Promediado, perturbación y método de Melnikov

Una perturbación pequeña puede producir un efecto acumulado grande. En un oscilador, un término de orden $\varepsilon$ actúa durante $O(1/\varepsilon)$ periodos; cerca de una separatriz, una diferencia exponencialmente pequeña decide si dos variedades se cruzan. El promediado extrae la deriva lenta de movimientos rápidos. El método de Melnikov mide, a primer orden, la separación entre variedades estable e inestable de una órbita homoclínica perturbada.

Escalas rápidas y lentas

Considere

$$\dot x=\varepsilon f(x,t,\varepsilon), \qquad f(x,t+T,\varepsilon)=f(x,t,\varepsilon),$$

con $0<\varepsilon\ll1$. Durante un periodo rápido, $x$ cambia poco. Se define el campo promedio

$$\bar f(x)=\frac1T\int_0^Tf(x,t,0)\,dt$$

y el sistema promediado

$$\dot y=\varepsilon\bar f(y).$$

Una versión de primer orden del teorema de promediado afirma, bajo suavidad, acotación y condiciones Lipschitz en un dominio donde ambas soluciones permanezcan, que $x(t)-y(t)=O(\varepsilon)$ para tiempos $t=O(1/\varepsilon)$. Existen versiones más fuertes cerca de equilibrios hiperbólicos del sistema promedio. La constante y el intervalo dependen del dominio; el resultado no autoriza tiempos infinitos ni el cruce de singularidades.

El promedio puede derivarse mediante un cambio casi identidad

$$x=y+\varepsilon u(y,t),$$

donde $u$ es periódica y se elige para eliminar la parte oscilatoria de orden $\varepsilon$. Esta derivación explica por qué el promedio no es una simple sustitución numérica: reorganiza la ecuación preservando el efecto secular.

Wiggins presenta el promediado como una equivalencia aproximada controlada en una escala temporal declarada, no como identidad entre trayectorias Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 4-5, sistemas periódicos y teoremas de promediado Abrir fuente .

Expansiones regulares y términos seculares

Una expansión regular propone

$$x(t;\varepsilon)=x_0(t)+\varepsilon x_1(t)+\varepsilon^2x_2(t)+\cdots.$$

Al sustituir se resuelven ecuaciones por órdenes. El método falla uniformemente si aparece un término como $\varepsilon t\sin t$: aunque sea formalmente de primer orden, deja de ser pequeño cuando $t=O(1/\varepsilon)$. Ese crecimiento secular suele indicar una corrección de frecuencia o amplitud lenta.

El método de Lindstedt–Poincaré reescala el tiempo,

$$\tau=\Omega(\varepsilon)t, \qquad \Omega=\Omega_0+\varepsilon\Omega_1+\cdots,$$

y elige las correcciones de frecuencia para cancelar términos resonantes. Las escalas múltiples introducen tiempos independientes $T_0=t$, $T_1=\varepsilon t$, etcétera, y permiten que amplitud y fase dependan de $T_1$. El promediado produce ecuaciones equivalentes para esas variables lentas bajo hipótesis apropiadas.

Coordenadas amplitud-fase

Para un oscilador débilmente perturbado

$$\ddot x+x=\varepsilon F(x,\dot x,t),$$

se escribe

$$x=r\cos(t+\phi), \qquad \dot x=-r\sin(t+\phi)$$

con una condición auxiliar que hace única la representación instantánea. Sustituir produce ecuaciones exactas para $\dot r$ y $\dot\phi$ que son de orden $\varepsilon$. Promediarlas sobre la fase rápida da la deriva lenta.

El radio no es necesariamente la amplitud máxima exacta del sistema perturbado; es una coordenada definida por la transformación. La conclusión sobre un ciclo límite se valida regresando al sistema original y comprobando estabilidad transversal y tamaño del residuo.

Ejemplo trabajado: amplitud de Van der Pol

Considere el oscilador de Van der Pol débil

$$\ddot x+x=\varepsilon(1-x^2)\dot x, \qquad 0<\varepsilon\ll1.$$

La energía del oscilador no perturbado es

$$E=\frac12(\dot x^2+x^2)=\frac12r^2.$$

Su derivada exacta es

$$\dot E=\varepsilon(1-x^2)\dot x^2.$$

En una vuelta no perturbada usamos $x=r\cos\theta$ y $\dot x=-r\sin\theta$, manteniendo $r$ casi constante. El promedio es

$$\langle\dot E\rangle =\varepsilon\left\langle (1-r^2\cos^2\theta)r^2\sin^2\theta \right\rangle.$$

Como

$$\langle\sin^2\theta\rangle=\frac12, \qquad \langle\cos^2\theta\sin^2\theta\rangle=\frac18,$$

se obtiene

$$\langle\dot E\rangle =\varepsilon\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{8}\right).$$

Puesto que $E=r^2/2$, $\dot E=r\dot r$, y por tanto

$$\dot r=\frac{\varepsilon r}{2} \left(1-\frac{r^2}{4}\right).$$

El equilibrio $r=0$ es inestable y $r=2$ es estable en la ecuación promediada. La predicción es un ciclo de amplitud cercana a dos para $\varepsilon$ pequeño. La aproximación no afirma amplitud exactamente dos para cualquier $\varepsilon$. Para validarla se integran varios valores pequeños, se descarta el transitorio, se mide la amplitud y se comprueba que la diferencia escale con $\varepsilon$ en el régimen esperado.

Strogatz deriva la regulación de amplitud en osciladores débiles a partir del balance entre inyección y disipación; el cálculo promedio identifica el radio seleccionado Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 7, oscilaciones débiles y Van der Pol .

Perturbaciones cerca de una separatriz

Considere un sistema hamiltoniano planar no perturbado

$$\dot z=f_0(z)=J\nabla H(z)$$

con una órbita homoclínica $z_h(t)$ a una silla. En el sistema integrable,

$$W^s(p)=W^u(p)$$

a lo largo de la separatriz. Añadimos una perturbación periódica

$$\dot z=f_0(z)+\varepsilon g(z,t), \qquad g(z,t+T)=g(z,t).$$

Las variedades de la órbita periódica perturbada ya no tienen por qué coincidir. En una sección transversal, su distancia orientada tiene una expansión cuyo término principal es proporcional a la función de Melnikov.

Para el caso planar,

$$M(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty} f_0(z_h(t))\wedge g(z_h(t),t+t_0)\,dt,$$

donde $a\wedge b=a_1b_2-a_2b_1$. En una formulación hamiltoniana equivalente puede escribirse mediante variación de $H$. La convergencia exige decaimiento de la órbita hacia la silla y regularidad de la perturbación.

Si $M(t_0^*)=0$ y $M'(t_0^*)\ne0$, entonces, bajo las hipótesis del teorema y para $\varepsilon$ suficientemente pequeño, las variedades perturbadas tienen una intersección transversal cercana. Un cero simple es una condición suficiente de primer orden. Si $M$ no se anula, apoya separación a ese orden; si tiene un cero múltiple o es idénticamente cero, el método de primer orden no decide.

Ejemplo trabajado: Duffing forzado y umbral de Melnikov

Estudiemos

$$\ddot x-x+x^3 =\varepsilon[-\delta\dot x+\gamma\cos(\omega t)],$$

con $\delta,\gamma,\omega>0$. El sistema no perturbado tiene hamiltoniano

$$H(x,v)=\frac{v^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}$$

y una rama homoclínica

$$x_h(t)=\sqrt2\,\operatorname{sech}t,$$ $$v_h(t)=\dot x_h(t) =-\sqrt2\,\operatorname{sech}t\tanh t.$$

La función de Melnikov puede escribirse

$$M(t_0)=\int_{-\infty}^{\infty} v_h(t)[-\delta v_h(t)+\gamma\cos(\omega(t+t_0))],dt.$$

El término disipativo requiere

$$\int_{-\infty}^{\infty}v_h^2(t)\,dt =2\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}^2t\tanh^2t\,dt =\frac43,$$

usando $u=\tanh t$. Para el término periódico, la paridad anula la parte con $\cos\omega t$. Integrando por partes y usando

$$\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sech}t\cos\omega t\,dt =\frac{\pi}{\cosh(\pi\omega/2)},$$

se obtiene, con la elección de rama anterior,

$$M(t_0)=-\frac{4\delta}{3} +\frac{\sqrt2\pi\gamma\omega} {\cosh(\pi\omega/2)} \sin(\omega t_0).$$

Existen ceros simples si

$$\frac{\sqrt2\pi\gamma\omega} {\cosh(\pi\omega/2)} >\frac{4\delta}{3}.$$

La igualdad es degenerada y Melnikov de primer orden no concluye transversalidad. La desigualdad predice intersecciones homoclínicas transversales para perturbación suficientemente pequeña, no “caos en todo el espacio” ni un umbral exacto para amplitudes finitas.

Guckenheimer y Holmes desarrollan esta integral en osciladores perturbados y la conectan con el teorema homoclínico; la cadena lógica requiere órbita homoclínica conocida, expansión de distancia, cero simple y perturbación pequeña Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 4 y caps. 5-6, método de Melnikov y bifurcaciones homoclínicas .

En la organización geométrica del tomo II, el cálculo perturbativo se interpreta sobre secciones y variedades invariantes: el cero simple de la función de separación certifica transversalidad a primer orden, mientras un cero múltiple exige continuar la expansión o variar más parámetros. Esta distinción conecta el cálculo local con las bifurcaciones globales sin convertir una aproximación asintótica en una afirmación para perturbaciones arbitrarias. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: caps. 9 y 11, retorno, conexiones invariantes y bifurcaciones Abrir fuente

Fase de la perturbación y sección transversal

El parámetro $t_0$ representa la fase relativa entre la órbita homoclínica y el forzamiento. En el sistema autónomo extendido con $\dot\theta=\omega$, la silla se convierte en una órbita periódica. Sus variedades estable e inestable son superficies; una sección de fase fija las reduce a curvas cuya distancia puede medirse.

Cambiar la sección o la normalización multiplica la distancia por un factor no nulo, pero no elimina un cero simple. Por eso la transversalidad predicha es geométrica aunque la fórmula escalar dependa de convenciones. El signo de $M$ sólo tiene sentido después de fijar orientación.

Casos donde el primer orden no decide

Si una simetría fuerza $M\equiv0$, puede haber separación de orden $\varepsilon^2$. Si el cero es doble, una perturbación de parámetros puede crear dos cruces o ninguno. Si la órbita no perturbada no se conoce exactamente, la integral puede evaluarse numéricamente, pero el error debe ser menor que el margen usado para afirmar cambio de signo y derivada no nula.

La proximidad visual de dos ramas no sustituye la distancia orientada. En problemas rígidos, integrar una variedad estable hacia atrás amplifica errores. Se usan problemas de frontera, continuación y precisiones crecientes para confirmar el cruce.

Procedimiento de análisis perturbativo

1. Identifica el parámetro pequeño y adimensionaliza para justificar su escala.
2. Separa la dinámica rápida de las variables lentas.
3. Deriva el promedio mediante integrales sobre una órbita o fase, conservando el dominio.
4. Comprueba equilibrios y estabilidad del sistema promedio.
5. Regresa al sistema original y mide error durante tiempos proporcionales a $1/\varepsilon$.
6. Para Melnikov, obtiene la órbita homoclínica y verifica su decaimiento.
7. Fija sección, orientación y fase del forzamiento.
8. Evalúa la integral analítica o numéricamente con control de colas.
9. Busca ceros simples y verifica que persistan al refinar integración y truncamiento.
10. Limita la conclusión a la transversalidad cercana garantizada por el teorema aplicable.

Ejercicios de promediado y Melnikov

1. Promedia $\dot r=\varepsilon r\cos^2t(1-r)$ y compara la solución promedio con integraciones directas para tres valores de $\varepsilon$ durante tiempos $O(1/\varepsilon)$.
2. Aplica Lindstedt–Poincaré a $\ddot x+x+\varepsilon x^3=0$ y calcula la primera corrección de frecuencia sin términos seculares.
3. Deriva las ecuaciones promedio de amplitud y fase para un oscilador lineal débilmente amortiguado y forzado cerca de resonancia primaria.
4. Repite el cálculo energético de Van der Pol conservando una corrección de fase y explica qué simetría hace cero su promedio de primer orden.
5. Verifica directamente la órbita homoclínica de Duffing sustituyendo $x_h,v_h$ en el sistema no perturbado y comprobando $H=0$.
6. Calcula $M(t_0)$ para Duffing con forzamiento $\gamma\sin\omega t$ y relaciona el resultado con un desplazamiento de fase.
7. Evalúa numéricamente la integral de Melnikov truncada en $[-T,T]$ para varios $T$. Estima el error de cola y decide si los ceros observados son simples.

El promediado controla la deriva acumulada de movimientos rápidos; Melnikov controla la separación inicial de variedades coincidentes. Ambos métodos son potentes porque expresan una conclusión geométrica mediante una integral, pero su validez depende del régimen asintótico y de hipótesis verificadas.