Ecuaciones lineales autónomas en R y aplicaciones

La ecuación lineal autónoma homogénea más sencilla,

$$\dot x=ax,$$

ya contiene las ideas de flujo, estabilidad, escala temporal y lectura dimensional. Separando variables para $x\ne0$ se obtiene $d(\log|x|)/dt=a$, y por continuidad la solución que incluye $x_0=0$ es

$$x(t)=e^{at}x_0.$$

La exponencial surge de la ley de composición $e^{a(t+s)}=e^{at}e^{as}$ y, por tanto, de la estructura de flujo autónomo. El parámetro $a$ tiene dimensión de tiempo inverso. Su signo decide la orientación dinámica y su magnitud fija la escala $\tau=1/|a|$. Jaurez y colaboradores utilizan este caso para conectar ecuaciones lineales, aplicaciones y clasificación sobre la recta. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales I Papirhos Textos 13 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 2, ecuaciones lineales autónomas homogéneas en R Abrir fuente

Clasificación completa por el signo de la tasa

Si $a<0$, toda solución converge al origen cuando $t\to\infty$ y el equilibrio es globalmente asintóticamente estable. Si $a>0$, cualquier dato no nulo se aleja y el origen es inestable. Si $a=0$, cada punto es equilibrio: el origen es estable, pero no atrae a sus vecinos. Esta tricotomía muestra por qué «autovalor no positivo» no equivale a estabilidad asintótica; el caso cero necesita información adicional.

La recta se divide en los conjuntos invariantes $(-\infty,0)$, $\{0\}$ y $(0,\infty)$. Una solución no cambia de signo porque $e^{at}>0$. Para $a\ne0$ las órbitas como conjuntos son las dos semirrectas y el origen; cambiar $|a|$ sólo reparametriza el tiempo, mientras cambiar el signo invierte la orientación. Por eso $\dot x=x$ y $\dot x=3x$ son orbitalmente equivalentes hacia adelante, pero $\dot x=x$ y $\dot x=-x$ no conservan la orientación temporal.

Tiempo de duplicación, semivida y unidades

Cuando $a>0$, el tiempo de duplicación satisface $e^{aT_2}=2$:

$$T_2=\frac{\log2}{a}.$$

Para $a=-k<0$, la semivida es $T_{1/2}=\log2/k$. Estas expresiones son más interpretables que el valor bruto de la tasa, pero sólo si las unidades coinciden. Si $a=0.03\,\text{día}^{-1}$, usar horas sin convertir multiplica el exponente por veinticuatro. La exponencial debe recibir una cantidad adimensional: $at$.

Una estimación lineal de la tasa puede obtenerse de dos mediciones no nulas:

$$\widehat a=\frac{\log|x(t_2)|-\log|x(t_1)|}{t_2-t_1}.$$

El procedimiento amplifica ruido cuando $x$ se aproxima al piso instrumental y falla si el modelo contiene un fondo aditivo. Antes de ajustar, grafique residuos en escala original y logarítmica; una recta en papel semilogarítmico es evidencia compatible con la ley, no prueba de causalidad.

Ejemplo trabajado: desintegración con incertidumbre

Una cantidad radiactiva ideal satisface $\dot N=-\lambda N$. Si la semivida es $8$ días,

$$\lambda=\frac{\log2}{8}\approx0.08664\ \text{día}^{-1}.$$

Con $N_0=1200$, después de $20$ días queda

$$N(20)=1200e^{-20\lambda}=1200\,2^{-20/8}\approx212.1.$$

Si la semivida informada tiene incertidumbre $8\pm0.2$, la sensibilidad respecto de $T$ es

$$\frac{\partial N(t;T)}{\partial T} =N(t;T)\frac{t\log2}{T^2}.$$

En $t=20$, una aproximación lineal da una incertidumbre cercana a $9.2$ unidades. El cálculo separa incertidumbre paramétrica de error de integración: aquí no hace falta integrar numéricamente porque la solución es exacta. Si los datos son conteos, además aparece variabilidad estadística; no debe sumarse sin declarar un modelo probabilístico.

Población sin capacidad de carga

El modelo $\dot P=rP$ supone que la tasa per cápita $P'/P$ es constante. Para $r>0$ predice crecimiento ilimitado, útil en una fase temprana pero incompatible con recursos finitos a largo plazo. A partir de $P(0)=P_0$ y $P(T)=P_T$,

$$r=\frac1T\log\frac{P_T}{P_0}.$$

Si se cambia el intervalo usado para estimar $r$ y los valores difieren mucho, la hipótesis de tasa constante no está respaldada. La ecuación logística añade capacidad de carga y deja de ser lineal; introducirla no es «corregir» automáticamente el modelo, porque también requiere identificar un parámetro adicional y contrastar datos cercanos a saturación.

El mismo formalismo representa capital con interés continuo, biomasa en una fase exponencial y una población celular. Las variables pueden ser continuas como aproximación aun cuando el conteo físico sea discreto. Debe explicarse cuándo esa aproximación es razonable.

Enfriamiento relativo al ambiente

La ley de Newton es lineal afín:

$$\dot T=-k(T-T_a).$$

Aunque no es homogénea en $T$, el cambio $x=T-T_a$ produce $\dot x=-kx$. Así,

$$T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.$$

El equilibrio físico es $T_a$, no cero. Si el ambiente varía con el tiempo, el cambio conduce a una ecuación forzada y ya no basta una sola exponencial. Si ocurre cambio de fase, convección no lineal o radiación dominante, la ley también pierde validez.

Suponga $T_a=20^\circ\text C$, $T_0=90^\circ\text C$ y $T(10)=55^\circ\text C$. Entonces $35=70e^{-10k}$ y $k=\log2/10$. La predicción a veinte minutos es $T(20)=37.5^\circ\text C$. Una medición distinta permite evaluar el residuo sin volver a ajustar; usar el mismo punto para estimar y «validar» no constituye contraste independiente.

Flujo, derivada respecto del dato y estabilidad

El flujo es $\varphi_t(x)=e^{at}x$ y su derivada respecto del dato inicial es

$$D_x\varphi_t=e^{at}.$$

Dos soluciones satisfacen exactamente

$$|x(t)-y(t)|=e^{at}|x_0-y_0|.$$

Para $a<0$ hay contracción global. La función $V=x^2/2$ verifica $\dot V=2aV$; si $a<0$, $V(t)=V(0)e^{2at}$. Las tres descripciones —solución explícita, sensibilidad y Lyapunov— concuerdan. En problemas no lineales normalmente sólo se conserva una parte de esta equivalencia, de modo que este ejemplo sirve como control para métodos posteriores.

Datos discretos y muestreo

Si se observa cada $\Delta t$, la dinámica continua induce el mapa

$$x_{n+1}=q x_n,\qquad q=e^{a\Delta t}>0.$$

No todo mapa lineal real proviene de una ecuación escalar autónoma real: un factor $q<0$ alterna el signo y no puede escribirse como $e^{a\Delta t}$ con $a$ real. Un conjunto de datos alternante sugiere una variable omitida, una dinámica discreta genuina o ruido, no una tasa continua negativa extrema.

Para estimar $a$ de $q$, use $a=\log q/\Delta t$ y registre el intervalo. Confundir $q-1$ con $a$ sólo es una aproximación cuando $|a\Delta t|$ es pequeño. El error relativo de esa aproximación crece con el intervalo de muestreo.

Procedimiento de modelado y comprobación

Ecuación afín y traslado del equilibrio

La ecuación autónoma $x'=ax+b$, con $a\ne0$, tiene equilibrio $x_*=-b/a$. El cambio $u=x-x_*$ produce $u'=au$, de modo que

$$x(t)=x_*+(x_0-x_*)e^{at}.$$

La tasa conserva su significado y el término constante desplaza el origen dinámico. Si $a<0$, todas las soluciones convergen a $x_*$; si $a>0$, se alejan salvo la solución estacionaria. Esta reducción reúne enfriamiento, balance con entrada constante y relajación hacia un nivel de referencia.

El caso $a=0$ debe separarse antes de dividir: entonces $x'=b$ y las soluciones son traslaciones lineales, sin equilibrio cuando $b\ne0$. Una fórmula que contiene $-b/a$ no tiene límite dinámico uniforme si se mantiene $b$ fijo mientras $a\to0$, pues la posición de equilibrio escapa. Tratar por casos evita una singularidad creada por el método.

Estimación con varias observaciones

Con ruido multiplicativo, ajustar $\log|x|$ mediante mínimos cuadrados puede ser razonable; con ruido aditivo de varianza aproximadamente constante, la transformación cambia la estructura del error y sesga los puntos cercanos a cero. Una alternativa es ajustar directamente $x_0e^{at}$ y examinar residuos. En ambos casos se reservan observaciones para contraste y se informa la incertidumbre de $a$.

La tasa estimada depende del intervalo si el mecanismo cambia. Calcule tasas entre pares sucesivos y revise si fluctúan alrededor de un valor compatible con el error. Una deriva sistemática sugiere saturación, entrada externa o un parámetro temporal. El modelo autónomo lineal se acepta sólo dentro del régimen donde esa constancia es defendible.

Tiempo hacia atrás y alcance físico

Matemáticamente, $e^{at}$ define un flujo para tiempos positivos y negativos. Un modelo disipativo hacia adelante puede crecer sin límite al retroceder; eso no implica que el proceso físico real haya tenido valores enormes. La ecuación puede representar sólo una etapa posterior a una preparación. Invertirla amplifica errores: con $a<0$, reconstruir $x_0=e^{-at}x(t)$ multiplica el ruido.

Por eso una solución global de la EDO no equivale a validez global del modelo. Se deben distinguir intervalo matemático, ventana de datos y periodo físico donde las hipótesis permanecen razonables.

1. Defina la cantidad y sus unidades; identifique si cero tiene significado físico.
2. Justifique por qué la tasa absoluta debe ser proporcional a la cantidad.
3. Determine el signo esperado y una escala temporal observable.
4. Estime $a$ con datos separados y conserve unidades coherentes.
5. Resuelva analíticamente y compruebe condición inicial y ecuación por derivación.
6. Examine residuos y sensibilidad a la ventana de ajuste.
7. Declare mecanismos que rompen la proporcionalidad o introducen forzamiento.

Ejercicios

1. Clasifique $\dot x=ax$ para $a=-2,0,1/3$ y construya sus líneas de fase con orientación.
2. Una sustancia conserva el $30\%$ tras doce horas. Calcule tasa, semivida y fracción restante tras un día.
3. Estime el crecimiento continuo de una población que pasa de $400$ a $610$ en cinco años y evalúe el tiempo de duplicación.
4. En la ley de enfriamiento, deduzca $k$ con dos mediciones y use una tercera para contrastar el modelo.
5. Propague por diferenciación una incertidumbre pequeña en $a$ hacia $x(t)=x_0e^{at}$; determine cuándo domina sobre la incertidumbre inicial.
6. Demuestre que dos tasas negativas producen retratos orbitalmente equivalentes mediante una reparametrización del tiempo.
7. Construya una serie discreta con factor negativo y explique por qué no es muestreo exacto de $\dot x=ax$ real.

La ecuación escalar lineal no es sólo un ejercicio de separación de variables. Es el caso donde flujo, tasa, estabilidad, sensibilidad y ajuste de datos pueden comprobarse exactamente y donde las hipótesis físicas quedan expuestas con especial claridad.