Clasificación topológica y estabilidad de Lyapunov

Dos retratos de fase pueden verse distintos y representar la misma dinámica. Basta cambiar la escala de los ejes, curvar el plano mediante una transformación invertible o reparametrizar el tiempo. También puede ocurrir lo contrario: dos dibujos casi idénticos pueden separar sus órbitas de una manera incompatible. La comparación rigurosa comienza al declarar qué transformación relaciona los espacios y qué parte del tiempo debe conservar.

Para mapas $F\colon X\to X$ y $G\colon Y\to Y$, una conjugación topológica es un homeomorfismo $h\colon X\to Y$ que satisface

$$h\circ F=G\circ h.$$

El diagrama conmuta: aplicar $F$ y después traducir con $h$ produce el mismo punto que traducir primero y aplicar $G$. Por inducción,

$$h\circ F^n=G^n\circ h,$$

de modo que la correspondencia se mantiene en cada iteración. Si $F^k(p)=p$, entonces $G^k(h(p))=h(p)$; además, la biyectividad impide que el periodo mínimo disminuya. Puntos fijos, ciclos, densidad de una órbita y estructura de recurrencia se transportan, aunque las distancias y los ángulos puedan cambiar.

Devaney utiliza la conjugación para reconocer una misma organización orbital en sistemas cuyas fórmulas son distintas; más adelante la combina con dinámica simbólica y estabilidad estructural. El procedimiento consiste en construir el homeomorfismo y verificar que conmuta con la dinámica. Devaney, 2022 Robert L. Devaney (2022) An Introduction to Chaotic Dynamical Systems 3.ª ed. · CRC Press Ubicación consultada: caps. 6–9, conjugación y estabilidad estructural

Equivalencias de flujo y parametrización temporal

Sean $\varphi_t$ y $\psi_t$ dos flujos. Una conjugación que conserva el tiempo exige

$$h\!\left(\varphi_t(x)\right)=\psi_t\!\left(h(x)\right) \qquad\text{para todo }t.$$

Cada punto de una órbita corresponde al punto alcanzado en el mismo instante. Una equivalencia orbital es menos rígida: permite reparametrizar el tiempo mediante una función continua y estrictamente creciente $\theta(t,x)$. Conserva las curvas orientadas del retrato, pero puede modificar velocidades y periodos. Por ello, decir que dos sistemas son «equivalentes» sin nombrar la relación deja abierta una cuestión matemática esencial.

Si multiplicamos un campo $f(x)$ por una función positiva $a(x)$, las curvas integrales mantienen su orientación, pero se recorren con otra rapidez. Los campos $\dot x=f(x)$ y $\dot x=a(x)f(x)$ son candidatos naturales a equivalencia orbital; no tienen por qué ser conjugados con la misma parametrización temporal. Si $a$ cambia de signo, incluso la orientación puede invertirse.

Transformación del campo por cambio de coordenadas

Supongamos que $y=h(x)$ es un difeomorfismo y que $\dot x=f(x)$. La regla de la cadena da

$$\dot y=Dh(x)f(x) =Dh\!\left(h^{-1}(y)\right)f\!\left(h^{-1}(y)\right).$$

No basta con sustituir puntos en una imagen: el jacobiano $Dh$ transforma también las direcciones del campo. Si $h(x)=Px$ con $P$ invertible y $\dot x=Ax$, entonces

$$\dot y=PAP^{-1}y.$$

Las matrices $A$ y $PAP^{-1}$ son similares, así que conservan autovalores, multiplicidades y tipo hiperbólico. En cambio, un $P$ no ortogonal puede alterar ángulos, longitudes y la forma euclidiana de las órbitas.

Una proyección $\pi\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ no es invertible: muchos puntos pueden compartir imagen. Por eso una trayectoria espacial puede cruzarse consigo misma en una proyección sin violar unicidad. La proyección es una herramienta visual, no una conjugación del espacio de fases completo.

Conjugación de flujos exponenciales

Comparemos

$$\dot x=-x, \qquad \dot y=-2y.$$

Sus flujos son $\varphi_t(x)=e^{-t}x$ y $\psi_t(y)=e^{-2t}y$. Buscamos $h$ tal que $h(e^{-t}x)=e^{-2t}h(x)$. La elección

$$h(x)=\operatorname{sgn}(x)|x|^2=x|x|$$

funciona porque

$$h(e^{-t}x)=e^{-t}x\,|e^{-t}x| =e^{-2t}x|x|=\psi_t(h(x)).$$

La función es continua, estrictamente creciente y sobreyectiva. Su inversa

$$h^{-1}(y)=\operatorname{sgn}(y)\sqrt{|y|}$$

también es continua. Tenemos una conjugación topológica que conserva el tiempo. Sin embargo, $h^{-1}$ no es diferenciable en el origen; por tanto no hemos probado equivalencia suave. Este ejemplo muestra con precisión qué se gana y qué no: ambas ecuaciones tienen un sumidero con dos semiejes invariantes, pero la transformación puede deformar las tasas vistas en la coordenada.

También podemos conservar las coordenadas y reparametrizar el tiempo: $\dot x=-x$ y $\dot x=-2x$ recorren las mismas semirrectas orientadas, aunque con $t\mapsto2t$. Ésa es una equivalencia orbital inmediata. La primera construcción, más fuerte, encuentra además un homeomorfismo espacial que sincroniza los tiempos.

Invariantes bajo conjugación

Si $A$ es invariante para $F$, entonces $h(A)$ lo es para $G$:

$$G(h(A))=h(F(A))=h(A).$$

La misma idea transporta conjuntos $\alpha$ y $\omega$, estabilidad de Lyapunov y estructura de cuencas. La compacidad se conserva porque la imagen continua de un compacto es compacta. Con una conjugación temporal de flujos, el periodo de una órbita periódica se conserva; bajo equivalencia orbital puede cambiar.

No son invariantes topológicos la curvatura, la divergencia, el volumen euclidiano ni el valor numérico de una distancia. Los exponentes de Lyapunov requieren aún más cuidado: bajo cambios suaves con derivadas controladas suelen conservar el signo asintótico, pero una equivalencia topológica arbitraria no preserva necesariamente su valor. Una tabla útil debe separar propiedades topológicas, suaves, métricas y temporales en lugar de mezclarlas bajo la palabra «forma».

Codificación simbólica y homeomorfismo fractal

Una conjugación también puede construirse mediante direcciones, no con una fórmula cerrada. Consideremos dos sistemas de funciones iteradas con el mismo número de contracciones,

$$\mathcal F=\{f_1,\ldots,f_m\}, \qquad \mathcal G=\{g_1,\ldots,g_m\},$$

y sus atractores compactos $K_{\mathcal F}$ y $K_{\mathcal G}$. Una sucesión infinita $\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\ldots)$ funciona como dirección. Para un punto inicial cualquiera $x_0$, la contracción hace existir el límite

$$\pi_{\mathcal F}(\sigma)= \lim_{n\to\infty} f_{\sigma_1}\circ\cdots\circ f_{\sigma_n}(x_0),$$

que no depende de $x_0$. La aplicación $\pi_{\mathcal F}$ traduce direcciones simbólicas a puntos del atractor; $\pi_{\mathcal G}$ hace lo mismo en el otro sistema.

Si cada punto posee una dirección única, puede definirse

$$h=\pi_{\mathcal G}\circ\pi_{\mathcal F}^{-1}.$$

Cuando hay solapamientos, una misma posición puede tener varias direcciones y la inversa anterior deja de ser una función. En ese caso hace falta comprobar la compatibilidad: dos direcciones que representan el mismo punto en $K_{\mathcal F}$ deben representar también el mismo punto en $K_{\mathcal G}$. Esta condición de identificación es la parte delicada; no se resuelve emparejando puntos por proximidad visual. Barnsley formula los homeomorfismos fractales mediante códigos, particiones y tops precisamente para controlar esas ambigüedades Barnsley, 2006 Michael F. Barnsley (2006) SuperFractals Cambridge University Press Ubicación consultada: §4.14, pp. 357–365; §5.10, pp. 403–407 .

Como ejemplo sin solapamientos interiores, las contracciones $f_0(x)=x/3$ y $f_1(x)=(x+2)/3$ generan el conjunto de Cantor. Si $h$ incrusta ese conjunto como una curva ondulada y se define $g_i=h\circ f_i\circ h^{-1}$, entonces

$$h(f_i(x))=g_i(h(x)).$$

Una dirección como $01101\ldots$ selecciona puntos correspondientes en ambos atractores. El número real de una distancia puede cambiar, pero ser punto fijo de una composición, compartir un prefijo simbólico o pertenecer a una pieza cilíndrica sí se transporta. Para aproximar $h$ numéricamente se truncan las direcciones a longitud $n$ y se verifica que los emparejamientos se estabilicen al aumentar $n$.

El manual de soluciones de Falconer se utiliza aquí sólo como control posterior del razonamiento sobre autosimilitud e IFS; la construcción y la verificación de la conjugación deben realizarse antes de consultarlo Falconer, 2014 Kenneth Falconer (2014) Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications — Solutions to Exercises Material complementario de la 3.ª ed. · John Wiley & Sons Ubicación consultada: soluciones de ejercicios sobre autosimilitud y sistemas iterados de funciones .

Hiperbolicidad y forma local

Un equilibrio $p$ es hiperbólico cuando ningún autovalor de $Df(p)$ tiene parte real cero. El teorema de Hartman–Grobman afirma que, en un vecindario de $p$, el flujo no lineal es topológicamente conjugado a su linealización

$$\dot\xi=Df(p)\xi.$$

La conjugación es local y topológica: no promete igualdad de velocidades, una fórmula diferenciable para $h$ ni información sobre conexiones lejanas. Hirsch, Smale y Devaney presentan primero la clasificación lineal y después estudian equilibrio, estabilidad y bifurcación; esa secuencia aclara por qué los autovalores separan los casos persistentes de los casos frontera. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 4 y 8, pp. 61–72 y 159–186

Cuando un autovalor tiene parte real cero, la linealización puede ser inconclusa. Por ejemplo, $\dot x=x^3$ y $\dot x=-x^3$ tienen la misma derivada nula en el origen, pero el primero repele y el segundo atrae. Allí hacen falta términos no lineales, variedades centrales o formas normales. Guckenheimer y Holmes desarrollan precisamente la reducción y las formas normales que describen cómo cambia la dinámica cerca de esas degeneraciones. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 3, variedades centrales y formas normales

Estabilidad de Lyapunov y derivada de Lie

La equivalencia topológica clasifica retratos; la estabilidad de Lyapunov responde otra pregunta: qué ocurre con todas las soluciones que parten suficientemente cerca de una solución o conjunto invariante dado. Un equilibrio $p$ es estable si para cada vecindad $U$ de $p$ existe otra vecindad $V$ tal que $x_0\in V$ implica $\varphi_t(x_0)\in U$ para todo $t\ge 0$. Es asintóticamente estable si, además, existe una vecindad desde la cual $\varphi_t(x_0)\to p$. La atracción sin estabilidad no basta: una trayectoria puede alejarse primero una distancia macroscópica y regresar después.

Una función $V$ definida cerca de $p$ es positiva definida cuando $V(p)=0$ y $V(x)>0$ para $x\ne p$. Su cambio a lo largo del campo $X=f\cdot\nabla$ es la derivada de Lie

$$\mathcal L_XV(x)=DV(x)f(x)=\nabla V(x)\cdot f(x).$$

Si $\mathcal L_XV\le 0$, los subniveles compactos de $V$ contenidos en el dominio son positivamente invariantes y proporcionan estabilidad. Si $\mathcal L_XV<0$ fuera de $p$, se obtiene estabilidad asintótica. Cuando la derivada es sólo semidefinida, el principio de invariancia obliga a identificar el mayor conjunto invariante contenido en $\{\mathcal L_XV=0\}$; omitir ese paso puede convertir una oscilación conservativa en una falsa conclusión de convergencia.

Considere $\dot x=-x+y$, $\dot y=-x-y$ y $V=(x^2+y^2)/2$. Entonces

$$\mathcal L_XV=x(-x+y)+y(-x-y)=-(x^2+y^2)=-2V.$$

Por integración, $V(t)=V(0)e^{-2t}$ y $\lVert(x(t),y(t))\rVert=e^{-t}\lVert(x_0,y_0)\rVert$. La misma cuenta demuestra estabilidad asintótica y ofrece una tasa explícita; la clasificación topológica sólo habría identificado un foco atractor. Para una matriz estable $A$, la ecuación de Lyapunov $A^TP+PA=-Q$, con $Q$ positiva definida, produce $V=x^TPx$ y separa la existencia del certificado de la elección gráfica de coordenadas. Jaurez y colaboradores desarrollan esta combinación de clasificación y estabilidad en el capítulo final del tomo I. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I Papirhos Textos 13 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 6, clasificación topológica y estabilidad de Lyapunov Abrir fuente

Un procedimiento reproducible consiste en: fijar el conjunto cuya estabilidad se estudia; proponer $V$ con dominio y regularidad declarados; verificar positividad mediante menores principales o cotas; calcular $\mathcal L_XV$ sin sustituir trayectorias numéricas; construir un subnivel compacto que no abandone el dominio; y, si la derivada es semidefinida, resolver la condición de invariancia. La conclusión siempre debe distinguir estabilidad, atracción, estabilidad asintótica y estabilidad exponencial.

Estabilidad estructural entre sistemas cercanos

Una conjugación compara dos sistemas dados. La estabilidad estructural pregunta algo adicional: si perturbamos ligeramente el campo o el mapa, ¿el nuevo sistema sigue siendo topológicamente equivalente al original? La respuesta depende de la clase de perturbaciones, la topología usada para medir cercanía y la región estudiada.

Los equilibrios hiperbólicos persisten porque sus autovalores no pueden cruzar el eje imaginario bajo una perturbación suficientemente pequeña. Un equilibrio no hiperbólico puede crearse, desaparecer o cambiar estabilidad. En dimensión dos, una conexión exacta entre sillas también puede romperse, mientras una intersección transversal tiende a persistir. Así, hiperbolicidad y transversalidad aparecen como mecanismos diferentes de robustez local y global.

No debe confundirse esta propiedad con resistencia numérica. Que dos integradores produzcan dibujos parecidos al refinar apoya convergencia computacional; que todos los campos próximos sean conjugados es una afirmación matemática sobre una vecindad en el espacio de sistemas. La primera puede explorarse con simulaciones; la segunda requiere hipótesis y teoremas de persistencia.

La comparación exige identificar la relación exacta entre los sistemas, comprobar la transformación y declarar qué invariantes transporta.