Ecuaciones diferenciales

Objetivos

• Resolver y modelar EDO de primer orden y de orden superior con métodos analíticos apropiados.
• Usar Laplace, Frobenius, funciones especiales, matrices fundamentales y teoría espectral.
• Formular y verificar problemas de valor inicial y de frontera por métodos analíticos y numéricos.

1. 01

   Funciones, escalas y análisis dimensional

   Reconstruir unidades, órdenes de magnitud y variables adimensionales para detectar modelos incoherentes antes de programarlos.

   Actividad evaluable: Ficha dimensional y cambio de escala justificado. Distribución de la carga: 1 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   7 h
2. 02

   Ecuaciones de primer orden y campos de direcciones

   Resolver y leer ecuaciones separables, lineales y autónomas mediante soluciones, isoclinas y campos de direcciones.

   Actividad evaluable: Comparación entre solución analítica, campo de direcciones y comportamiento cualitativo. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
3. 03

   Álgebra lineal y sistemas lineales

   Relacionar matrices, bases, autovalores y autovectores con contracción, expansión y direcciones privilegiadas.

   Actividad evaluable: Clasificación razonada de tres sistemas lineales de dimensión dos. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
4. 04

   Ecuaciones de orden superior: osciladores, series y Laplace

   Resolver ecuaciones lineales de orden superior por raíces, Laplace y series antes de analizar osciladores, impulsos y resonancia.

   Actividad evaluable: Análisis de regímenes y resonancia para un oscilador dimensional y su versión adimensional. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
5. 05

   Cálculo multivariable y Jacobiano

   Interpretar gradiente, Jacobiano, divergencia y derivadas direccionales dentro de un modelo dinámico.

   Actividad evaluable: Mapa de campo, nulclinas y Jacobiano calculado a mano. Distribución de la carga: 1 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   7 h
6. 06

   Existencia, unicidad y dependencia de los datos

   Aplicar resultados de existencia local, unicidad, prolongación y dependencia continua a problemas de valor inicial concretos.

   Actividad evaluable: Argumento de existencia y discusión de qué cambia si falla la unicidad. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
7. 07

   Flujos y sistemas no lineales

   Estudiar el problema de valor inicial, la familia de mapas de evolución, sus equilibrios y su representación en el espacio de estados.

   Actividad evaluable: Construcción del flujo local de un sistema y verificación de sus propiedades de composición. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
8. 08

   Modelos y problemas de frontera en mecánica, circuitos y poblaciones

   Comparar modelos mecánicos, eléctricos y biológicos y resolver problemas de dos puntos y Sturm–Liouville.

   Actividad evaluable: Tres modelos formulados con variables, parámetros, unidades, hipótesis y pregunta dinámica. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   8 h
9. 09

   Ecuaciones de primer orden no lineales y sustituciones

   Reconocer Bernoulli, Riccati, ecuaciones homogéneas y exactas, y justificar la sustitución que convierte cada problema en una forma resoluble.

   Actividad evaluable: Árbol de decisión aplicado a problemas que exigen sustituciones diferentes. Distribución de la carga: 1 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   7 h
10. 10

    Transformada de Laplace: escalones, impulsos, convolución y sistemas

    Resolver problemas con entradas discontinuas o impulsivas y relacionar convolución, función de transferencia y respuesta de sistemas lineales.

    Actividad evaluable: Respuesta completa de un sistema forzado por tramos, comprobada en tiempo y en el dominio transformado. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
11. 11

    Frobenius, puntos singulares regulares, Bessel y Legendre

    Construir soluciones en serie alrededor de puntos ordinarios y singulares regulares e identificar las ecuaciones de Bessel y Legendre.

    Actividad evaluable: Derivación de recurrencias y contraste de una solución truncada con una función especial. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
12. 12

    Sistemas lineales no homogéneos, matriz fundamental y resonancia

    Usar matrices fundamentales, variación de parámetros, formas de Jordan y resonancia para resolver sistemas lineales no homogéneos.

    Actividad evaluable: Solución matricial verificada por sustitución y análisis del término resonante. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
13. 13

    Problemas de frontera, funciones de Green y Sturm–Liouville

    Relacionar problemas de dos puntos, funciones de Green, ortogonalidad y expansiones de Fourier dentro de la teoría de Sturm–Liouville.

    Actividad evaluable: Problema de frontera resuelto por espectro y por función de Green, con comparación de ambas representaciones. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h
14. 14

    Métodos numéricos de EDO: multipaso, disparo y diferencias finitas

    Extender la integración de valor inicial a métodos multipaso y resolver problemas de frontera mediante disparo y diferencias finitas.

    Actividad evaluable: Estudio de refinamiento que compara disparo y diferencias finitas sobre el mismo problema de frontera. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 1 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 3 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    8 h