Rectificación y teorema de Grobman–Hartman

Dos resultados de linealización responden a situaciones distintas. Si el campo no se anula en un punto, el teorema de rectificación construye coordenadas suaves donde el movimiento es traslación uniforme. Si el punto es un equilibrio hiperbólico, no puede rectificarse como un punto regular, pero Grobman–Hartman afirma que la dinámica no lineal es topológicamente conjugada a su parte lineal cerca del equilibrio. En el primer caso se elimina toda variación local del campo; en el segundo se conserva el equilibrio y la división entre direcciones estables e inestables.

El tomo II presenta ambos resultados dentro de la teoría local y mantiene separadas sus hipótesis. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 8, rectificación de campos y teorema de Grobman–Hartman Abrir fuente

Enunciado del teorema de rectificación

Sea $X$ un campo $C^r$, con $r\ge1$, y $X(p)\ne0$. Existe una carta local $\Psi$ alrededor de $p$ tal que el campo transformado es constante:

$$\Psi_*X=\frac{\partial}{\partial y_1}.$$

En esas coordenadas, las curvas integrales son rectas $y_1=t+c$ y $y_j$ constante para $j\ge2$. La afirmación es local: no dice que un campo sin ceros en toda una variedad admita una única coordenada global, pues topología, recurrencia y completitud pueden impedirlo.

La condición $X(p)\ne0$ es indispensable. Un cambio diferenciable invertible transforma ceros en ceros; no puede convertir un equilibrio en un vector constante no nulo. Cerca de un equilibrio se necesitan otros teoremas y el espectro del jacobiano.

Construcción de la carta de flujo

Elija una hipersuperficie $\Sigma$ transversal a $X(p)$ y una parametrización local $\sigma(u)$ de ella. Defina

$$F(t,u)=\varphi_t(\sigma(u)).$$

La derivada de $F$ en $(0,0)$ tiene como primera columna $X(p)$ y como columnas restantes una base de $T_p\Sigma$. Por transversalidad es invertible. El teorema de la función inversa convierte $F$ en una carta local. En las coordenadas inversas, avanzar el flujo sólo suma tiempo a la primera coordenada:

$$F^{-1}(\varphi_s(F(t,u)))=(t+s,u).$$

La prueba muestra por qué se requieren regularidad del flujo y transversalidad. También explica la geometría de una sección local: cada órbita cercana cruza una vez la placa elegida durante un intervalo pequeño. Si el campo es casi tangente, la carta puede estar mal condicionada aunque exista.

Ejemplo trabajado de rectificación explícita

Considere $X(x,y)=(1,x)$. El campo nunca se anula. Sus curvas satisfacen

$$\frac{dy}{dx}=x, \qquad y-\frac{x^2}{2}=C.$$

Defina

$$u=x,\qquad v=y-\frac{x^2}{2}.$$

Entonces

$$\dot u=1,\qquad \dot v=\dot y-x\dot x=x-x=0.$$

El jacobiano del cambio es uno, de modo que es un difeomorfismo global en este ejemplo. Las parábolas del plano original se convierten en rectas horizontales. El cambio conserva el tiempo exactamente; una equivalencia orbital más general podría reparametrizarlo. Verificar $\dot v=0$ y el determinante del cambio evita aceptar una combinación de variables que sólo endereza algunas curvas.

Equilibrios hiperbólicos

Sea $f(0)=0$ y $A=Df(0)$. El equilibrio es hiperbólico si el espectro de $A$ no toca el eje imaginario. Entonces el espacio se descompone en subespacios $E^s\oplus E^u$, asociados a partes reales negativas y positivas. El sistema lineal $x'=Ax$ contrae sobre $E^s$ hacia adelante y sobre $E^u$ hacia atrás.

La hiperbolicidad proporciona una brecha espectral que domina al residuo no lineal $f(x)-Ax=o(\lVert x\rVert)$. Si aparece un autovalor con parte real cero, términos de orden superior pueden cambiar el tipo: $x'=x^3$ y $x'=-x^3$ tienen la misma linealización nula y comportamientos opuestos. Grobman–Hartman no se aplica en esa frontera.

Grobman–Hartman para flujos

En una vecindad de un equilibrio hiperbólico existe un homeomorfismo $h$, con $h(0)=0$, que entrelaza el flujo no lineal y el lineal:

$$h(\varphi_t(x))=e^{At}h(x)$$

mientras ambas trayectorias permanecen en las vecindades elegidas. Algunas formulaciones establecen equivalencia orbital con orientación temporal; la variante y el dominio deben declararse. La conclusión conserva órbitas, equilibrio, dimensiones estable e inestable y tipo topológico. No promete que $h$ sea diferenciable, que preserve autovalores numéricos, ángulos, distancias o velocidades.

El resultado es local. Una silla no lineal puede tener lejos del origen conexiones homoclínicas, fronteras de cuenca u otros equilibrios ausentes en su linealización. Extender el dibujo lineal a todo el plano carece de justificación.

Idea de la demostración

Se escribe $f(x)=Ax+g(x)$ y se localiza el problema con un corte para que $g$ sea globalmente pequeño y Lipschitz. Mediante la dicotomía exponencial de $e^{At}$ se construye una corrección acotada que asigna a cada órbita no lineal una órbita lineal cercana. Las integrales hacia futuro se usan en direcciones estables y hacia pasado en direcciones inestables. Un argumento de punto fijo produce la corrección y otro demuestra continuidad e invertibilidad.

La construcción explica dos límites. La constante de control empeora al cerrarse la brecha espectral, y la regularidad obtenida suele ser sólo topológica. Para conjugaciones diferenciables hacen falta hipótesis de no resonancia y regularidad más fuertes; incluso entonces pueden perderse derivadas.

Versión para difeomorfismos

Sea $F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ un difeomorfismo local con $F(0)=0$. El punto fijo es hiperbólico si ningún autovalor de $DF(0)$ está sobre el círculo unidad. Entonces existe una conjugación local entre $F$ y $DF(0)$:

$$h(F(x))=DF(0)h(x).$$

Para flujos, un equilibrio hiperbólico produce un punto fijo hiperbólico del mapa de tiempo $T\ne0$, cuyos multiplicadores son $e^{\lambda_jT}$. Para una órbita periódica de un flujo aparece un multiplicador trivial uno; se aplica la teoría hiperbólica al retorno transversal, no al mapa temporal completo como si el ciclo fuera un equilibrio.

En datos discretos, que los multiplicadores estimados estén lejos del círculo unidad respalda una clasificación local. No prueba que el mapa empírico sea un difeomorfismo ni que la región muestre todas las ramas necesarias.

Ejemplo trabajado: equilibrio no lineal tipo silla

Analice

$$x'=x,\qquad y'=-y+x^2.$$

El jacobiano en cero es $A=\operatorname{diag}(1,-1)$, así que el origen es silla hiperbólica. La variedad inestable puede buscarse como $y=h(x)$. La invariancia exige

$$h'(x)x=-h(x)+x^2.$$

Con $h=ax^2$, resulta $2ax^2=-ax^2+x^2$, luego $a=1/3$. De hecho $y=x^2/3$ es una variedad inestable exacta. La variedad estable es $x=0$. El cambio

$$u=x,\qquad v=y-\frac{x^2}{3}$$

produce $u'=u$, $v'=-v$, por lo que aquí existe una conjugación suave explícita con el sistema lineal. Grobman–Hartman sólo garantizaba una homeomorfía; la estructura particular permite más regularidad. Sustituir el cambio en ambas ecuaciones es parte de la demostración, no una comprobación opcional.

Clasificación topológica y límites métricos

Todos los nodos lineales atractores hiperbólicos de una misma dimensión son topológicamente equivalentes como flujos locales bajo condiciones apropiadas, aunque tengan tasas y direcciones distintas. Una silla se distingue por las dimensiones de sus conjuntos estable e inestable. Un foco atractor y un nodo atractor pueden ser topológicamente equivalentes localmente si se permite deformar espirales, aun cuando no sean suavemente conjugados con el mismo control temporal.

Los exponentes, periodos y ángulos pertenecen a estructuras más rígidas. Si una aplicación sólo preserva órbitas con reparametrización, ni siquiera los periodos se conservan. Por ello un informe debe nombrar la relación probada: similitud lineal, conjugación suave, conjugación topológica o equivalencia orbital.

Comprobación numérica responsable

Una simulación puede verificar que trayectorias cercanas siguen sectores compatibles con la división estable-inestable. Calcule autovalores con margen respecto del eje imaginario, continúe variedades con varios pasos, y compruebe que las órbitas permanecen en la vecindad donde se hace la comparación. Superponer el sistema lineal y el no lineal sin construir $h$ no demuestra conjugación.

Para una familia paramétrica, siga el margen espectral. Cuando se aproxima a cero, reduzca la vecindad y espere deterioro de las constantes. Si cruza, el teorema deja de aplicar y debe usarse teoría de bifurcaciones o variedad central. Un retrato que parece conservar su tipo justo después del cruce no reemplaza las hipótesis.

Procedimiento para decidir qué teorema usar

1. Localice el punto y evalúe el campo.
2. Si el campo no se anula, elija una sección transversal y construya coordenadas de flujo.
3. Si es equilibrio, calcule el jacobiano y el margen espectral.
4. Aplique Grobman–Hartman sólo si hay hiperbolicidad.
5. Identifique dimensiones estable e inestable y el dominio local.
6. Busque una conjugación explícita únicamente si la estructura lo permite.
7. Para un mapa, reemplace eje imaginario por círculo unidad.
8. Declare qué propiedades topológicas se conservan y cuáles no.

Ejercicios

1. Rectifique $X(x,y)=(1,y)$ cerca de un punto arbitrario y compruebe la carta obtenida.
2. Construya coordenadas de flujo para $X=(e^x,0)$ y determine su dominio máximo.
3. Clasifique la hiperbolicidad de cuatro matrices y las dimensiones de sus subespacios estable e inestable.
4. Analice $x'=-x+x^2$ cerca de cero y compare su línea de fase con la linealización.
5. Para $F(x)=2x+x^3$, compruebe hiperbolicidad del punto fijo y delimite qué afirma la versión discreta.
6. Derive el mapa de tiempo uno de una matriz diagonal y relacione autovalores con multiplicadores.
7. Diseñe un ejemplo no hiperbólico donde la linealización no decida estabilidad y explique el término responsable.

Rectificación describe puntos regulares mediante traslación; Grobman–Hartman describe equilibrios hiperbólicos mediante su parte lineal. Confundir los dos regímenes borra precisamente la distinción entre una órbita que atraviesa el punto y otra que permanece fija.