Ecuaciones de orden superior: osciladores, series y Laplace

Una ecuación de segundo orden describe aceleración. Para analizarla como sistema dinámico se necesita registrar, además de la posición, la velocidad. Ese aumento de dimensión no es una formalidad: hace visibles la energía, el sentido del movimiento y los regímenes de amortiguamiento. También aclara por qué dos cuerpos en la misma posición pueden evolucionar de forma distinta si sus velocidades no coinciden.

Representación de estado con posición y velocidad

Sea

$$\ddot x=F(t,x,\dot x).$$

Definimos $v=\dot x$. Entonces

$$\dot x=v,\qquad \dot v=F(t,x,v).$$

Un dato inicial completo es $(x(t_0),v(t_0))$. Dar sólo la posición no selecciona una trayectoria. Hirsch, Smale y Devaney presentan esta conversión al iniciar los sistemas planos y muestran que una EDO lineal de segundo orden queda codificada por una matriz $2\times2$ Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1-2.2, pp. 23-25 .

Para una ecuación de orden $n$, se introducen $x_1=x$, $x_2=\dot x$, …, $x_n=x^{(n-1)}$. El resultado es un sistema de $n$ ecuaciones de primer orden. Esta representación permite usar existencia, unicidad, matrices fundamentales y métodos numéricos diseñados para sistemas.

Ecuación característica y raíces múltiples

Una ecuación lineal de orden $n$ tiene la forma

$$a_n(t)y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t), \qquad a_n(t)\ne0.$$

En un problema inicial se fijan $y(t_0),y'(t_0),\ldots,y^{(n-1)}(t_0)$: hacen falta $n$ datos porque el espacio de soluciones de la ecuación homogénea tiene dimensión $n$. Cuando los coeficientes son constantes, probar $y=e^{rt}$ lleva al polinomio característico

$$p(r)=a_nr^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0.$$

Una raíz real simple $r$ produce $e^{rt}$; una raíz real de multiplicidad $m$ produce $e^{rt},te^{rt},\ldots,t^{m-1}e^{rt}$; un par $\alpha\pm i\beta$ produce $e^{\alpha t}\cos\beta t$ y $e^{\alpha t}\sin\beta t$, con los factores de $t$ que requiera su multiplicidad. El número total de funciones independientes debe ser $n$.

Por ejemplo,

$$y'''-y''-y'+y=0$$

tiene

$$p(r)=r^3-r^2-r+1=(r-1)^2(r+1).$$

Por tanto,

$$y(t)=(C_1+C_2t)e^t+C_3e^{-t}.$$

Omitir $te^t$ dejaría sólo dos grados de libertad y haría imposible satisfacer tres datos iniciales arbitrarios. Si $g(t)\ne0$, la solución se separa como $y=y_h+y_p$: $y_h$ conserva la información de los datos y $y_p$ responde al forzamiento. Coeficientes indeterminados sirve para familias cerradas bajo derivación; variación de parámetros no exige esa forma, pero requiere una base fundamental y resolver integrales. Zill desarrolla esta cadena, incluida la reducción de orden y Cauchy–Euler, antes de aplicarla a osciladores Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 4, §§4.1–4.7, pp. 118–168 .

Transformada de Laplace con datos iniciales

Para una función de crecimiento controlado en $t\ge0$,

$$\mathcal L\{f\}(s)=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.$$

La propiedad decisiva para problemas iniciales es

$$\mathcal L\{y^{(n)}\} =s^nY(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0).$$

Derivar en el tiempo se convierte en multiplicar por $s$, pero aparecen todos los datos iniciales. Después de despejar $Y(s)$, se usan fracciones parciales, convolución o propiedades de traslación para regresar al tiempo. El método es especialmente claro con entradas por tramos, escalones e impulsos; no reemplaza la teoría de existencia ni vuelve innecesario comprobar la solución.

Considera el sistema inicialmente en reposo

$$y''+3y'+2y=H(t-1),\qquad y(0)=y'(0)=0,$$

donde $H$ es el escalón de Heaviside. Al transformar,

$$(s^2+3s+2)Y(s)=\frac{e^{-s}}s,$$

de modo que

$$Y(s)=e^{-s}\frac{1}{s(s+1)(s+2)} =e^{-s}\left(\frac{1}{2s}-\frac1{s+1}+\frac{1}{2(s+2)}\right).$$

El factor $e^{-s}$ desplaza la respuesta una unidad:

$$y(t)=H(t-1)\left[ \frac12-e^{-(t-1)}+\frac12e^{-2(t-1)} \right].$$

Antes de $t=1$ no hay respuesta. En el instante de conexión, $y$ y $y'$ son continuas; al sustituir la expresión posterior se recupera la ecuación con forzamiento constante. Esta verificación temporal detecta signos equivocados en las fracciones parciales o en la traslación. La definición, las transformadas de derivadas y los desplazamientos usados aquí corresponden al desarrollo de Zill Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1–7.5, pp. 256–294 .

Solución por series de potencias

Cuando los coeficientes varían y son analíticos cerca de $t_0$, se busca

$$y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(t-t_0)^n.$$

Se derivan las series, se alinean potencias iguales y se iguala cada coeficiente. Los primeros coeficientes libres codifican los datos iniciales; los demás quedan determinados por una recurrencia. El radio de convergencia no se decide mirando los primeros términos: depende de la regularidad de los coeficientes y de sus singularidades.

Para ver el mecanismo sin ocultarlo en una fórmula especial, toma

$$y''+ty=0$$

alrededor de $t=0$. Con $y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n$,

$$y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}t^n, \qquad ty=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}t^n.$$

El coeficiente constante da $a_2=0$ y, para $n\ge1$,

$$a_{n+2}=-\frac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}.$$

Así,

$$y(t)=a_0\left(1-\frac{t^3}{6}+\frac{t^6}{180}-\cdots\right) +a_1\left(t-\frac{t^4}{12}+\frac{t^7}{504}-\cdots\right).$$

Los dos parámetros libres son $a_0=y(0)$ y $a_1=y'(0)$, como exige una ecuación de segundo orden. Para comprobar un truncamiento se sustituye en la EDO y se identifica la primera potencia cuyo residuo no se anuló. Zill separa el repaso algebraico de series del procedimiento de solución en puntos ordinarios Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 6, §6.1, pp. 220–230 .

Regímenes del oscilador libre

El modelo masa-resorte-amortiguador es

$$m\ddot x+c\dot x+kx=0, \qquad m>0,\quad k>0,\quad c\ge0.$$

Con la frecuencia natural $\omega_0=\sqrt{k/m}$ y la razón de amortiguamiento

$$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}},$$

el tiempo $s=\omega_0t$ produce

$$x''+2\zeta x'+x=0.$$

La ecuación característica es

$$r^2+2\zeta r+1=0, \qquad r=-\zeta\pm\sqrt{\zeta^2-1}.$$

Una sola razón adimensional separa los regímenes. Para $0<\zeta<1$, las raíces son complejas y hay oscilación amortiguada. Para $\zeta=1$, la raíz doble marca amortiguamiento crítico. Para $\zeta>1$, ambas raíces son reales negativas y el retorno es sobreamortiguado. Si $\zeta=0$, aparecen raíces imaginarias puras y la oscilación conserva amplitud.

Fuchs deriva estos casos dentro del plano de fase y los conecta con la clasificación de sistemas lineales bidimensionales Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 3, §§3.1-3.2, pp. 37-46 .

Retorno crítico sin oscilación

Tomemos $m=1$, $k=4$ y $c=4$. Entonces $\omega_0=2$ y $\zeta=1$. La ecuación es

$$\ddot x+4\dot x+4x=0,$$

con raíz doble $r=-2$. La solución general no es una combinación de dos exponenciales idénticas; el segundo modo incluye un factor temporal:

$$x(t)=(C_1+C_2t)e^{-2t}.$$

Si $x(0)=1$ y $\dot x(0)=0$, entonces $C_1=1$. Al derivar,

$$\dot x=e^{-2t}\left[C_2-2(C_1+C_2t)\right],$$

y el dato de velocidad da $C_2=2$. Por tanto,

$$x(t)=(1+2t)e^{-2t},\qquad v(t)=-4te^{-2t}.$$

Para $t>0$, $x$ decrece desde uno sin cambiar de signo y $v<0$. El sistema vuelve al equilibrio tan rápido como permite la frontera entre focos y nodos sin introducir oscilaciones. La frase “amortiguamiento crítico es el retorno más rápido” necesita ese contexto: se compara una familia con $m$ y $k$ fijos y con una clase específica de condiciones iniciales.

Energía del oscilador

Cuando $c=0$, multiplicar

$$m\ddot x+kx=0$$

por $\dot x$ da

$$\frac{d}{dt}\left(\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2\right)=0.$$

La energía

$$E(x,v)=\frac12mv^2+\frac12kx^2$$

es constante. Sus niveles son elipses en el plano $(x,v)$. Si se agrega amortiguamiento,

$$\dot E=m v\dot v+kx\dot x=-cv^2\le0.$$

Las órbitas ya no permanecen en una elipse: cruzan niveles hacia energías menores y convergen al origen. El cálculo local de $\dot E$ entrega una conclusión global sobre la imposibilidad de que la energía aumente.

No toda disminución implica convergencia inmediata. Si $\dot E$ se anula en un conjunto grande, hay que estudiar qué trayectorias pueden permanecer allí. Esta observación anticipa el principio de invariancia que se usa en estabilidad no lineal.

Potencial periódico del péndulo

Sin amortiguamiento ni forzamiento, el péndulo adimensional satisface

$$\theta''+\sin\theta=0.$$

Su energía es

$$E(\theta,\omega)=\frac12\omega^2+1-\cos\theta, \qquad \omega=\theta'.$$

Para $0<E<2$, los niveles cerrados rodean equilibrios estables y corresponden a libraciones. Para $E>2$, el ángulo rota. El nivel $E=2$ contiene separatrices que conectan equilibrios inestables. La aproximación $\sin\theta\approx\theta$ reproduce el oscilador armónico sólo cerca de $\theta=0$; no puede describir rotaciones ni separatrices.

Strogatz desarrolla esta lectura del péndulo mediante sistemas conservativos y plano de fase Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 6, §§6.5-6.7, pp. 160-173 .

Respuesta a forzamiento periódico

Para

$$m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\cos(\Omega t),$$

la respuesta es suma de un transitorio y una solución periódica. Se busca esta última como la parte real de $Xe^{i\Omega t}$. Al sustituir,

$$(-m\Omega^2+ic\Omega+k)X=F_0,$$

de modo que la amplitud es

$$|X|=\frac{F_0}{ \sqrt{(k-m\Omega^2)^2+c^2\Omega^2}}$$

y el desfase satisface

$$\tan\phi=\frac{c\Omega}{k-m\Omega^2},$$

con el cuadrante elegido de acuerdo con los signos. A baja frecuencia, la respuesta sigue casi en fase al forzamiento y su amplitud se aproxima a $F_0/k$. A alta frecuencia, domina la inercia y la amplitud cae como $\Omega^{-2}$.

Si $c=0$ y $\Omega=\omega_0$, el ansatz periódico falla porque el forzamiento coincide con un modo libre. Una solución particular contiene $t\sin(\omega_0t)$ y su amplitud crece. Con $c>0$ aparece un pico finito; su máximo no está exactamente en $\omega_0$ salvo en el límite de amortiguamiento pequeño.

La secuencia de Zill distingue movimiento libre no amortiguado, libre amortiguado y forzado antes de construir el circuito análogo; se usa aquí para conservar las unidades y las condiciones iniciales en cada transición Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 5, §§5.1.1-5.1.4, pp. 182-198 . Los problemas resueltos de Bronson y Costa ofrecen comprobaciones adicionales para raíces repetidas y forzamientos resonantes Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: caps. 9 y 11-14, ecuaciones lineales de segundo orden y aplicaciones .

Respuesta impulsiva en posición y velocidad

Una fuerza concentrada en $t=t_0$ se idealiza como $J\delta(t-t_0)$, donde $J$ tiene unidades de impulso. En

$$m\ddot x+c\dot x+kx=J\delta(t-t_0),$$

se integra desde $t_0-\varepsilon$ hasta $t_0+\varepsilon$. Los términos con $x$ y $\dot x$ aportan integrales que desaparecen cuando $\varepsilon\to0$, mientras

$$m\int_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon}\ddot x\,dt =m\,[\dot x(t_0^+)-\dot x(t_0^-)].$$

Por tanto,

$$x(t_0^+)=x(t_0^-),\qquad \dot x(t_0^+)-\dot x(t_0^-)=\frac{J}{m}.$$

La masa no salta de posición, pero su velocidad sí. Para un oscilador sin amortiguamiento que estaba en reposo, la respuesta posterior es

$$x(t)=\frac{J}{m\omega_0} \sin\!\bigl(\omega_0(t-t_0)\bigr)H(t-t_0).$$

La misma respuesta aparece al multiplicar en Laplace por $e^{-st_0}$ o al convolucionar la fuerza con la respuesta impulsiva. Esta coincidencia conecta el balance mecánico, la discontinuidad correcta y el método de transformadas. Thornton y Marion desarrollan osciladores lineales hasta la respuesta a fuerzas impulsivas antes de pasar a oscilaciones no lineales Thornton, 2004 Stephen T. Thornton y Jerry B. Marion (2004) Classical Dynamics of Particles and Systems 5.ª ed. · Brooks/Cole, Thomson Learning Ubicación consultada: cap. 3, §§3.2–3.9, pp. 100–137; cap. 4, §§4.1–4.4, pp. 144–159 .

Definiciones de resonancia

Puede llamarse frecuencia resonante a la que maximiza desplazamiento, velocidad, potencia absorbida u otra salida. Esas frecuencias no siempre coinciden. Para el desplazamiento del oscilador amortiguado, el máximo interior ocurre en

$$\Omega_r=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}$$

cuando $\zeta<1/\sqrt2$. Si el amortiguamiento es mayor, la amplitud de desplazamiento decrece desde frecuencia cero y no hay pico interior. Informar sólo “hay resonancia” omite la variable medida y el régimen de parámetros.

La energía promedio disipada por ciclo es proporcional a $c\langle v^2\rangle$. Su máximo responde a otro balance. En una aplicación se debe especificar qué observable se optimiza y con qué normalización.

Amplitud y periodo en osciladores no lineales

Una ecuación de Liénard,

$$\ddot x+f(x)\dot x+g(x)=0,$$

puede disipar energía en unas regiones y suministrarla en otras. El oscilador de van der Pol,

$$\ddot x-\mu(1-x^2)\dot x+x=0, \qquad \mu>0,$$

tiene amortiguamiento efectivo negativo cerca del origen y positivo para amplitudes grandes. Las trayectorias pequeñas ganan energía; las grandes la pierden. Ese balance puede seleccionar un ciclo límite estable.

Para $\mu$ pequeño, el movimiento es casi sinusoidal y la amplitud cambia lentamente. Para $\mu$ grande, alterna tramos lentos y saltos rápidos: una oscilación de relajación. Fuchs compara van der Pol, Rayleigh y formas híbridas, y Strogatz estudia sistemas de Liénard y aproximaciones débiles Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 3, §3.8, pp. 66-70 Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 7, §§7.4-7.6, pp. 212-229 .

Datos, fases y comprobaciones

Un oscilador de segundo orden requiere dos condiciones iniciales. En el plano de fase se debe declarar el orden de coordenadas —por ejemplo $(x,v)$— y las escalas usadas. Cambiar $v$ por $v/\omega_0$ convierte niveles de energía elípticos en círculos para el caso armónico, pero esa mejora visual procede de una transformación explícita.

Una solución o simulación se comprueba con propiedades estructurales:

• en el sistema conservativo, $E(t)$ debe permanecer constante dentro del error;
• con $c>0$ y sin forzamiento, $E$ no debe aumentar;
• en el régimen lineal estable, el transitorio debe decaer con las tasas del espectro;
• bajo forzamiento periódico estable, la respuesta tardía debe compartir la frecuencia externa.

Un paso numérico que aumenta sistemáticamente la energía del oscilador amortiguado contradice el modelo, aunque la curva parezca suave.

Al escribir un oscilador de segundo orden como sistema plano, posición y velocidad se vuelven coordenadas del estado. En el caso armónico, la energía constante produce elipses; el amortiguamiento las convierte en espirales hacia el equilibrio. El péndulo introduce separatrices y los sistemas de Liénard pueden sostener ciclos límite, de modo que una sola función sinusoidal ya no describe la dinámica global. Las construcciones de plano de fase de Slotine y Li permiten estudiar estos casos aun sin fórmula cerrada Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: cap. 2, §§2.2-2.6, pp. 23-36 .

Ejercicios: resortes, resonancia y ciclos límite

1. Convierte $m\ddot x+c\dot x+kx=0$ en sistema, calcula su matriz y recupera los tres regímenes con traza y determinante.
2. Resuelve el caso crítico con $x(0)=0$, $v(0)=1$ y localiza el máximo desplazamiento.
3. Demuestra que los niveles de energía del oscilador armónico son elipses y encuentra sus semiejes.
4. Calcula el periodo del péndulo como integral de energía y explica por qué crece al acercarse a la separatriz.
5. Deriva la amplitud compleja del oscilador forzado y compara el máximo de desplazamiento con el de velocidad.
6. Integra van der Pol para tres amplitudes iniciales y comprueba si convergen al mismo ciclo. Repite con dos pasos temporales.

El oscilador puede estudiarse como EDO de segundo orden, sistema plano, problema espectral y balance de energía. En el caso no lineal, el jacobiano y las nulclinas extienden esa lectura más allá de una matriz constante.