Órbitas periódicas, Poincaré y Floquet

Una sección de Poincaré conserva los retornos y descarta el movimiento entre ellos. Se elige una superficie transversal $\Sigma$ y se registra cada cruce en una orientación fija. Si una trayectoria que parte de $\mathbf{x}_n\in\Sigma$ vuelve a la sección, el siguiente punto define

$$\mathbf{x}_{n+1}=P(\mathbf{x}_n).$$

Esta reducción elimina una dimensión y convierte una órbita periódica en un punto fijo de $P$. Pero el mapa puede no estar definido en toda la sección: algunas trayectorias no regresan, chocan con una frontera o tardan indefinidamente. Guckenheimer y Holmes introducen el mapa junto con flujos, órbitas periódicas y equivalencia; así se mantiene visible que $P$ hereda su dominio y regularidad del flujo. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 1, mapas de Poincaré y órbitas periódicas

Para un sistema lineal periódico $\dot{\boldsymbol\eta}=A(t)\boldsymbol\eta$, $A(t+T)=A(t)$, la matriz fundamental satisface $\Phi(t+T)=\Phi(t)M$. En general, $M=\Phi(0)^{-1}\Phi(T)$; con la normalización habitual $\Phi(0)=I$, queda $M=\Phi(T)$. Esta es la matriz de monodromía y sus valores propios son multiplicadores de Floquet. Una órbita periódica es transversalmente estable si los multiplicadores no triviales tienen módulo menor que uno. En un flujo autónomo aparece un multiplicador trivial igual a uno por el desplazamiento temporal sobre la propia órbita.

Más precisamente, si $x_\star(t)$ es una solución $T$-periódica de $\dot x=f(x)$, una perturbación pequeña satisface la ecuación variacional

$$\dot\eta=Df(x_\star(t))\eta.$$

Integrar simultáneamente $\dot\Phi=Df(x_\star(t))\Phi$, $\Phi(0)=I$, produce $M=\Phi(T)$. El vector $\dot x_\star(0)$ genera el multiplicador $1$: desplazar la fase de la misma órbita no cambia la solución periódica. Los demás multiplicadores describen perturbaciones transversales.

La forma normal radial de Hopf permite calcular un mapa de retorno explícito después de un giro completo. El punto donde $P(r)$ corta la diagonal es el radio periódico y la derivada de $P$ allí coincide con el multiplicador transversal. El segundo panel muestra cómo ese multiplicador disminuye al aumentar $\mu$ en el modelo normal.

Puntos de retorno y órbitas periódicas

Si $q\in\Sigma$ es punto fijo de $P$, la trayectoria que sale de $q$ regresa al mismo estado después del tiempo de retorno $\tau(q)$; por unicidad, la órbita es periódica. Un ciclo de periodo $k$ del mapa corresponde a una órbita que necesita $k$ cruces antes de repetir el punto bajo la regla escogida. Cambiar la sección puede cambiar las coordenadas y el número de cruces registrados, pero no la órbita subyacente.

La derivada $DP(q)$ es el objeto transversal equivalente a la monodromía sin la dirección neutral. En un flujo tridimensional, una sección bidimensional produce dos multiplicadores transversales. Si ambos tienen módulo menor que uno, el punto fijo atrae en la sección. Si uno cruza $-1$, suele aparecer una duplicación de periodo; si cruza $+1$, puede producirse una silla-nodo o una ruptura de simetría; un par complejo cruzando el círculo unidad conduce a una bifurcación de Neimark–Sacker del mapa.

Hoppensteadt coloca el mapa de Poincaré junto con estabilidad y variedades porque reduce una pregunta continua a iteraciones sin perder la geometría transversal. Hoppensteadt, 2000 Frank C. Hoppensteadt (2000) Analysis and Simulation of Chaotic Systems 2.ª ed. · Springer Ubicación consultada: cap. 3, pp. 91–120

Primer retorno, recurrencia y ergodicidad

El primer retorno es una construcción geométrica: desde un punto de la sección se sigue el flujo hasta el siguiente cruce. La recurrencia de Poincaré es una afirmación de medida: en un sistema que conserva una medida finita, casi todo punto regresa arbitrariamente cerca de su inicio. La ergodicidad añade otra propiedad: para una medida invariante concreta, los promedios temporales de casi toda órbita coinciden con el promedio espacial. Ninguna de estas afirmaciones implica por sí sola mezcla rápida, un tiempo de retorno corto o predictibilidad punto a punto.

Ghys presenta el paso del flujo al primer retorno y, más adelante, la elección de una medida física para interpretar estadísticas del atractor de Lorenz. La precisión «para casi todo punto respecto de una medida» es esencial: un retrato con muchos cruces no establece qué medida se está muestreando ni que todas las condiciones iniciales compartan las mismas frecuencias. Duplantier, 2013 Bertrand Duplantier, Stéphane Nonnenmacher y Vincent Rivasseau, editores (2013) Chaos: Poincaré Seminar 2010 Springer Basel Ubicación consultada: Ghys, §§3.1–3.2 y 7.1–7.2, pp. 6–11 y 40–45 Abrir fuente

La rotación del círculo separa los conceptos sin recurrir a una simulación complicada:

$$P_\alpha(\theta)=\theta+\alpha\pmod 1.$$

Si $\alpha$ es irracional, toda órbita regresa cerca de su inicio y recorre el círculo de manera equidistribuida. Para una función continua $u$,

$$\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}u(P_\alpha^n\theta_0) \longrightarrow \int_0^1u(\theta)\,d\theta.$$

En particular, para $u(\theta)=\cos(2\pi\theta)$ el promedio tiende a cero. La rotación es ergódica —de hecho, únicamente ergódica— respecto de la longitud, pero no mezcla: dos arcos conservan su separación relativa bajo cada giro.

Si $\alpha=p/q$ es racional, todas las órbitas son periódicas y, por tanto, recurrentes. Sin embargo, la transformación no es ergódica respecto de la longitud. El observable $u(\theta)=\cos(2\pi q\theta)$ permanece constante a lo largo de cada órbita, de modo que su promedio depende de $\theta_0$. Así, retorno repetido no equivale a que una trayectoria represente toda la distribución del espacio.

En la figura de la sección de Lorenz, la nube registra una órbita, una orientación y un plano. Puede estimar frecuencias de visita cuando se descarta el transitorio, se acumulan suficientes retornos y la condición inicial pertenece a la cuenca de una medida física. El alcance correcto es estadístico: medias de observables, distribuciones de tiempos de retorno y ocupación de regiones. La misma nube no demuestra ergodicidad global, y menos aún que cualquier estado inicial produzca esas frecuencias.

Coeficiente periódico escalar

Sea $\dot\eta=a(t)\eta$, con $a(t+T)=a(t)$. La solución en un periodo es

$$\eta(T)=\eta(0)\exp\left(\int_0^T a(s)\,ds\right).$$

El multiplicador es $\mu_F=\exp(\int_0^T a(s)ds)$. Si el promedio de $a$ es negativo, $|\mu_F|<1$ y la perturbación se contrae de periodo en periodo. La variación interna de $a(t)$ importa para la forma dentro del periodo, pero la estabilidad escalar queda determinada por su integral.

Para $a(t)=-1+2\cos t$ y $T=2\pi$,

$$\int_0^{2\pi}(-1+2\cos t)\,dt=-2\pi, \qquad \mu_F=e^{-2\pi}<1.$$

Aunque $a(t)$ es positivo durante parte de cada periodo, la contracción acumulada domina. La estabilidad de Floquet es una propiedad de la evolución completa en un ciclo, no del signo instantáneo del coeficiente.

Retorno radial en la forma normal de Hopf

Para $\dot r=\mu r-r^3$, $\dot\phi=1$ y $\mu>0$, el ciclo tiene $r_\star=\sqrt\mu$ y periodo $T=2\pi$. Linealizando la ecuación radial alrededor de $r_\star$,

$$\dot\eta=(\mu-3r_\star^2)\eta=-2\mu\eta.$$

Después de una vuelta,

$$\eta(T)=e^{-2\mu T}\eta(0), \qquad \mu_F=e^{-4\pi\mu}.$$

El multiplicador está entre $0$ y $1$ y decrece al aumentar $\mu$: el retorno radial contrae. Ésta es la cantidad dibujada en el panel de Floquet. El resultado vale para la forma normal; en otro oscilador se integra la ecuación variacional o se estima la pendiente del mapa de retorno cerca del punto fijo.

La interpretación de una nube declara plano, orientación y tiempos entre retornos. Si la trayectoria roza la sección, pequeños errores pueden producir cruces espurios. En una gráfica de multiplicadores, el círculo unidad es la referencia; cruzarlo indica un cambio de estabilidad, y el tipo requiere reconocer por dónde ocurre el cruce.

Localización de cruces independiente de la malla

En Bifurcación o la vista de sección, selecciona Lorenz clásico, RK4, $dt=0.01$, tiempo $200$ y transitorio $30$. Define el plano $z=27$ y conserva solo cruces con $\dot z>0$. Grafica los puntos en coordenadas $(x,y)$ y registra el tiempo entre cruces.

Luego usa Duffing–Ueda con los parámetros estudiados en osciladores no lineales y toma una muestra cada periodo $T=2\pi/\omega$. Compara $\gamma=0.2$ y $0.3$. Nombra el periodo después de contrastar la sección con la serie temporal. Reduce $dt$ y confirma la estabilidad de la posición de los puntos.

Para el plano $g(x)=z-27=0$, un cruce positivo ocurre si $g_n<0$, $g_{n+1}\ge0$ y $\dot g>0$. La aproximación lineal al tiempo de evento es

$$t_c=t_n-\frac{g_n}{g_{n+1}-g_n}h.$$

Interpola también $x$ e $y$ en $t_c$. Un integrador con detección de eventos puede usar interpolación de orden mayor, pero la regla debe declararse. Repite con medio paso: si la nube cambia más que la precisión relevante, la sección todavía depende de la discretización.

Los tiempos de retorno aportan información que la nube geométrica pierde. Una órbita periódica produce un patrón repetido; una nube compacta con tiempos muy variables puede corresponder a dinámica compleja o a una sección mal condicionada. Strogatz conecta mapas, ciclos y bifurcaciones de osciladores, mientras Hirsch, Smale y Devaney sitúan las órbitas cerradas en la dinámica global del plano. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 7–8, pp. 198–308 Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 10, pp. 213–232

Monodromía y criterio de Andrónov–Vitt

La matriz de monodromía depende del punto elegido sobre el ciclo, pero matrices obtenidas desde puntos distintos son similares y tienen el mismo espectro. En un sistema autónomo siempre aparece la solución variacional tangente $\dot x_\star(t)$; por ello, $1$ es un multiplicador. La estabilidad orbital no debe exigir contracción en esa dirección: desplazar la fase conduce a la misma órbita. Los multiplicadores restantes describen el efecto de una vuelta sobre perturbaciones transversales y coinciden con los valores propios de la derivada del retorno, contando multiplicidades bajo las hipótesis regulares.

El criterio asociado a Andrónov y Vitt establece, en su forma hiperbólica habitual, que una órbita periódica es orbitalmente asintóticamente estable cuando todos los multiplicadores no triviales tienen módulo menor que uno. Si alguno tiene módulo mayor que uno, la órbita es inestable. El caso de módulo uno queda fuera del criterio lineal y requiere términos no lineales, simetrías o parámetros adicionales. En dimensión dos hay un único multiplicador transversal. La fórmula de Liouville da

$$\mu_\perp=\exp\!\left(\int_0^T \operatorname{div}f(x_\star(t))\,dt\right),$$

porque el determinante de la monodromía es el producto del multiplicador tangente $1$ y el transversal. Si la divergencia promedio es negativa, el ciclo planar atrae transversalmente; si es positiva, repele. Esta conclusión exige conocer una órbita periódica regular y su periodo, no sólo una curva numérica casi cerrada.

Para verificar un ciclo calculado, se integra simultáneamente $\dot x=f(x)$ y $\dot\Phi=Df(x(t))\Phi$, con $\Phi(0)=I$. Después se corrigen periodo y condición inicial mediante una condición de fase, se evalúa el defecto $\lVert x(T)-x(0)\rVert$, y sólo entonces se diagonaliza $\Phi(T)$. También puede construirse una sección transversal y estimarse $DP$ por diferencias centradas; ambos métodos deben concordar salvo la dirección neutral. El tomo II de Jaurez y colaboradores organiza esta cadena entre periodicidad, retorno y monodromía. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 9, teoría de Poincaré, monodromía y estabilidad de órbitas periódicas Abrir fuente

Hipótesis del mapa de retorno

La sección debe ser transversal al campo, el tiempo de retorno debe ser finito y diferenciable en una vecindad del punto fijo, y las trayectorias consideradas han de regresar por el mismo lado. Si una órbita roza la sección, escapa o cruza otra rama antes del retorno elegido, la aplicación deja de representar el ciclo con la regularidad requerida.

La sección de Poincaré es útil porque condensa, no porque simplifique sin costo. Hay que conservar la orientación, el dominio de retorno y el tiempo entre cruces. Floquet completa la reducción al medir cómo una perturbación transversal se transforma después de un ciclo entero.