Frobenius, puntos singulares regulares, Bessel y Legendre

Las soluciones elementales dejan de ser suficientes cuando los coeficientes de una EDO dependen de la variable independiente. Las series permiten construir la solución local a partir de una recurrencia. Cerca de ciertos puntos singulares, una serie ordinaria tampoco basta: hay que permitir una potencia inicial no entera o negativa. El método de Frobenius explica de dónde surgen las funciones de Bessel y cómo se decide si aparecen logaritmos.

Puntos ordinarios, singulares y singulares regulares

Considere la ecuación lineal homogénea

$$a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=0.$$

Donde $a(x)\ne0$ puede escribirse en forma normal,

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0, \qquad P=\frac ba, \qquad Q=\frac ca.$$

Un punto $x_0$ es ordinario si $P$ y $Q$ son analíticas alrededor de él. Es singular si alguna deja de serlo. El punto singular es regular cuando

$$(x-x_0)P(x) \quad\text{y}\quad (x-x_0)^2Q(x)$$

son analíticas en $x_0$. La definición limita la intensidad de las singularidades: $P$ puede tener como máximo un polo simple y $Q$ uno doble. En ese caso Frobenius suele construir al menos una solución local controlada. Si las singularidades son más fuertes, el punto es irregular y pueden aparecer comportamientos que una potencia inicial no describe.

Esta clasificación se hace después de dividir por el coeficiente principal. Por ejemplo,

$$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$$

tiene en $x=0$

$$xP(x)=1, \qquad x^2Q(x)=x^2-\nu^2,$$

ambas analíticas. El origen es singular regular. Zill presenta esta prueba como la puerta de entrada al método de Frobenius y no como una etiqueta posterior al cálculo Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 6, §§6.2-6.3, pp. 230-253 .

Serie ordinaria y alineación de índices

En un punto ordinario $x_0$ se propone

$$y=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.$$

El procedimiento exige derivar, sustituir y escribir todos los términos con la misma potencia. Después se iguala a cero cada coeficiente. Un error frecuente es cambiar el índice sin cambiar también el límite inferior; otro es imponer desde el inicio una paridad que aún no ha sido demostrada por la recurrencia.

Para la ecuación

$$y''+xy'+2y=0$$

alrededor de cero,

$$y''=\sum_{n=0}^\infty(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n,$$ $$xy'=\sum_{n=1}^\infty na_nx^n.$$

El coeficiente de $x^n$ conduce, también para $n=0$ si se interpreta el término $na_n$ como cero, a

$$(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+2)a_n=0,$$ $$a_{n+2}=-\frac{a_n}{n+1}.$$

Los coeficientes pares dependen de $a_0$ y los impares de $a_1$, lo que produce dos soluciones independientes. La recurrencia demuestra la separación por paridad; no se supuso.

La propuesta de Frobenius

Cerca de un punto singular regular, que trasladamos a $x_0=0$, se busca

$$y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n =\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}, \qquad a_0\ne0.$$

Entonces

$$y'=\sum_{n=0}^\infty(n+r)a_nx^{n+r-1},$$ $$y''=\sum_{n=0}^\infty(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}.$$

Al sustituir, la potencia más baja genera una ecuación algebraica para $r$: la ecuación indicial. Después, las potencias restantes producen una recurrencia para $a_n$. Las raíces indiciales anticipan la forma de las soluciones:

• si difieren por un número no entero, suelen obtenerse dos series de Frobenius;
• si coinciden, la segunda solución puede contener $\ln x$;
• si difieren por un entero, la segunda serie puede existir o puede requerir un logaritmo;
• si son complejas, las combinaciones reales contienen oscilaciones en $\ln x$.

La palabra “puede” importa. La diferencia entera no prueba por sí sola que aparezca un logaritmo; hay que seguir la recurrencia o usar reducción de orden.

Ejemplo elemental: Euler–Cauchy y la ecuación indicial

La ecuación

$$x^2y''+\alpha xy'+\beta y=0, \qquad x>0,$$

es equidimensional. Probar $y=x^r$ da

$$r(r-1)+\alpha r+\beta=0.$$

Ésta es exactamente su ecuación indicial. Si las raíces $r_1,r_2$ son distintas,

$$y=C_1x^{r_1}+C_2x^{r_2}.$$

Si hay una raíz doble $r$, la segunda solución es $x^r\ln x$. Esta forma también se obtiene al cambiar $x=e^t$, pues la ecuación se vuelve de coeficientes constantes en $t=\ln x$.

Por ejemplo,

$$x^2y''-3xy'+4y=0$$

tiene

$$r(r-1)-3r+4=(r-2)^2.$$

Por tanto,

$$y=x^2(C_1+C_2\ln x).$$

La restricción $x>0$ hace real el logaritmo y permite una rama de $x^r$. En $x<0$ puede plantearse otra solución real con $\ln|x|$, pero no se atraviesa el punto singular como si fuera ordinario.

Ecuación de Bessel y recurrencia de Frobenius

La ecuación de Bessel de orden $\nu$ es

$$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0.$$

Al sustituir la serie de Frobenius, el coeficiente de la potencia más baja es

$$[r(r-1)+r-\nu^2]a_0=(r^2-\nu^2)a_0.$$

Como $a_0\ne0$, la ecuación indicial es

$$r^2-\nu^2=0, \qquad r=\pm\nu.$$

Para los términos siguientes se obtiene

$$\bigl[(n+r)^2-\nu^2\bigr]a_n+a_{n-2}=0, \qquad n\ge2,$$

y el término $n=1$ suele imponer $a_1=0$. Para $r=\nu$,

$$a_n=-\frac{a_{n-2}}{n(n+2\nu)}.$$

Sólo sobreviven las potencias de la misma paridad que el término inicial. Con una normalización convencional se obtiene $J_\nu(x)$, la función de Bessel de primera especie. Cuando $\nu$ no es entero, $J_\nu$ y $J_{-\nu}$ son normalmente independientes. Para orden entero, esas dos expresiones dejan de proporcionar una base y la segunda solución se construye como $Y_\nu$, que incluye un comportamiento singular y, en ciertos casos, términos logarítmicos.

Zill y Cullen conectan esta estructura con vibraciones circulares y problemas radiales: la función especial no se introduce como un nombre nuevo para una caja negra, sino como la serie determinada por una EDO y sus condiciones Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 6, método de Frobenius y ecuación de Bessel; cap. 11, problemas ortogonales .

Ejemplo trabajado: primeros términos de $J_1$

Para $\nu=1$ elegimos la raíz $r=1$. La recurrencia es

$$a_n=-\frac{a_{n-2}}{n(n+2)}.$$

Tomando $a_0=1/2$ y $a_1=0$,

$$a_2=-\frac{a_0}{2\cdot4}=-\frac1{16},$$ $$a_4=-\frac{a_2}{4\cdot6}=\frac1{384},$$ $$a_6=-\frac{a_4}{6\cdot8}=-\frac1{18432}.$$

Como la serie completa lleva el factor $x^r=x$, resulta

$$J_1(x)=\frac x2-\frac{x^3}{16}+\frac{x^5}{384} -\frac{x^7}{18432}+\cdots.$$

Para validar un truncamiento $p_7$, se calcula el residuo

$$R(x)=x^2p_7''+xp_7'+(x^2-1)p_7.$$

Todos los términos hasta el orden construido deben cancelarse y el residuo comenzar en una potencia superior. Evaluar sólo la gráfica cerca de cero no detecta un coeficiente equivocado con la misma paridad.

Ecuación de Legendre y terminación de la serie

La ecuación de Legendre es

$$(1-x^2)y''-2xy'+\ell(\ell+1)y=0.$$

El punto $x=0$ es ordinario; $x=\pm1$ son singulares regulares. Al proponer una serie ordinaria alrededor de cero se obtiene

$$(n+2)(n+1)a_{n+2} +[\ell(\ell+1)-n(n+1)]a_n=0,$$

de donde

$$a_{n+2}= \frac{n(n+1)-\ell(\ell+1)}{(n+2)(n+1)}a_n.$$

De nuevo se separan una rama par y otra impar. Cuando $\ell$ es un entero no negativo, una de las ramas termina porque el numerador se anula en $n=\ell$. La normalización $P_\ell(1)=1$ define el polinomio de Legendre $P_\ell$.

Para $\ell=3$, la rama impar satisface

$$a_3=\frac{2-12}{6}a_1=-\frac53a_1,$$

y el siguiente coeficiente se anula. Eligiendo $a_1=-3/2$ se obtiene

$$P_3(x)=\frac12(5x^3-3x).$$

Una sustitución directa confirma

$$(1-x^2)P_3''-2xP_3'+12P_3=0.$$

La otra solución independiente no es un polinomio y presenta singularidades logarítmicas en los extremos. Las condiciones físicas o de frontera deciden cuál combinación es admisible.

Por qué aparecen estas funciones en modelos físicos

La separación de variables en ecuaciones en derivadas parciales produce EDO cuya forma depende de la geometría. En coordenadas cilíndricas, la parte radial lleva a Bessel; en problemas esféricos, la parte angular lleva a Legendre. El parámetro $\nu$ o $\ell$ no se elige por conveniencia algebraica: surge de la separación angular y de condiciones de periodicidad o regularidad.

En una membrana circular, exigir una solución radial finita en el origen descarta $Y_\nu$. Exigir desplazamiento nulo en el borde selecciona ceros de $J_\nu$, lo que cuantiza las frecuencias permitidas. En un potencial axisimétrico sobre una esfera, la regularidad en $x=\cos\theta=\pm1$ favorece los polinomios $P_\ell$. La EDO local, el comportamiento singular y la condición de frontera trabajan juntos.

Bronson y Costa proporcionan recurrencias y ejercicios para practicar estas funciones; una respuesta completa debe añadir la clasificación del punto, la independencia de las soluciones y el criterio que selecciona una rama Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: caps. 26-29, series, Frobenius, Bessel y Legendre .

Construcción de la segunda solución

Si ya se conoce una solución no nula $y_1$ de

$$y''+P(x)y'+Q(x)y=0,$$

la reducción de orden produce formalmente

$$y_2(x)=y_1(x) \int^x\frac{e^{-\int P(s)ds}}{y_1(s)^2}\,ds.$$

La fórmula se obtiene proponiendo $y_2=v y_1$, sustituyendo y reduciendo la ecuación para $v'$. Cerca de un punto singular, el integrando puede contener $1/x$; su integral genera $\ln x$. Así se explica el logaritmo que aparece con una raíz indicial repetida o con ciertas raíces separadas por un entero.

La construcción debe aplicarse en un intervalo donde $y_1$ no se anule. Si la solución conocida tiene ceros, se trabaja localmente y después se comparan continuaciones. La integral indefinida incluye términos proporcionales a $y_1$ que no crean una segunda dirección; sólo importa una elección que produzca Wronskiano no nulo.

Para la ecuación de Bessel de orden cero, $J_0$ es regular en el origen y la segunda solución $Y_0$ tiene un término dominante proporcional a $J_0(x)\ln x$. La singularidad no es un defecto de notación: representa la segunda posibilidad local permitida por la ecuación. En un dominio anular puede ser físicamente admisible; en un disco que incluye el centro suele descartarse por regularidad.

Normalización, ceros y evaluación numérica

Una EDO homogénea no fija la escala de una autofunción. Las convenciones $J_\nu$ y $P_\ell(1)=1$ permiten comparar tablas y bibliotecas, mientras un problema físico puede imponer otra normalización, como energía unitaria. Antes de comparar dos resultados se revisa si difieren sólo por una constante o realmente por la elección de rama.

Los ceros de Bessel y Legendre se usan en condiciones de frontera y reglas de cuadratura. Para localizarlos, una serie cerca del origen puede generar una primera aproximación, pero lejos del centro conviene usar evaluadores especializados o formas asintóticas. Newton requiere además la derivada y una semilla dentro de la cuenca correcta. Una prueba robusta encierra cada cero por cambio de signo, refina y sustituye el valor en la función; reportar sólo los dígitos devueltos por una biblioteca oculta el criterio de aceptación.

Las identidades de recurrencia entre órdenes ofrecen otra verificación. Si se calculan $J_{\nu-1}$, $J_\nu$ y $J_{\nu+1}$ por rutas independientes, deben satisfacer sus relaciones dentro del error declarado. Esta comprobación complementa el residuo diferencial porque prueba la coherencia entre funciones relacionadas, no únicamente una ecuación aislada.

Validación de una solución en serie

Una serie truncada no satisface exactamente la ecuación. Para controlarla:

1. identifica el centro y la distancia a la singularidad más cercana de los coeficientes;
2. conserva por separado las dos ramas determinadas por $a_0$ y $a_1$ o por las raíces indiciales;
3. calcula el residuo simbólico del truncamiento;
4. comprueba la primera potencia que no se cancela;
5. compara truncamientos sucesivos en un intervalo interior;
6. evita evaluar una serie local más allá de su radio sin continuación analítica o un método alternativo.

La recurrencia puede ser numéricamente inestable para calcular una solución dominante o mínima. En ese caso se necesitan escalamiento, recurrencia inversa o bibliotecas de funciones especiales; repetir más términos en aritmética ordinaria no garantiza más precisión.

Ejercicios de series y funciones especiales

1. Clasifica $x=0$ para $x^2y''+x(1+x)y'+(1-x)y=0$. Construye la ecuación indicial y los tres primeros coeficientes de cada rama posible.
2. Resuelve $x^2y''-xy'+y=0$ por la ecuación indicial. Decide si hay raíz doble y verifica directamente cualquier término logarítmico.
3. Para la ecuación de Bessel de orden $\nu=0$, deriva la recurrencia y calcula $J_0$ hasta $x^8$ con $a_0=1$. Sustituye el truncamiento y reporta el primer término del residuo.
4. Construye los primeros cuatro términos no nulos de $J_2$. Explica por qué la solución aceptable en $x=0$ comienza con $x^2$.
5. Usa la recurrencia de Legendre para obtener $P_0,P_1,P_2,P_4$, normalizados por $P_\ell(1)=1$. Comprueba paridad y grado.
6. Demuestra por sustitución que $P_3(x)=\tfrac12(5x^3-3x)$ satisface su EDO. Calcula además $\int_{-1}^1P_3(x)P_2(x)\,dx$ y comenta el resultado.
7. Compara, en $0\le x\le1$, tres truncamientos de $J_1$ usando residuo máximo y diferencia sucesiva. No tomes la coincidencia visual como única validación.

Frobenius convierte el comportamiento singular en un exponente calculable; Bessel y Legendre muestran cómo esa construcción local se integra con geometría y condiciones de frontera. La función especial es el resultado de una EDO bien planteada, no un símbolo que sustituye la derivación.