Conjuntos hiperbólicos, particiones de Markov y entropía

La hiperbolicidad uniforme extiende la silla desde un punto a un conjunto compacto completo. Cada órbita del conjunto posee direcciones que contraen hacia adelante y otras que contraen hacia atrás, con constantes uniformes. Esa estructura permite seguir órbitas aproximadas, construir rectángulos con lados estables e inestables y traducir el movimiento a sucesiones de símbolos. La entropía topológica mide el crecimiento exponencial del número de itinerarios distinguibles.

Definición uniforme para un difeomorfismo

Sea $f:M\to M$ un difeomorfismo $C^1$ y $\Lambda\subset M$ un conjunto compacto e invariante. Se dice que $\Lambda$ es hiperbólico si existe una descomposición continua

$$T_xM=E_x^s\oplus E_x^u, \qquad x\in\Lambda,$$

invariante bajo la derivada,

$$Df_xE_x^s=E_{f(x)}^s, \qquad Df_xE_x^u=E_{f(x)}^u,$$

y constantes $C>0$, $0<\lambda<1$ tales que

$$\|Df_x^nv^s\|\le C\lambda^n\|v^s\|, \qquad n\ge0,$$ $$\|Df_x^{-n}v^u\|\le C\lambda^n\|v^u\|, \qquad n\ge0.$$

Las mismas constantes funcionan para todo $x\in\Lambda$. Una colección de puntos hiperbólicos con tasas que se acercan a uno puede no formar un conjunto hiperbólico uniforme.

Para un flujo hay además una dirección central generada por el campo. La hiperbolicidad del conjunto separa estable, dirección del flujo e inestable. En una sección de Poincaré se elimina la dirección neutral y se obtiene un mapa hiperbólico transversal.

Wiggins formula esta uniformidad como el mecanismo que hace continuas las direcciones y resistentes las estimaciones bajo perturbaciones pequeñas Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: secciones de hiperbolicidad uniforme y conjuntos invariantes Abrir fuente .

El tomo II aporta el contexto de flujos y secciones donde esta construcción se utiliza: la hiperbolicidad del mapa de retorno se traduce en descomposición transversal para el flujo, y la persistencia sólo se afirma sobre un conjunto compacto con constantes uniformes. Rosas, 2021 Jessica Angélica Jaurez Rosas, Laura Ortiz Bobadilla, Jesús Alberto Palma Márquez y Ernesto Rosales González (2021) Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales II Papirhos Textos 14 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: caps. 9 y 11, mapas de retorno e hiperbolicidad global Abrir fuente

Variedades locales y estructura de producto

Para cada $x\in\Lambda$ existen variedades locales $W^s_\varepsilon(x)$ y $W^u_\varepsilon(x)$ tangentes a $E_x^s$ y $E_x^u$. Si $x$ y $y$ están suficientemente cerca, la variedad estable local de $x$ y la inestable local de $y$ se intersectan en un único punto, denotado

$$[x,y]=W^s_\varepsilon(x)\cap W^u_\varepsilon(y).$$

Cuando ese punto pertenece también a $\Lambda$, se habla de estructura local de producto. Las coordenadas no son cartesianas en sentido métrico: una coordenada selecciona el pasado por la dirección inestable y la otra el futuro por la estable.

La estructura produce expansividad. Existe $\delta>0$ tal que, si

$$d(f^n(x),f^n(y))<\delta \quad\text{para todo }n\in\mathbb Z,$$

entonces $x=y$ dentro del conjunto hiperbólico. Dos órbitas distintas deben separarse en algún tiempo positivo o negativo.

También sustenta el lema de sombreado: toda pseudoórbita con errores suficientemente pequeños es seguida de cerca por una órbita verdadera. La órbita que sombrea puede no ser única fuera de un conjunto expansivo y el intervalo o precisión dependen de las constantes. El lema no afirma que una trayectoria numérica larga siga la misma órbita exacta para siempre en cualquier sistema caótico.

Rectángulos de Markov

Un rectángulo $R\subset\Lambda$ es un conjunto pequeño cerrado bajo el producto local: si $x,y\in R$, entonces $[x,y]\in R$. Sus fronteras se separan en lados estables e inestables. Una familia finita $R_1,\ldots,R_m$ forma una partición de Markov cuando cubre $\Lambda$ con interiores esencialmente disjuntos y las imágenes respetan los lados:

• la imagen de una fibra estable queda dentro de una fibra estable del rectángulo visitado;
• la preimagen de una fibra inestable queda dentro de una fibra inestable.

Se define una matriz de transición

$$A_{ij}=1$$

si existe un paso permitido de $R_i$ a $R_j$, y cero en otro caso. La sucesión

$$(\ldots,s_{-1},s_0,s_1,\ldots)$$

es admisible cuando $A_{s_ns_{n+1}}=1$ para todo $n$. El desplazamiento

$$(\sigma s)_n=s_{n+1}$$

modela una iteración de $f$.

La codificación produce una aplicación continua y sobreyectiva desde el subdesplazamiento hacia $\Lambda$ que entrelaza dinámicas. Puede ser uno a uno fuera de órbitas que tocan fronteras, pero una partición de Markov no garantiza automáticamente conjugación global biyectiva. Guckenheimer y Holmes construyen la codificación de la herradura y mantienen visible esta ambigüedad de frontera Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 5, herradura, rectángulos y dinámica simbólica .

Herradura completa con dos símbolos

En la herradura ideal, dos franjas verticales permanecen dentro de la región después de aplicar el mapa. Cada punto que nunca escapa hacia adelante ni hacia atrás recibe un símbolo cero o uno según la franja visitada en cada iteración. Toda sucesión binaria bilateral es admisible, de modo que la dinámica se relaciona con el desplazamiento completo sobre dos símbolos.

Una palabra periódica de longitud $n$ representa un punto periódico de periodo divisor de $n$. Hay $2^n$ palabras de longitud $n$, aunque al contar órbitas primitivas hay que identificar desplazamientos cíclicos y excluir periodos divisores. El crecimiento exponencial persiste y produce entropía $\log2$ para el desplazamiento.

La herradura suele ser un conjunto de tipo Cantor en las direcciones estable e inestable. Tiene infinitas órbitas periódicas densas y sensibilidad, pero puede tener volumen ambiente cero y no atraer una región abierta. “Conjunto caótico” y “atractor caótico” no son sinónimos.

Entropía topológica mediante órbitas separadas

Para un mapa continuo en un compacto, se define la métrica dinámica

$$d_n(x,y)=\max_{0\le k<n}d(f^k(x),f^k(y)).$$

Un conjunto es $(n,\varepsilon)$-separado si cada par distinto satisface $d_n(x,y)>\varepsilon$. Sea $s(n,\varepsilon)$ el tamaño máximo de uno de esos conjuntos. La entropía topológica es

$$h_{\mathrm{top}}(f)= \lim_{\varepsilon\to0} \limsup_{n\to\infty} \frac1n\log s(n,\varepsilon).$$

La definición mide cuántas historias orbitales pueden distinguirse a resolución $\varepsilon$ durante $n$ iteraciones. No depende de una medida de probabilidad. Una entropía positiva implica crecimiento exponencial de complejidad en este sentido, pero no identifica por sí sola un mecanismo geométrico ni una distribución física.

Para un subdesplazamiento de tipo finito con matriz $A$ irreducible,

$$h_{\mathrm{top}}(\sigma_A)=\log\rho(A),$$

donde $\rho(A)$ es el radio espectral. La fórmula sigue siendo válida para matrices no irreducibles tomando el máximo de los componentes, con los matices usuales sobre estados transitorios.

Ejemplo trabajado: desplazamiento de la razón áurea

Prohibamos dos unos consecutivos. Los estados pueden representar el último símbolo y la matriz de transición es

$$A=\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}.$$

Desde el estado cero se puede añadir cero o uno; desde uno sólo puede añadirse cero. Si $N_n$ es el número de palabras admisibles de longitud $n$, separar por el último símbolo da la recurrencia

$$N_n=N_{n-1}+N_{n-2}.$$

Con $N_1=2$ y $N_2=3$, la sucesión es $2,3,5,8,\ldots$. El polinomio característico de $A$ es

$$\lambda^2-\lambda-1=0,$$

y el radio espectral es

$$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Por tanto,

$$h_{\mathrm{top}}=\log\varphi.$$

Es menor que $\log2$ porque se eliminó una transición. El número de puntos fijos de $\sigma_A^n$ es

$$\operatorname{tr}(A^n),$$

que cuenta palabras periódicas con un origen marcado. Para convertirlas en órbitas primitivas se requiere una corrección combinatoria; dividir siempre por $n$ sería incorrecto cuando existen periodos menores.

Ott usa matrices de transición para relacionar geometría de franjas, crecimiento de palabras y entropía; la matriz sólo es válida después de justificar la partición que la origina Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 2-4, herraduras, dinámica simbólica y entropía .

Matrices reducibles y componentes básicos

Si la gráfica dirigida de $A$ tiene varios componentes fuertemente conexos, el subdesplazamiento se descompone en piezas recurrentes y estados transitorios. La entropía está dominada por el componente con mayor radio espectral. Una trayectoria puede pasar por un estado transitorio y luego quedar en un componente terminal; contar todas las palabras cortas sin separar componentes puede ocultar la estructura asintótica.

El periodo de un componente irreducible es el máximo común divisor de las longitudes de sus ciclos. Si vale uno, la matriz es aperiódica y el desplazamiento es mezclante. Irreducibilidad corresponde a transitividad simbólica; aperiocidad añade mezcla. Entropía positiva no implica mezcla si el grafo se descompone o tiene periodo mayor que uno.

Entropía de un flujo y tiempo de retorno

Una sección de Poincaré produce un mapa de retorno $P$ y un tiempo de retorno $\tau(x)$. La entropía por iteración de $P$ no es automáticamente la entropía por unidad de tiempo del flujo. Si el techo es constante $T$, el flujo suspendido escala como

$$h_{\mathrm{flujo}}=\frac{h_{\mathrm{top}}(P)}{T}.$$

Con techo variable se requiere la teoría de suspensiones y presión; dividir por un periodo promedio sin hipótesis puede ser incorrecto. Al comparar modelos o parámetros hay que declarar si la tasa se mide por iteración, cruce o unidad física de tiempo.

Construcción y validación computacional

Una partición visual debe convertirse en afirmaciones verificables:

1. localiza el conjunto invariante dentro de una región aislante;
2. estima direcciones y conos estables e inestables;
3. comprueba que la derivada envía cada cono dentro del correspondiente y expande o contrae uniformemente;
4. construye rectángulos alineados con esas direcciones;
5. calcula qué franjas cruzan qué rectángulos con cotas, no sólo píxeles;
6. forma la matriz y elimina transiciones espurias de frontera;
7. compara crecimiento de palabras, órbitas periódicas y radio espectral;
8. repite con refinamiento espacial y aritmética controlada.

Los exponentes de Lyapunov positivos sobre una trayectoria no demuestran hiperbolicidad uniforme del conjunto. La uniformidad exige cotas para todas las órbitas y ángulos que no colapsen.

Ejercicios de hiperbolicidad y entropía

1. Demuestra que un punto fijo hiperbólico es un conjunto hiperbólico y escribe las constantes $C,\lambda$ para una matriz diagonal plana.
2. Construye campos de conos para el mapa lineal del toro inducido por $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ y verifica invariancia y expansión.
3. Para la herradura completa, cuenta puntos de periodo divisor de $n$ para $n=1,2,3,4$ y separa órbitas primitivas.
4. Calcula entropía y componentes irreducibles de $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}$. Explica qué estados son recurrentes o transitorios.
5. Diseña una partición de tres símbolos que prohíba las palabras $22$ y $101$. Construye una presentación de tipo finito y calcula su radio espectral numéricamente.
6. Compara entropía por iteración y por tiempo para dos flujos suspendidos con el mismo mapa y techos constantes diferentes.
7. Genera pseudoórbitas del mapa del gato, añade errores acotados y busca numéricamente una órbita que las sombree. Reporta cómo depende el error de la longitud observada.

La hiperbolicidad aporta cotas uniformes; la estructura de producto permite rectángulos; la propiedad de Markov convierte geometría en itinerarios; la entropía resume su crecimiento exponencial. Saltarse uno de esos niveles transforma una codificación demostrada en una analogía visual.