Problemas de frontera, funciones de Green y Sturm–Liouville

En un problema de valor inicial, todos los datos se fijan en el mismo instante y la solución avanza desde allí. En un problema con valores en la frontera, las condiciones se reparten entre extremos distintos. Esa diferencia modifica existencia, unicidad y métodos: una EDO lineal regular puede tener una solución única como problema inicial y, con ciertas condiciones de frontera, no tener solución o tener infinitas.

Condiciones de dos puntos y datos de frontera

Un problema lineal típico en $[a,b]$ es

$$L[y]=f(x),$$

con

$$L[y]=-(p(x)y')'+q(x)y, \qquad p(x)>0,$$

y condiciones separadas

$$\alpha_1y(a)+\alpha_2y'(a)=A,$$ $$\beta_1y(b)+\beta_2y'(b)=B.$$

Dirichlet fija valores de $y$; Neumann fija derivadas; Robin combina ambos. El orden dos exige dos condiciones independientes, pero ubicarlas en extremos distintos impide determinar todas las constantes inmediatamente.

La prueba de unicidad empieza con el problema homogéneo. Si $L[y]=0$ con condiciones homogéneas sólo admite $y=0$, entonces el problema no homogéneo tiene a lo sumo una solución. Si existe una solución homogénea no trivial, la unicidad falla y la existencia de la ecuación forzada requiere una condición de compatibilidad.

Por ejemplo,

$$y''+y=0, \qquad y(0)=0, \qquad y(\pi)=0$$

admite $y=C\sin x$ para cualquier $C$. Si se añade un forzamiento, no siempre puede ajustarse con las dos condiciones. Este fenómeno es la resonancia de frontera. Zill y Cullen presentan los problemas de autovalores precisamente para organizar los parámetros donde el operador homogéneo deja de ser invertible Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: caps. 10-11, problemas con valores en la frontera y Sturm–Liouville .

Ejemplo directo de un problema de frontera

Resolvamos

$$-y''=1, \qquad 0<x<1, \qquad y(0)=y(1)=0.$$

Integrar dos veces da

$$y(x)=-\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2.$$

La condición izquierda fija $C_2=0$ y la derecha $C_1=1/2$. Por tanto,

$$y(x)=\frac{x(1-x)}2.$$

La solución es no negativa y cóncava hacia abajo. La señal concuerda con $-y''=1$: si una cuerda con extremos fijos recibe una carga positiva bajo esta convención, su desplazamiento tiene ese signo. Una fórmula con signo opuesto habría sido detectada antes de sustituir.

Función de Green como inversa integral

Cuando el problema homogéneo con las condiciones dadas sólo tiene la solución trivial, puede representarse la solución como

$$y(x)=\int_a^bG(x,\xi)f(\xi)\,d\xi.$$

Para cada $\xi$, la función $G(x,\xi)$ satisface la ecuación homogénea respecto de $x$ salvo en $x=\xi$, cumple las condiciones de frontera y tiene el salto de derivada necesario para producir una delta:

$$L_xG(x,\xi)=\delta(x-\xi).$$

Si $L=-d^2/dx^2$ y las condiciones son $G(0,\xi)=G(1,\xi)=0$, la solución es lineal a cada lado de $\xi$. Continuidad y el salto

$$G_x(\xi^+,\xi)-G_x(\xi^-,\xi)=-1$$

dan

$$G(x,\xi)= \begin{cases} x(1-\xi),&0\le x\le\xi,\\ \xi(1-x),&\xi\le x\le1. \end{cases}$$

Es simétrica: $G(x,\xi)=G(\xi,x)$. Esta simetría refleja la auto-adjunción del operador con condiciones de Dirichlet.

Ejemplo trabajado con la integral de Green

Para $f(\xi)=1$,

$$y(x)=\int_0^x\xi(1-x)\,d\xi +\int_x^1x(1-\xi)\,d\xi.$$

El primer término vale $(1-x)x^2/2$ y el segundo $x(1-x)^2/2$. Sumando,

$$y(x)=\frac{x(1-x)}2,$$

la misma solución obtenida por integración directa. Las dos rutas validan el signo del salto y la partición correcta del dominio.

Para un operador general $L=-(py')'+qy$, se construyen dos soluciones homogéneas: $u$ satisface la condición izquierda y $v$ la derecha. La función de Green se forma con $u(x)v(\xi)$ a un lado y $u(\xi)v(x)$ al otro, divididos por una expresión que contiene $p(\xi)$ y el Wronskiano. En vez de memorizar el signo, se impone continuidad y se integra $L_xG=\delta$ alrededor de $x=\xi$; eso determina el salto correcto.

Zill presenta la función de Green como una forma de resolver problemas lineales de frontera y de separar el operador de la carga aplicada Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: caps. 5 y 9, problemas con valores en la frontera y métodos lineales .

Problemas regulares de Sturm–Liouville

Un problema regular de Sturm–Liouville tiene la forma

$$-(p(x)y')'+q(x)y=\lambda w(x)y, \qquad a<x<b,$$

con $p>0$, $w>0$ y coeficientes suficientemente regulares, acompañado de condiciones homogéneas auto-adjuntas. El parámetro $\lambda$ no está dado: se buscan los valores para los cuales existe una solución no trivial.

Esos valores son autovalores y las soluciones correspondientes, autofunciones. Bajo las hipótesis regulares:

• los autovalores son reales;
• pueden ordenarse y tienden a infinito;
• autofunciones de autovalores distintos son ortogonales con peso $w$;
• las autofunciones forman una base apropiada para expandir funciones de una clase amplia.

La ortogonalidad se deriva, no se postula. Si $y_m,y_n$ corresponden a $\lambda_m,\lambda_n$, multiplicamos sus ecuaciones por $y_n,y_m$ respectivamente, restamos e integramos:

$$(\lambda_m-\lambda_n) \int_a^bw(x)y_m(x)y_n(x)\,dx =\left[p(y_my_n'-y_ny_m')\right]_a^b.$$

Las condiciones auto-adjuntas anulan el término de frontera. Si $\lambda_m\ne\lambda_n$,

$$\int_a^bw(x)y_m(x)y_n(x)\,dx=0.$$

El peso pertenece al producto interno. Omitirlo cambia el espacio y puede destruir la ortogonalidad.

Ejemplo canónico: cuerda fija

Considere

$$-y''=\lambda y, \qquad y(0)=y(L)=0.$$

Si $\lambda=0$, la solución lineal y las dos fronteras obligan $y=0$. Si $\lambda<0$, escribiendo $\lambda=-\mu^2$, las soluciones hiperbólicas tampoco satisfacen ambas fronteras de forma no trivial. Para $\lambda=k^2>0$,

$$y=A\cos kx+B\sin kx.$$

La condición en cero fija $A=0$; la condición en $L$ exige

$$\sin kL=0, \qquad kL=n\pi.$$

Así,

$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \qquad y_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad n=1,2,\ldots.$$

Las frecuencias naturales de una cuerda aparecen como la raíz cuadrada de estos autovalores multiplicada por los parámetros físicos. Las condiciones de frontera seleccionan un conjunto discreto; la EDO sola permitía cualquier $k$.

Cociente de Rayleigh y estimaciones

Multiplicando la ecuación de Sturm–Liouville por $y$, integrando por partes y usando condiciones que anulan el borde, se obtiene

$$\lambda= \frac{\displaystyle\int_a^b[p(x)y'(x)^2+q(x)y(x)^2],dx} {\displaystyle\int_a^bw(x)y(x)^2\,dx}$$

para una autofunción. El cociente de Rayleigh permite estimar el primer autovalor usando funciones de prueba que satisfacen las condiciones esenciales. Si $q\ge0$, muestra además que los autovalores son no negativos en configuraciones estándar.

Una función de prueba produce una cota o aproximación bajo hipótesis variacionales específicas; no prueba que sea la autofunción exacta. Mejorar una familia de prueba y observar convergencia vuelve la estimación más informativa.

Series de Fourier como expansión en autofunciones

En $[-L,L]$, una función puede expandirse formalmente como

$$f(x)\sim\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\frac{n\pi x}{L} +b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right],$$

con

$$a_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,$$ $$b_n=\frac1L\int_{-L}^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

Las fórmulas son proyecciones ortogonales. En $[0,L]$, las condiciones de Dirichlet conducen a una serie de senos,

$$f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad b_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

Las condiciones de Neumann conducen a cosenos e incluyen el modo constante.

Ejemplo trabajado: serie seno de una rampa

Para $f(x)=x$ en $(0,L)$,

$$b_n=\frac2L\int_0^Lx\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

Integrando por partes,

$$b_n=\frac{2L(-1)^{n+1}}{n\pi}.$$

Entonces

$$x\sim\frac{2L}{\pi} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}n \sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad 0<x<L.$$

La extensión seno es impar y periódica; tiene saltos en los extremos de los periodos. En puntos interiores converge a $x$ y en un salto converge al promedio de los límites laterales. La oscilación de Gibbs cerca del salto no desaparece en amplitud al añadir términos, aunque se concentra en una región más estrecha.

Bronson y Costa ofrecen ejercicios de coeficientes y series; la lectura como proyección de Sturm–Liouville explica por qué cambian las bases cuando cambian las fronteras Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: caps. 30-33, series de Fourier y problemas de frontera .

Convergencia, energía y truncamiento modal

La igualdad entre una función y su serie debe acompañarse del sentido de convergencia. Para funciones cuadrado integrables, las sumas parciales convergen en norma $L^2$ bajo la teoría apropiada; eso controla energía media, no necesariamente el error máximo en cada punto. Con regularidad adicional y compatibilidad en los extremos se obtiene convergencia puntual o uniforme más fuerte. En una discontinuidad, la serie converge al promedio lateral y no al valor arbitrariamente asignado en ese punto.

La identidad de Parseval relaciona la norma de la función con la suma de cuadrados de sus coeficientes. En una base ortonormal,

$$\|f\|^2=\sum_n|f_n|^2.$$

Para una suma truncada, la energía de la cola permite medir cuánto contenido quedó fuera. Sin embargo, una cola pequeña en $L^2$ puede coexistir con un error localizado cerca de una discontinuidad. Por eso un informe modal combina norma integral, error máximo lejos de saltos y comportamiento de los coeficientes.

La regularidad se refleja en la rapidez de decaimiento: funciones suaves y compatibles con la extensión elegida tienen coeficientes que caen con rapidez; saltos o esquinas producen colas algebraicas más lentas. Antes de aumentar miles de modos conviene revisar si la base respeta las fronteras y la simetría del problema. Una mala extensión puede introducir discontinuidades artificiales y hacer ineficiente una expansión que, con otra familia de autofunciones, sería compacta.

Resolver una carga mediante autofunciones

Si $L[y_n]=\lambda_nw y_n$ y las autofunciones son ortogonales, se expande

$$f=\sum_nf_ny_n, \qquad y=\sum_nc_ny_n.$$

Al sustituir $L[y]=f$ se obtiene, formalmente,

$$c_n=\frac{f_n}{\lambda_n}$$

si ningún $\lambda_n$ relevante es cero. Esta división explica por qué los modos de autovalor pequeño dominan ciertas respuestas y por qué un autovalor cero exige compatibilidad.

Para $-y''=f$ con Dirichlet en $[0,L]$, la expansión seno da

$$y(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n}{(n\pi/L)^2} \sin\frac{n\pi x}{L}.$$

La misma inversa puede escribirse con la función de Green. De hecho,

$$G(x,\xi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{2/L}{(n\pi/L)^2} \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{n\pi\xi}{L}.$$

La forma por tramos y la forma espectral describen el mismo operador inverso desde dos perspectivas.

Compatibilidad en fronteras de Neumann

Considere

$$-y''=f(x), \qquad y'(0)=y'(L)=0.$$

Integrar la ecuación da

$$\int_0^Lf(x)\,dx =-y'(L)+y'(0)=0.$$

Ésta es una condición necesaria de existencia. Si se cumple, la solución no es única: sumar una constante no cambia la ecuación ni las derivadas de frontera. Se recupera unicidad imponiendo, por ejemplo, media cero. El modo constante es una autofunción con $\lambda_0=0$; la condición de compatibilidad exige que $f$ sea ortogonal a ese núcleo.

Este ejemplo reúne las tres posibilidades que un curso debe distinguir: solución única, ausencia de solución e infinitas soluciones.

Procedimiento y validación

1. Identifica operador, intervalo y tipo de condiciones.
2. Resuelve primero el problema homogéneo con fronteras homogéneas.
3. Comprueba si el operador tiene núcleo; si lo tiene, busca compatibilidad.
4. Elige solución directa, disparo, Green o expansión espectral según el objetivo.
5. Verifica la EDO y ambas fronteras por separado.
6. Si usas una función de Green, comprueba continuidad, salto y simetría cuando corresponda.
7. Si usas una serie, mide residuo interior y error de frontera al aumentar el número de modos.

Ejercicios de frontera y espectro

1. Resuelve $-y''=x$ en $[0,1]$ con $y(0)=y(1)=0$ por integración directa y por la función de Green. Compara las expresiones.
2. Construye la función de Green para $-y''+y=f$ con Dirichlet en $[0,1]$. Verifica continuidad, salto de derivada y simetría.
3. Determina para qué valores de $\lambda$ el problema $-y''=\lambda y$, $y'(0)=y'(L)=0$ tiene soluciones no triviales. Incluye el modo cero y normaliza las autofunciones.
4. Demuestra la ortogonalidad de dos autofunciones de un problema de Sturm–Liouville con condiciones Robin homogéneas auto-adjuntas.
5. Calcula la serie seno de $f(x)=1$ en $(0,L)$. Usa los coeficientes para resolver $-y''=1$ con Dirichlet y compara con $x(L-x)/2$.
6. Plantea $-y''=1$ con Neumann homogéneo. Usa la condición integral para explicar por qué no hay solución. Cambia la carga por $f(x)=x-L/2$ y encuentra una solución de media cero.
7. Estima el primer autovalor de $-y''+xy=\lambda y$ en $[0,1]$ con Dirichlet usando dos funciones de prueba. Compara cocientes de Rayleigh sin afirmar exactitud.

Los problemas de frontera convierten las condiciones físicas en parte del operador. Green describe su inversa como respuesta localizada; Sturm–Liouville la descompone en modos; Fourier calcula las proyecciones. La cobertura completa exige relacionar esas tres representaciones y comprobar cuándo la inversa existe.