Existencia, unicidad y ecuación variacional

Antes de estudiar el retrato de una ecuación hay que saber que las trayectorias existen, que un dato inicial determina una sola de ellas y que pequeños cambios de los datos no destruyen de inmediato la predicción. Para

$$\dot x=f(t,x),\qquad x(t_0)=x_0,$$

estas propiedades no vienen incluidas en la notación. Continuidad de $f$ puede dar existencia sin unicidad; una condición local de Lipschitz respecto de $x$ asegura ambas. La regularidad también determina si el flujo admite derivadas respecto del dato inicial, objeto que después se convierte en la ecuación variacional.

El capítulo 8 del tomo II organiza esta cadena desde el problema local hasta la primera variación. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 8, existencia, dependencia diferenciable y ecuación variacional Abrir fuente

Formulación integral del problema inicial

Una función continua $x$ resuelve la EDO si y sólo si satisface

$$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds.$$

La equivalencia se obtiene integrando la ecuación y, en sentido inverso, aplicando el teorema fundamental del cálculo. Esta forma integral permite trabajar en el espacio de funciones continuas y comparar dos candidatas sin presuponer sus derivadas. En un rectángulo cerrado alrededor de $(t_0,x_0)$, continuidad proporciona una cota $M$ para el campo. Elegir un intervalo temporal de radio menor que la distancia espacial disponible dividida por $M$ impide que una iteración abandone el rectángulo.

La escala temporal obtenida así es suficiente, no óptima. Un campo acotado en una caja pequeña puede tener soluciones mucho más largas; el teorema local sólo promete un intervalo controlado por información local. Informar esa diferencia evita presentar una cota conservadora como tiempo real de existencia.

Picard–Lindelöf por contracción

En el espacio completo de curvas continuas que permanecen en la caja, defina

$$(Tx)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds.$$

Si $f$ es Lipschitz en $x$ con constante $L$, entonces

$$\lVert Tx-Ty\rVert_\infty \le Lh\lVert x-y\rVert_\infty.$$

Al tomar $h$ de modo que $Lh<1$, $T$ es contracción. Banach proporciona un único punto fijo y las iteraciones de Picard convergen hacia él. La prueba explica a la vez existencia, unicidad y un procedimiento aproximante. Sin embargo, no es un algoritmo competitivo en todos los problemas: cada iteración contiene integrales de funciones crecientemente complejas y la estimación puede deteriorarse en intervalos largos.

La hipótesis Lipschitz puede verificarse con una cota de $D_xf$ si el campo es continuamente diferenciable. Es una propiedad local en una región declarada. Usar una constante global inexistente puede descartar un problema bien planteado localmente; suponer Lipschitz sólo porque el campo es continuo puede producir una falsa unicidad.

Existencia sin unicidad

La ecuación escalar

$$\dot x=3|x|^{2/3},\qquad x(0)=0,$$

tiene la solución nula, pero también soluciones que permanecen en cero hasta un tiempo $a\ge0$ y luego siguen $x(t)=(t-a)^3$ para $t\ge a$. El campo es continuo y no es localmente Lipschitz en cero. Las curvas pueden separarse después de compartir el mismo dato.

El ejemplo delimita qué usa cada conclusión. Peano asegura al menos una solución bajo continuidad; Picard–Lindelöf añade unicidad mediante Lipschitz. Una visualización de un integrador elegirá alguna rama según redondeo y método, pero esa selección numérica no resuelve la indeterminación matemática. En un modelo, la falta de unicidad puede señalar una ley constitutiva demasiado irregular o la necesidad de una regla adicional.

Prolongación y alternativa de escape

Una solución local única posee un intervalo máximo $(\alpha,\beta)$. Si $\beta$ es finito y la trayectoria permanece en un compacto contenido en el dominio del campo, puede reiniciarse cerca de su límite y prolongarse, contradiciendo maximalidad. Por tanto, al aproximarse a un extremo finito, la solución debe abandonar todo compacto del dominio: puede divergir o acercarse a la frontera donde el campo deja de estar definido.

Para $x'=x^2$, la solución positiva explota en tiempo finito. Para un campo globalmente Lipschitz, una estimación de Grönwall impide ese crecimiento y garantiza existencia global. Una condición de crecimiento lineal,

$$\lVert f(t,x)\rVert\le a(t)+b(t)\lVert x\rVert,$$

con coeficientes integrables en intervalos finitos, también permite prolongar. Que $f$ sea polinómico no basta: los términos superlineales pueden causar explosión.

Dependencia continua mediante Grönwall

Sean $x$ y $y$ soluciones con datos $x_0,y_0$ dentro de una región Lipschitz. Restando sus formas integrales,

$$\lVert x(t)-y(t)\rVert \le \lVert x_0-y_0\rVert+ L\int_{t_0}^{t}\lVert x(s)-y(s)\rVert ds.$$

El lema de Grönwall produce

$$\lVert x(t)-y(t)\rVert \le e^{L|t-t_0|}\lVert x_0-y_0\rVert.$$

La cota demuestra continuidad del flujo respecto del dato. No afirma que toda perturbación crezca realmente a tasa $L$; $L$ es una cota uniforme y puede ser muy conservadora. Tampoco ofrece control ilimitado si la región Lipschitz se abandona. La dependencia continua es una propiedad para horizontes finitos dentro de un dominio compartido, compatible incluso con sensibilidad exponencial a tiempos grandes.

Si también cambia el campo, aparece un término que integra la diferencia entre $f$ y $g$. Esta versión sustenta la continuidad respecto de parámetros y la comparación entre un modelo y una aproximación.

Dependencia diferenciable y ecuación variacional

Suponga que $f$ es $C^1$ en $x$ y denote el flujo por $\varphi(t,t_0,x_0)$. La derivada

$$Y(t)=D_{x_0}\varphi(t,t_0,x_0)$$

satisface

$$\dot Y=D_xf(t,x(t))Y, \qquad Y(t_0)=I.$$

Ésta es la ecuación variacional. Se deriva tomando un dato perturbado $x_0+\varepsilon v$, restando soluciones, dividiendo por $\varepsilon$ y controlando el residuo de Taylor. El vector $Y(t)v$ es la primera aproximación a la perturbación finita. Su validez exige que $\varepsilon$ sea pequeño y ambas trayectorias permanezcan en la región regular; no autoriza extrapolar linealmente a separaciones macroscópicas.

La matriz $Y$ también obedece una ley de cociclo: derivadas sobre intervalos sucesivos se multiplican. Esta propiedad permite calcular monodromía a lo largo de una órbita periódica y exponentes de crecimiento sobre trayectorias largas.

Sensibilidad respecto de parámetros

Para $x'=f(t,x,\mu)$, la sensibilidad $S=\partial x/\partial\mu$ resuelve una ecuación no homogénea:

$$\dot S=D_xf(t,x,\mu)S+D_\mu f(t,x,\mu), \qquad S(t_0)=\frac{\partial x_0}{\partial\mu}.$$

El primer término transporta perturbaciones ya acumuladas; el segundo inyecta la influencia directa del parámetro. Si el dato inicial no depende de $\mu$, la condición inicial es cero. Integrar esta ecuación junto con el estado suele ser más preciso que restar dos simulaciones casi iguales, donde cancelación y elección del incremento interfieren.

Las sensibilidades son locales en el parámetro. En una bifurcación pueden crecer o dejar de describir el cambio cualitativo. Un intervalo de confianza lineal basado en $S$ debe comprobarse con perturbaciones de varios tamaños y signos.

Ejemplo trabajado: flujo logístico y primera variación

Considere $x'=rx(1-x/K)$ con $0<x_0<K$. La solución es

$$x(t)=\frac{K}{1+c e^{-rt}}, \qquad c=\frac{K-x_0}{x_0}.$$

La ecuación variacional escalar es

$$Y'=r\left(1-\frac{2x(t)}K\right)Y, \qquad Y(0)=1.$$

Derivando la solución explícita respecto de $x_0$ se obtiene

$$Y(t)=\frac{K^2e^{-rt}} {x_0^2(1+ce^{-rt})^2}.$$

En $t=0$ vale uno y satisface la ecuación lineal. Al principio puede crecer o decrecer según la posición respecto de $K/2$; a largo plazo tiende a cero porque todos los datos interiores convergen al mismo equilibrio. La sensibilidad respecto de $r$ puede crecer durante la transición y luego disminuir en el estado saturado. Este contraste muestra por qué una sola tasa asintótica no describe todo el horizonte.

Verificación numérica de la variación

Integre estado y matriz variacional como un sistema aumentado. Para comprobar, elija una dirección $v$ de norma uno y calcule

$$E(\varepsilon,t)= \frac{\lVert\varphi_t(x_0+\varepsilon v)- \varphi_t(x_0)-\varepsilon Y(t)v\rVert}{\varepsilon}.$$

En régimen diferenciable, $E$ debe tender a cero al disminuir $\varepsilon$ hasta que redondeo y error del integrador dominen. Repita con pasos refinados. Comparar sólo dos perturbaciones no distingue truncamiento lineal de error numérico.

También se controla el residuo $Y'-D_xf(x(t))Y$, el determinante frente a Liouville y, si hay solución explícita, una columna de $Y$ frente a la derivada analítica. Registre norma, dirección y unidades de cada perturbación.

Procedimiento de análisis bien planteado

1. Delimite una caja alrededor del dato y compruebe continuidad del campo.
2. Establezca Lipschitz local mediante una cota del jacobiano o una desigualdad directa.
3. Construya el operador integral y el intervalo donde es contracción.
4. Determine la alternativa de prolongación y posibles fronteras del dominio.
5. Use Grönwall para comparar datos, parámetros o campos.
6. Si $f$ es $C^1$, derive e integre la ecuación variacional.
7. Valide la primera variación con diferencias finitas de varios tamaños.
8. Limite las conclusiones al dominio y horizonte efectivamente controlados.

Ejercicios

1. Ejecute tres iteraciones de Picard para $x'=t+x$, $x(0)=0$, y compare con la solución exacta.
2. Determine dónde $f(x)=|x|^\alpha$ es localmente Lipschitz y clasifique unicidad desde el origen según $\alpha$.
3. Pruebe existencia global para un campo con crecimiento lineal usando una desigualdad de Grönwall.
4. Derive la ecuación variacional de Van der Pol y escriba el sistema aumentado completo.
5. Calcule sensibilidad respecto de $r$ y $K$ en el modelo logístico y compruébela con diferencias centradas.
6. Para $x'=x^2$, relacione el tiempo máximo con el dato y calcule su sensibilidad.
7. Integre una matriz variacional planar y contraste su determinante con la integral de la divergencia.

Existencia y unicidad sostienen la noción de trayectoria; dependencia continua sostiene la predicción finita; diferenciabilidad convierte la perturbación en una ecuación lineal transportada por la órbita. Cada nivel añade hipótesis y una clase distinta de conclusiones comprobables.