Sistemas lineales, modos y exponencial matricial

Un sistema lineal reúne varias ecuaciones de primer orden en una sola regla matricial. Esa escritura no es sólo compacta: permite separar direcciones, escalas temporales y tipos de movimiento. La matriz indica dónde se contrae el estado, dónde se expande y si aparece rotación. En el sistema no lineal, la misma lectura reaparecerá cerca de cada equilibrio mediante el jacobiano.

Representación matricial de sistemas lineales

Sea $\mathbf x=(x_1,\ldots,x_n)^T$. Un sistema autónomo lineal homogéneo se escribe

$$\dot{\mathbf x}=A\mathbf x, \qquad \mathbf x(0)=\mathbf x_0.$$

Cada columna de $A$ es la contribución de una coordenada a la velocidad completa. En dos dimensiones,

$$\begin{pmatrix}\dot x\\\dot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},$$

de modo que $\dot x=ax+by$ y $\dot y=cx+dy$. El origen siempre es equilibrio. Si $A$ es invertible, es el único; si $A$ tiene núcleo no trivial, todos los vectores del núcleo son equilibrios.

La linealidad produce superposición: si $\mathbf x_1$ y $\mathbf x_2$ son soluciones, también lo es $\alpha\mathbf x_1+\beta\mathbf x_2$. Esto permite construir la solución general combinando modos independientes. Hirsch, Smale y Devaney desarrollan primero esa idea en el plano y luego la extienden a dimensiones superiores Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 2-3, pp. 21-60; caps. 5-6, pp. 73-138 .

Solución mediante la exponencial matricial

La serie escalar de la exponencial sugiere definir

$$e^{tA}=I+tA+\frac{t^2A^2}{2!}+\frac{t^3A^3}{3!}+\cdots.$$

La serie converge para toda matriz finita. Derivar término a término da

$$\frac{d}{dt}e^{tA}=Ae^{tA}=e^{tA}A,$$

y $e^{0A}=I$. Por consiguiente,

$$\mathbf x(t)=e^{tA}\mathbf x_0$$

satisface tanto la ecuación como el dato inicial. La matriz fundamental $e^{tA}$ transporta simultáneamente todas las condiciones iniciales. Además,

$$e^{(t+s)A}=e^{tA}e^{sA},$$

propiedad que expresa la composición temporal del flujo lineal.

No se calcula la serie término a término salvo en casos especiales. Los valores propios, los bloques de Jordan o algoritmos numéricos de escalado y cuadrado permiten evaluarla con más eficacia.

Zill presenta la matriz exponencial después de resolver los tres casos espectrales —valores propios reales distintos, repetidos y complejos—, orden que permite comprobar cada fórmula contra la solución modal Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.4, pp. 311-337 .

Valores propios y modos elementales

Si $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$, entonces la recta generada por $\mathbf v$ es invariante y

$$\mathbf x(t)=e^{\lambda t}\mathbf v$$

es una solución. La parte real de $\lambda$ controla crecimiento o decaimiento; una parte imaginaria produce oscilación. Cuando $A=PDP^{-1}$ con $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$,

$$e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}.$$

El cambio $\mathbf x=P\mathbf z$ lleva el sistema a $\dot{\mathbf z}=D\mathbf z$. En esas coordenadas, cada componente satisface $z_j'=\lambda_j z_j$.

Un cambio de base deforma longitudes y ángulos, pero no crea ni destruye la contracción asintótica. Sí puede hacer que un retrato se vea casi paralelo o muy inclinado. Por eso la geometría cualitativa debe distinguirse de la escala del dibujo.

Equilibrio silla con ejes inclinados

Consideremos

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}.$$

Sus valores propios son $\lambda_1=1$ y $\lambda_2=-2$. Para $\lambda_1$, un vector propio es $\mathbf v_1=(1,0)^T$. Para $\lambda_2$ se resuelve

$$\begin{pmatrix}3&2\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=0,$$

por lo que puede tomarse $\mathbf v_2=(-2,3)^T$. La solución general es

$$\mathbf x(t)=c_1e^t\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} +c_2e^{-2t}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}.$$

La recta $y=0$ es la dirección inestable; la recta $y=-3x/2$ es la estable. Si $c_1\neq0$, el segundo modo decae y la trayectoria termina alineándose con el eje horizontal al avanzar el tiempo. Si $c_1=0$, permanece en la variedad estable y converge al origen. Hacia tiempos negativos ocurre la separación inversa.

También podemos obtener la solución por eliminación. Como $y'= -2y$, $y=y_0e^{-2t}$. Luego

$$x'-x=2y_0e^{-2t}.$$

El factor integrante $e^{-t}$ produce

$$x(t)=\left(x_0+\frac{2y_0}{3}\right)e^t-\frac{2y_0}{3}e^{-2t},$$

que coincide con la descomposición modal. Dos rutas independientes comprueban el resultado.

Matrices defectuosas y factores polinomiales

No toda matriz posee una base completa de vectores propios. Para

$$A=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix} =\lambda I+N, \qquad N^2=0,$$

las matrices $\lambda I$ y $N$ conmutan, así que

$$e^{tA}=e^{\lambda t}e^{tN} =e^{\lambda t}(I+tN) =e^{\lambda t} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}.$$

Aunque el exponencial $e^{\lambda t}$ domina asintóticamente, aparece un factor $t$. Si $\lambda<0$, el origen sigue siendo asintóticamente estable; si $\lambda=0$, el término lineal puede crecer. Repetir “todos los valores propios son cero” no basta para decidir.

Hirsch, Smale y Devaney separan cuidadosamente los casos de valores propios distintos, complejos y repetidos porque producen retratos planos diferentes Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 3, §§3.1-3.3, pp. 39-49 .

Pares complejos: decaimiento y giro

Una matriz real puede tener valores propios $\alpha\pm i\beta$. En una base real adecuada toma la forma

$$\begin{pmatrix}\alpha&-\beta\\\beta&\alpha\end{pmatrix}.$$

Su exponencial es

$$e^{\alpha t} \begin{pmatrix} \cos\beta t&-\sin\beta t\\ \sin\beta t&\cos\beta t \end{pmatrix}.$$

$\alpha$ cambia el radio y $\beta$ fija la velocidad angular. Si $\alpha<0$ hay un foco estable; si $\alpha>0$, un foco inestable; si $\alpha=0$, un centro lineal. El sentido de giro no se deduce de los valores propios: se inspecciona el campo en un punto, por ejemplo $(1,0)$.

Strogatz presenta esta clasificación en términos de geometría del plano, mientras Slotine y Li la conectan con la construcción práctica de retratos de fase Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 5, §§5.1-5.2, pp. 125-139 Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1-2.4, pp. 15-32 .

Clasificación plana mediante traza y determinante

Para una matriz $2\times2$, el polinomio característico es

$$\lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0, \qquad \tau=\operatorname{tr}A, \quad \Delta=\det A.$$

Si $\Delta<0$, los valores propios reales tienen signos opuestos: hay una silla. Si $\Delta>0$ y $\tau<0$, ambas partes reales son negativas; si $\tau>0$, son positivas. El discriminante $\tau^2-4\Delta$ distingue nodos reales de focos complejos. La frontera $\Delta=0$ contiene un valor propio cero, y la parábola $\tau^2=4\Delta$ contiene valores repetidos.

La traza y el determinante no revelan la orientación de los vectores propios ni el condicionamiento de la base. Son un mapa de tipos, no la solución completa.

Estabilidad asintótica y crecimiento transitorio

Si todos los valores propios tienen parte real negativa, $e^{tA}\to0$. Sin embargo, una matriz no normal —aquella que no conmuta con su traspuesta conjugada— puede amplificar ciertas perturbaciones antes de hacerlas decaer. Por ejemplo,

$$A=\begin{pmatrix}-1&K\\0&-2\end{pmatrix}$$

tiene espectro fijo $-1,-2$, pero un $K$ grande transfiere temporalmente la segunda coordenada a la primera. La norma $\|e^{tA}\|$ puede crecer por encima de uno.

Este fenómeno explica por qué el espectro determina el límite asintótico pero no toda la respuesta a corto plazo. También advierte contra bases de vectores propios casi paralelos: la matriz $P$ puede estar mal condicionada y amplificar errores de datos o redondeo.

Subespacios invariantes y cambio de volumen

Una recta propia es el ejemplo más simple de subespacio invariante. En dimensión mayor, un plano $W$ es invariante si $A\mathbf w\in W$ para todo $\mathbf w\in W$; entonces una solución que empieza en $W$ nunca sale de él. Esta propiedad permite estudiar por bloques un sistema aun cuando no se diagonalice por completo. Los subespacios estable e inestable reúnen los modos con parte real negativa y positiva, respectivamente.

La exponencial también indica cómo cambia un volumen de condiciones iniciales. La identidad de Liouville para una matriz constante da

$$\det(e^{tA})=e^{t\operatorname{tr}A}.$$

En dos dimensiones, un pequeño paralelogramo transportado por el flujo multiplica su área por ese factor. Traza negativa implica contracción neta de área; traza positiva, expansión. Esto no obliga a que todas las distancias se comporten igual: una silla puede contraer área y expandir una dirección. El determinante de $A$, por su parte, clasifica el espectro estático; no debe confundirse con el determinante de la matriz de flujo $e^{tA}$.

Para comprobar la identidad, diagonaliza cuando sea posible: el determinante de $e^{tD}$ es el producto $e^{t\lambda_j}$, igual a $e^{t\sum_j\lambda_j}$. La continuidad extiende el resultado a matrices defectuosas.

Forzamiento y variación de constantes

Para

$$\dot{\mathbf x}=A\mathbf x+\mathbf g(t),$$

se propone $\mathbf x=e^{tA}\mathbf u(t)$. Al derivar y cancelar $Ae^{tA}\mathbf u$ queda

$$e^{tA}\mathbf u'=\mathbf g(t),$$

por lo que

$$\mathbf x(t)=e^{(t-t_0)A}\mathbf x_0 +\int_{t_0}^{t}e^{(t-s)A}\mathbf g(s)\,ds.$$

El primer término es la respuesta libre y el segundo acumula el forzamiento. La fórmula generaliza el factor integrante escalar y anticipa las funciones de Green. Si $\mathbf g$ es periódico y el sistema es estable, la respuesta libre decae y queda un régimen periódico; una resonancia puede modificar radicalmente esa conclusión cuando hay modos no amortiguados.

Una matriz determina primero tasas y direcciones mediante su espectro; el retrato de fase es la traducción geométrica de esos datos. Los valores propios reales separan direcciones de contracción o expansión, mientras que un par complejo añade rotación. En matrices no diagonalizables, el término polinómico de la exponencial explica los transitorios que no aparecen al mirar sólo los valores propios. Fuchs enlaza esta clasificación lineal con la aproximación local de sistemas no lineales Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 3, §§3.2-3.3, pp. 42-52 .

Ejercicios: modos, retratos y transitorios

1. Calcula $e^{tA}$ para $A=\begin{pmatrix}-1&3\\0&-1\end{pmatrix}$ y verifica la derivada en $t=0$.
2. Clasifica $A=\begin{pmatrix}0&-4\\1&-2\end{pmatrix}$ mediante traza y determinante; determina además el sentido de giro.
3. Construye una matriz real con valores propios $-2\pm3i$ y un retrato cuya rotación sea horaria.
4. Compara $\|e^{tA}\|_2$ para $A=\begin{pmatrix}-1&K\\0&-2\end{pmatrix}$ con $K=1,10,100$. Localiza el máximo numérico.
5. Resuelve por variación de constantes $\mathbf x'=A\mathbf x+(\cos t,0)^T$ para una matriz estable que elijas.
6. Explica por qué dos matrices semejantes tienen la misma estabilidad asintótica aunque sus retratos euclidianos no conserven ángulos.

La clasificación lineal debe poder reconstruirse desde $e^{tA}$ y no memorizarse como una tabla. Esa reconstrucción permite interpretar el oscilador de segundo orden, donde posición y velocidad forman un sistema y los distintos regímenes de amortiguamiento son regiones del mismo espectro.