varphi_t=\psi_t\circ\Psi$. Longitudes y ángulos sólo se conservan si la transformación posee la estructura métrica apropiada.

En coordenadas polares, por ejemplo, las componentes radial y angular no son simplemente las componentes cartesianas renombradas. Se obtienen proyectando sobre la base móvil o diferenciando $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. En el origen esa carta es singular; una ecuación polar regular para $r>0$ no autoriza dividir por $r$ en el equilibrio. Una comprobación consiste en regresar al campo cartesiano y verificar continuidad.

Sistemas no autónomos y variable temporal ampliada

Para $x'=f(t,x)$ no existe en general una familia $\varphi_t$ con ley de grupo dependiente sólo de la duración. Se usa un operador de evolución $\varphi(t,t_0,x_0)$ que recuerda el instante inicial y satisface una composición con tres tiempos. También puede añadirse $s'=1$ y estudiar el campo autónomo $(s',x')=(1,f(s,x))$ en un espacio de dimensión mayor.

La ampliación aclara que una solución periódicamente forzada no es una órbita cerrada en el espacio original sólo porque la entrada se repita. En el espacio extendido con fase temporal módulo del periodo, sí puede convertirse en una órbita periódica. Al dibujar proyecciones deben conservarse los instantes o la fase; dos curvas proyectadas pueden cruzarse sin violar unicidad porque corresponden a valores temporales distintos.

1. Declare variables, dominio, unidades y regularidad del campo.
2. Resuelva $f(x)=0$ y descarte raíces fuera del dominio.
3. Localice nulclinas y fronteras donde el campo cambia de dirección.
4. Calcule $Df$ en los equilibrios y marque casos no hiperbólicos.
5. Busque funciones escalares que definan regiones invariantes o monotonicidad.
6. Integre con eventos para no atravesar singularidades ni fronteras sin detectarlas.
7. Repita con pasos o tolerancias refinados y compare cantidades geométricas.
8. Dibuje sólo trayectorias representativas y conserve la orientación temporal.

Ejercicios

1. Resuelva $\dot x=x(1-x)$, determine su flujo en los intervalos invariantes y compruebe la ley de composición.
2. Para $\dot x=y$, $\dot y=-x$, construya el flujo matricial, identifique las órbitas y explique por qué no hay atracción.
3. Determine el intervalo máximo de $\dot x=1+x^2$ para un dato arbitrario y relacione sus extremos con la tangente.
4. Pruebe que el semiplano $y\ge0$ es invariante para $\dot x=-x$, $\dot y=y(1-x^2-y)$.
5. Compare los campos $f(x,y)=(-y,x)$ y $2f(x,y)$. Identifique qué información orbital se conserva y qué tiempos cambian.
6. Construya un campo suave con dos equilibrios y una frontera invariante. Justifique cada elemento antes de dibujar el retrato.
7. Integre el ejemplo espiral con Euler y RK4; mida el error en $e^tr(t)$ al dividir el paso entre dos.

El campo, sus curvas integrales y el flujo son tres representaciones del mismo problema bajo hipótesis de existencia y unicidad. La geometría permite organizar todas las soluciones a la vez, siempre que dominio, tiempo y regularidad permanezcan explícitos.