Variedades centrales y formas normales

La linealización decide la dinámica local cuando ningún autovalor tiene parte real cero. En presencia de direcciones centrales, el jacobiano deja sin resolver precisamente los movimientos más lentos: estabilidad algebraica, aparición de ciclos o cambios de número de equilibrios. Una variedad central reduce el sistema a esas direcciones críticas. Una forma normal elimina términos que sólo dependen de la elección de coordenadas y conserva los que controlan el retrato local.

Descomposición espectral y sistema adaptado

Considere una EDO suave cerca de un equilibrio trasladado al origen,

$$\dot z=Az+F(z), \qquad F(0)=0, \qquad DF(0)=0.$$

El espectro de $A$ induce una descomposición real

$$\mathbb R^n=E^s\oplus E^c\oplus E^u,$$

donde las partes reales son negativas, nulas y positivas, respectivamente. Tras un cambio lineal de coordenadas puede escribirse, omitiendo por un momento la parte inestable,

$$\dot x=A_cx+f(x,y),$$ $$\dot y=A_sy+g(x,y),$$

con $x\in E^c$, $y\in E^s$ y $f,g$ al menos cuadráticos. Las direcciones estables decaen exponencialmente, mientras la evolución decisiva ocurre en $E^c$.

El teorema de la variedad central, en una versión local finito-dimensional, asegura bajo regularidad suficiente la existencia de una subvariedad local invariante

$$W^c_{\mathrm{loc}}={(x,y):y=h(x)},$$

con

$$h(0)=0, \qquad Dh(0)=0,$$

tangente a $E^c$. La dinámica restringida es

$$\dot x=A_cx+f(x,h(x)).$$

La variedad central local puede no ser única y sólo se afirma dentro de una vecindad. Sin embargo, su expansión de Taylor hasta un orden finito está determinada bajo las condiciones usuales, y la estabilidad local del sistema completo puede inferirse de la dinámica reducida cuando las direcciones restantes son estrictamente estables. Wiggins subraya este alcance local y la incorporación de parámetros como direcciones neutrales Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 3 y 20, teorema de la variedad central y bifurcaciones Abrir fuente .

Ecuación de invariancia

La gráfica $y=h(x)$ es invariante si el campo es tangente a ella. Derivando $y(t)=h(x(t))$,

$$\dot y=Dh(x)\dot x.$$

Al sustituir las ecuaciones,

$$Dh(x)[A_cx+f(x,h(x))] =A_sh(x)+g(x,h(x)).$$

Ésta es la ecuación de invariancia. Para calcular una aproximación de orden $k$, se propone un polinomio para $h$, se sustituye y se igualan monomios hasta ese orden. El residuo debe ser de orden superior:

$$\mathcal R_h(x)= Dh(x)[A_cx+f(x,h(x))] -A_sh(x)-g(x,h(x)) =O(\|x\|^{k+1}).$$

No basta ajustar una curva a trayectorias simuladas. La tangencia y el residuo de invariancia son controles matemáticos directos.

Ejemplo trabajado: cálculo de una variedad central

Estudiemos

$$\dot x=x^2, \qquad \dot y=-y+x^2.$$

El jacobiano en el origen es $\operatorname{diag}(0,-1)$. El eje $x$ es central y el eje $y$ estable. Buscamos

$$y=h(x)=ax^2+bx^3+cx^4+O(x^5).$$

La ecuación de invariancia es

$$h'(x)x^2=-h(x)+x^2.$$

Calculamos

$$h'(x)x^2= (2ax+3bx^2+4cx^3)x^2 =2ax^3+3bx^4+O(x^5),$$

mientras

$$-h(x)+x^2=(1-a)x^2-bx^3-cx^4+O(x^5).$$

Igualar coeficientes da

$$a=1, \qquad b=-2, \qquad c=6.$$

Por tanto,

$$h(x)=x^2-2x^3+6x^4+O(x^5).$$

La dinámica reducida no cambia porque la ecuación de $x$ es independiente:

$$\dot x=x^2.$$

Para $x_0<0$, $x(t)=x_0/(1-x_0t)$ se aproxima al origen hacia adelante. Para $x_0>0$, se aleja y abandona cualquier vecindad en tiempo finito. El origen es semiestable sobre la variedad central y no es estable en el sistema completo. Sustituir el polinomio calculado produce un residuo $O(x^5)$; ésa es la precisión que se puede afirmar.

Jost separa las direcciones centrales de las estables e inestables para evitar que un autovalor cero se interprete como estabilidad neutra sin analizar los términos no lineales Jost, 2005 Jürgen Jost (2005) Dynamical Systems: Examples of Complex Behaviour Springer Ubicación consultada: §2.10, pp. 52-60 .

Parámetros como variables centrales

Para una familia

$$\dot z=F(z,\mu),$$

se añade

$$\dot\mu=0.$$

El parámetro se convierte en una coordenada central. La variedad central del sistema extendido contiene la organización local de toda la familia. En una bifurcación silla-nodo escalar,

$$\dot x=\mu+x^2+\text{términos superiores},$$

la dirección $x$ y el parámetro son críticos en $(0,0)$. Los términos constante en $\mu$ y cuadrático en $x$ no pueden descartarse porque deciden la creación o destrucción de equilibrios.

Al usar el sistema extendido hay que distinguir estabilidad en el estado y neutralidad artificial del parámetro. Las trayectorias físicas no se desplazan entre valores de $\mu$; la coordenada adicional organiza una familia de sistemas.

Transformaciones casi identidad

Una forma normal se obtiene mediante cambios de variables suaves cercanos a la identidad. Para

$$\dot z=Az+F_2(z)+F_3(z)+\cdots,$$

se propone, en orden dos,

$$z=w+H_2(w),$$

donde $H_2$ es homogéneo cuadrático. Al sustituir y conservar orden dos aparece el operador homológico

$$\mathcal L_AH_2(w)=DH_2(w)Aw-AH_2(w).$$

La parte cuadrática transformada es

$$\widetilde F_2=F_2-\mathcal L_AH_2.$$

Los términos que pertenecen al rango de $\mathcal L_A$ pueden eliminarse eligiendo $H_2$. Los que quedan en un complemento son términos resonantes y forman la normal.

Si $A$ es diagonal con autovalores $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, un monomio

$$w^k e_j=w_1^{k_1}\cdots w_n^{k_n}e_j$$

es resonante cuando

$$k_1\lambda_1+\cdots+k_n\lambda_n=\lambda_j.$$

En ese caso el denominador que eliminaría el término se anula. La resonancia algebraica identifica términos que no pueden borrarse por el cambio de coordenadas considerado.

Ejemplo de eliminación no resonante

Considere

$$\dot x=x, \qquad \dot y=3y+ax^2.$$

El monomio $x^2e_y$ tendría resonancia si $2\lambda_x=\lambda_y$. Aquí $2\ne3$, así que puede eliminarse. Tomemos

$$y=v+cx^2.$$

Entonces

$$\dot y=\dot v+2cx\dot x=\dot v+2cx^2,$$

y la ecuación original exige

$$\dot v+2cx^2=3v+(3c+a)x^2.$$

Por tanto,

$$\dot v=3v+(c+a)x^2.$$

Elegir $c=-a$ elimina el término. Si el autovalor de $y$ fuera dos, la ecuación para $c$ no tendría solución y $ax^2$ sería resonante. El cálculo muestra qué parte de la no linealidad depende de coordenadas y cuál persiste.

Formas normales de bifurcaciones locales

Las formas normales no afirman que todo sistema sea globalmente igual al polinomio reducido. Describen, bajo condiciones de no degeneración y transversalidad, el retrato local hasta una equivalencia especificada.

Para una silla-nodo escalar,

$$\dot x=\mu\pm x^2.$$

La condición no degenerada exige un autovalor simple cero, efecto no nulo del parámetro y coeficiente cuadrático no nulo. Para una bifurcación transcrítica,

$$\dot x=\mu x-x^2,$$

intercambian estabilidad dos ramas que existen a ambos lados. Para una horquilla con simetría impar,

$$\dot x=\mu x\mp x^3.$$

La simetría elimina términos pares; sin ella, una perturbación genérica puede desdoblar la horquilla.

En Hopf, un par simple $\alpha(\mu)\pm i\omega(\mu)$ cruza el eje imaginario con $\omega(0)\ne0$ y $\alpha'(0)\ne0$. En coordenada compleja, la normal cúbica es

$$\dot z=(\mu+i\omega_0)z+\ell z|z|^2+\cdots.$$

En coordenadas polares,

$$\dot r=\mu r+\operatorname{Re}(\ell)r^3+\cdots,$$ $$\dot\theta=\omega_0+\operatorname{Im}(\ell)r^2+\cdots.$$

El signo del primer coeficiente de Lyapunov, relacionado con $\operatorname{Re}(\ell)$ según la convención, decide el carácter supercrítico o subcrítico cuando no es cero. Si se anula, Hopf es degenerada y se requiere orden superior.

Guckenheimer y Holmes combinan reducción central, normalización y cálculo de coeficientes para distinguir las bifurcaciones genéricas de sus casos degenerados Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 3, formas normales de silla-nodo, Hopf y bifurcaciones relacionadas .

Simetrías y normalización compatible

Si un grupo actúa sobre el espacio y el campo es equivariante, la transformación normal debe respetar esa acción. La simetría puede forzar coeficientes a cero y permitir ramas que no serían genéricas en el espacio de todos los campos. En una horquilla con simetría $x\mapsto-x$, el campo debe ser impar. Un término constante o cuadrático rompe la simetría y cambia el diagrama.

La clasificación debe declarar la clase de perturbaciones. Una bifurcación puede ser estable dentro de la subclase simétrica y no serlo frente a perturbaciones generales. Este detalle es físico cuando la simetría representa una construcción ideal que puede romperse por imperfecciones.

Procedimiento de reducción y comprobación

1. Traslada el equilibrio y calcula el espectro del jacobiano.
2. Separa $E^s,E^c,E^u$ con una base real y registra las dimensiones.
3. Incorpora parámetros con derivada cero si se estudia una familia.
4. Propón la gráfica de la variedad central y resuelve la ecuación de invariancia por órdenes.
5. Calcula el residuo y conserva sólo el orden justificado.
6. Restringe el campo a la gráfica aproximada.
7. Construye transformaciones casi identidad y resuelve las ecuaciones homológicas.
8. Identifica resonancias, simetrías y coeficientes no degenerados.
9. Compara el retrato normal con el sistema original dentro de una vecindad decreciente.

Ejercicios de reducción central y normalización

1. Calcula una variedad central hasta orden cuatro para $\dot x=x^2$, $\dot y=-2y+x^2+x^3$. Obtén el residuo y clasifica el origen con la dinámica reducida.
2. Para $\dot x=y$, $\dot y=-y+x^2$, determina la dirección central, construye $y=h(x)$ hasta orden cúbico y escribe la ecuación escalar reducida.
3. Incorpora $\dot\mu=0$ a $\dot x=\mu-x^2+x^3$ y explica qué términos satisfacen las condiciones no degeneradas de silla-nodo.
4. Determina todos los monomios resonantes de grado dos y tres para $A=\operatorname{diag}(1,2)$. Elimina explícitamente un término no resonante.
5. Analiza cómo un término constante pequeño modifica $\dot x=\mu x-x^3$. Dibuja el conjunto de equilibrios y distingue perturbaciones simétricas de generales.
6. Deriva la ecuación radial de $\dot z=(\mu+i)z-(1+2i)z|z|^2$. Calcula radio, estabilidad y corrección de frecuencia del ciclo.
7. Compara numéricamente un sistema y su forma normal cúbica para varias amplitudes iniciales. Mide el tiempo de permanencia en la vecindad y relaciona la discrepancia con el orden omitido.

La variedad central elimina dinámicamente las direcciones decididas por el espectro; la forma normal elimina algebraicamente los términos dependientes de coordenadas. Lo que permanece organiza la bifurcación local bajo hipótesis explícitas.

El capítulo 10 del tomo II organiza el cálculo por grados homogéneos: en cada orden se resuelve una ecuación homológica, se identifica el núcleo resonante y se registra la regularidad perdida por las transformaciones. Esta contabilidad impide confundir una equivalencia formal con una conjugación convergente o con una clasificación global. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 10, formas normales y transformaciones casi identidad Abrir fuente