Existencia, unicidad y dependencia de las soluciones

Un campo de flechas sólo representa una evolución determinista si por cada estado pasa una solución y esa solución es única. La continuidad del campo, la regularidad respecto del estado y el dominio donde se formula el problema deciden esas propiedades. Resolver una EDO sin declarar el intervalo de existencia deja incompleta la respuesta: una fórmula puede satisfacer la ecuación y, aun así, dejar de tener sentido en tiempo finito.

Formulación integral de una EDO

Para

$$\dot{\mathbf x}=\mathbf f(t,\mathbf x), \qquad \mathbf x(t_0)=\mathbf x_0,$$

integrar entre $t_0$ y $t$ da

$$\mathbf x(t)=\mathbf x_0+ \int_{t_0}^{t}\mathbf f(s,\mathbf x(s))\,ds.$$

Esta formulación contiene el dato inicial y convierte el problema diferencial en uno de punto fijo. Una función continua satisface la EDO si y sólo si satisface la ecuación integral y posee la regularidad correspondiente. La forma integral permite construir aproximaciones sucesivas:

$$\mathbf x_{0}(t)=\mathbf x_0, \qquad \mathbf x_{n+1}(t)=\mathbf x_0+ \int_{t_0}^{t}\mathbf f(s,\mathbf x_n(s))\,ds.$$

Éstas son las iteraciones de Picard. En un rectángulo suficientemente pequeño, si $\mathbf f$ es continua y Lipschitz en $\mathbf x$, la operación es una contracción y la sucesión converge a la solución única. Hirsch, Smale y Devaney presentan el resultado de manera operativa en el capítulo 7 y desarrollan su prueba en el 17 Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 7, §7.2, pp. 142-147; cap. 17, §§17.1-17.2, pp. 385-394 .

Condiciones de continuidad y Lipschitz

La continuidad de $\mathbf f$ cerca de $(t_0,\mathbf x_0)$ basta, bajo el teorema de Peano, para asegurar al menos una solución local. No basta para asegurar una sola. Una condición de Lipschitz local en el estado pide que exista $L$ tal que

$$\|\mathbf f(t,\mathbf x)-\mathbf f(t,\mathbf y)\| \le L\|\mathbf x-\mathbf y\|$$

en una región alrededor del dato inicial. Si las derivadas parciales respecto de $\mathbf x$ son continuas y acotadas allí, el teorema del valor medio proporciona esa desigualdad.

La constante $L$ no tiene que ser global. Un polinomio es localmente Lipschitz en todo punto, aunque su derivada crezca sin cota en todo el espacio. La conclusión inicial es, por tanto, existencia y unicidad local; la prolongación global requiere controlar la solución.

Zill introduce los problemas de valor inicial junto con intervalos de definición, una precaución necesaria antes de aplicar métodos de solución Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 1, §§1.1-1.2, pp. 1-18 .

Continuidad sin unicidad

Considérese

$$x'=3x^{2/3},\qquad x(0)=0.$$

El campo es continuo, pero su derivada respecto de $x$, $2x^{-1/3}$, no está acotada cerca del origen. La solución constante $x(t)=0$ satisface el problema. También, para cualquier $a\ge0$, la función

$$x_a(t)= \begin{cases} 0,&t\le a,\\ (t-a)^3,&t>a \end{cases}$$

es diferenciable y satisface la misma ecuación con el mismo dato inicial. En $t=a$, ambas piezas tienen valor y derivada cero. La trayectoria puede “esperar” un tiempo arbitrario antes de partir.

El ejemplo no contradice existencia; muestra que falta unicidad. También explica por qué dos curvas solución pueden compartir un punto cuando el campo no es Lipschitz. En una simulación, distintos esquemas o perturbaciones de redondeo pueden seleccionar ramas diferentes sin que una sea la solución única del problema.

Desigualdad de Grönwall y dependencia continua

Sean $\mathbf x(t)$ y $\mathbf y(t)$ soluciones del mismo campo con datos distintos. La ecuación integral permite escribir

$$\|\mathbf x(t)-\mathbf y(t)\| \le \|\mathbf x_0-\mathbf y_0\| +L\int_{t_0}^{t}\|\mathbf x(s)-\mathbf y(s)\|\,ds.$$

La desigualdad de Grönwall produce

$$\|\mathbf x(t)-\mathbf y(t)\| \le e^{L|t-t_0|}\|\mathbf x_0-\mathbf y_0\|.$$

Si los datos coinciden, el lado derecho es cero y se obtiene unicidad. Si son cercanos, la solución depende continuamente de ellos durante el intervalo controlado. La cota puede ser conservadora: $e^{Lt}$ usa el peor crecimiento posible en toda la región. Aun así, fundamenta que una pequeña perturbación inicial no cause una discontinuidad instantánea.

Hirsch, Smale y Devaney conectan esta estimación con continuidad y diferenciabilidad del flujo Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 17, §§17.3 y 17.6, pp. 394-397, 404-410 .

Intervalo máximo de existencia

La ecuación

$$x'=x^2,\qquad x(0)=1,$$

tiene solución

$$x(t)=\frac1{1-t}.$$

El intervalo máximo que contiene el dato inicial es $(-\infty,1)$. El campo $f(x)=x^2$ es suave en toda la recta, pero la solución escapa a infinito cuando $t\to1^-$. Regularidad global del campo no implica automáticamente existencia global si su crecimiento permite explosión.

En contraste,

$$x'=-x^3$$

produce

$$x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^2t}}$$

para $t>-1/(2x_0^2)$ si $x_0\neq0$. Hacia el futuro es global y acotada; hacia atrás explota. “Existe para todo tiempo” debe especificar la orientación.

Un criterio de prolongación afirma, de manera informal, que una solución puede extenderse mientras permanezca en un compacto contenido en el dominio del campo. Por eso las regiones invariantes y las cotas a priori son herramientas de existencia global, no sólo rasgos geométricos.

Composición y unicidad del flujo

En un sistema autónomo, escribimos

$$\varphi_t(\mathbf x_0)$$

para el estado alcanzado después de tiempo $t$. Donde la solución única esté definida,

$$\varphi_0=\operatorname{id}, \qquad \varphi_{t+s}(\mathbf x)= \varphi_t(\varphi_s(\mathbf x)).$$

La segunda identidad usa unicidad: evolucionar primero $s$ y luego $t$ debe coincidir con evolucionar $t+s$ desde el principio. Si hubiera varias ramas saliendo del estado intermedio, la composición no definiría una función.

Strogatz señala una consecuencia topológica inmediata en el plano: trayectorias distintas no se cruzan, porque el punto de intersección serviría como dato inicial común Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 6, §6.2, pp. 149-151 . En tres dimensiones dos curvas pueden cruzarse en una proyección sin compartir el mismo estado.

Invariancia del dominio físico

Un conjunto $S$ es positivamente invariante si $\varphi_t(S)\subseteq S$ para $t\ge0$. En una población logística,

$$x'=rx\left(1-\frac{x}{K}\right),$$

el intervalo $[0,K]$ es positivamente invariante. En los extremos, el campo vale cero; dentro, apunta hacia valores mayores sin poder atravesar $K$ bajo unicidad. Una demostración más general para un rectángulo verifica que el campo apunte hacia dentro o sea tangente en cada cara.

La invariancia importa físicamente: una concentración negativa o una población fuera de su región admisible señala un modelo mal formulado o una aproximación numérica que violó una barrera. No debe corregirse simplemente truncando valores después de cada paso sin analizar el efecto.

Sistemas no autónomos y extensión del espacio de estados

Para $\dot{\mathbf x}=\mathbf f(t,\mathbf x)$, la evolución depende del tiempo inicial. Se escribe con dos tiempos o se amplía el estado:

$$\dot\tau=1,\qquad \dot{\mathbf x}=\mathbf f(\tau,\mathbf x).$$

El sistema ampliado es autónomo en $(\tau,\mathbf x)$. Esta técnica permite usar ideas de flujo, pero el tiempo crece sin cota y cambia la geometría del espacio. Un forzamiento periódico puede representarse mejor con una fase angular para conservar periodicidad.

Hirsch, Smale y Devaney tratan explícitamente la prolongación y los sistemas no autónomos antes de estudiar la diferenciabilidad del flujo Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 17, §§17.4-17.6, pp. 397-410 .

Alcance de un integrador numérico

Un método numérico genera una sucesión; no demuestra por sí mismo existencia ni unicidad de la EDO. Cerca de una explosión, pasos adaptativos cada vez menores pueden indicar pérdida de regularidad, pero también rigidez o tolerancias mal elegidas. La distinción exige cotas, eventos y refinamiento.

En un problema no único, la convergencia de un esquema a una rama no prueba que esa rama sea la única solución. En un problema único, la teoría de consistencia y estabilidad permite relacionar la aproximación con la solución exacta. El contrato analítico precede al error numérico.

Bronson y Costa ofrecen numerosos ejercicios de verificación de soluciones y problemas de valor inicial; su utilidad aquí es entrenar la comprobación de dato, dominio e intervalo, no sólo la sustitución formal Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: cap. 1, secciones sobre soluciones y problemas de valor inicial .

La prueba de Picard convierte la EDO en una ecuación integral y busca su punto fijo en un espacio de funciones. Una cota de Lipschitz vuelve contractivo al operador sobre un intervalo suficientemente corto; la desigualdad de Grönwall controla la separación entre soluciones y da unicidad. La prolongación repite el argumento mientras la trayectoria permanezca en una región donde el campo esté definido y acotado. Por eso el intervalo máximo de existencia forma parte de la solución y no es una anotación secundaria.

Ejercicios: existencia, unicidad y flujo

1. Calcula las tres primeras iteraciones de Picard para $x'=t+x$, $x(0)=1$, y compáralas con la solución exacta.
2. Demuestra unicidad para $x'=\sin t+x^3$ dentro de un rectángulo acotado y explica por qué la constante Lipschitz no es global.
3. Verifica todas las soluciones con espera de $x'=3x^{2/3}$ y señala dónde falla la derivada del campo.
4. Encuentra los intervalos máximos hacia adelante y atrás de $x'=x^2$, $x(0)=x_0$.
5. Construye una región rectangular positivamente invariante para un modelo de dos poblaciones.
6. Convierte $x'=x+\cos t$ en sistema autónomo ampliado y explica qué significa su flujo.

Existencia y unicidad convierten las flechas en trayectorias y las trayectorias en un flujo. Con ese fundamento se pueden estudiar regiones invariantes, retratos completos y mecanismos no lineales sin asumir que cualquier curva dibujada representa una evolución válida.