Transformada de Laplace: escalones, impulsos, convolución y sistemas

La transformada de Laplace no es únicamente una tabla de pares. Su utilidad en EDO proviene de que reúne en una sola ecuación algebraica tres objetos que en el tiempo aparecen separados: el operador diferencial, los datos iniciales y la entrada externa. Esta ventaja se vuelve decisiva cuando la entrada cambia en instantes conocidos, incluye impulsos o actúa sobre varias variables de un sistema.

Definición, región de convergencia y transformada unilateral

Para una función $f$ definida en $t\ge0$, se define

$$\mathcal L\{f\}(s)=F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.$$

La integral converge en una región del plano complejo. Si $f$ es continua por tramos y de orden exponencial, existe para $\operatorname{Re}s$ suficientemente grande. La fórmula escrita sin su región de convergencia puede ser ambigua: expresiones algebraicas iguales pueden corresponder a señales distintas si se usan transformadas bilaterales. En este curso se emplea la transformada unilateral, adecuada para problemas iniciales iniciados en $t=0$.

La linealidad da

$$\mathcal L\{af+bg\}=aF+bG.$$

Integrar por partes produce la propiedad esencial

$$\mathcal L\{f'\}=sF(s)-f(0^+),$$

y, por repetición,

$$\mathcal L\{f^{(n)}\} =s^nF-s^{n-1}f(0^+)-\cdots-f^{(n-1)}(0^+).$$

Los datos iniciales no se añaden después: aparecen durante la transformación del operador. Zill desarrolla esta identidad antes de introducir las entradas por tramos porque es la base de todo el cálculo operativo Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1-7.2, pp. 255-272 .

Un problema inicial sin consultar una tabla extensa

Considere

$$y''+4y'+3y=e^{-t}, \qquad y(0)=0, \qquad y'(0)=1.$$

Al transformar,

$$(s^2Y-1)+4sY+3Y=\frac1{s+1},$$

de modo que

$$Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s^2+4s+3)}+\frac1{s^2+4s+3}.$$

Como $s^2+4s+3=(s+1)(s+3)$,

$$Y(s)=\frac1{(s+1)^2(s+3)}+\frac1{(s+1)(s+3)}.$$

Las fracciones parciales dan

$$\frac1{(s+1)^2(s+3)} =-\frac1{4(s+1)}+\frac1{2(s+1)^2}+\frac1{4(s+3)},$$ $$\frac1{(s+1)(s+3)}=\frac1{2(s+1)}-\frac1{2(s+3)}.$$

Por tanto,

$$y(t)=\frac14e^{-t}+\frac12te^{-t}-\frac14e^{-3t}.$$

La presencia de $te^{-t}$ revela resonancia algebraica entre la entrada y un modo homogéneo. La verificación exige calcular $y(0)$, $y'(0)$ y sustituir en la ecuación. Laplace organizó los cálculos, pero no elimina esta comprobación.

Escalón de Heaviside y segunda traslación

El escalón unitario que se activa en $t=a$ es

$$H(t-a)= \begin{cases} 0,&t<a,\\ 1,&t>a. \end{cases}$$

Su valor puntual en $t=a$ no afecta una integral ordinaria. Si $g$ es una señal iniciada en cero,

$$\mathcal L\{H(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s).$$

La forma $g(t-a)$ es crucial. Por ejemplo,

$$H(t-2)(t-2)^2$$

se transforma como $2e^{-2s}/s^3$, mientras que $H(t-2)t^2$ debe reescribirse usando $t=(t-2)+2$ antes de aplicar la propiedad.

Una función por tramos puede codificarse sumando cambios. Si

$$f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<1,\\ t-1,&1\le t<3,\\ 2,&t\ge3, \end{cases}$$

entonces

$$f(t)=H(t-1)(t-1)-H(t-3)(t-3).$$

La segunda contribución cancela el crecimiento lineal a partir de tres y deja el valor dos. Su transformada es

$$F(s)=\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{e^{-3s}}{s^2}.$$

Conviene reconstruir los tres intervalos desde la expresión con escalones antes de transformar; esta prueba detecta desplazamientos equivocados.

Impulso de Dirac y condiciones de salto

La delta de Dirac $\delta(t-a)$ no es una función ordinaria, sino una distribución definida por

$$\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}\delta(t-a)\varphi(t)\,dt=\varphi(a)$$

para funciones de prueba regulares. En Laplace,

$$\mathcal L\{\delta(t-a)\}=e^{-as}.$$

Físicamente representa el límite ideal de una entrada muy intensa y muy breve cuya área permanece fija. No debe confundirse con un escalón: el escalón cambia permanentemente el nivel de una entrada; el impulso entrega una cantidad finita en un instante.

Las condiciones de salto también pueden obtenerse sin transformar. Para

$$y''+ay'+by=J\delta(t-t_0),$$

integramos desde $t_0-\varepsilon$ hasta $t_0+\varepsilon$. Si $y$ permanece acotada, los términos integrales de $y$ y $y'$ desaparecen al reducir el intervalo, mientras

$$y'(t_0^+)-y'(t_0^-)=J.$$

La posición queda continua y la velocidad salta. Si la delta apareciera en una ecuación de primer orden, saltaría directamente el estado.

Ejemplo trabajado: escalón e impulso en el mismo oscilador

Resolvamos

$$y''+3y'+2y=H(t-1)+2\delta(t-2), \qquad y(0)=y'(0)=0.$$

La transformación produce

$$Y(s)=\frac{e^{-s}}{s(s+1)(s+2)} +\frac{2e^{-2s}}{(s+1)(s+2)}.$$

Definimos la respuesta al escalón

$$k(t)=\mathcal L^{-1}\left\{\frac1{s(s+1)(s+2)}\right\} =\frac12-e^{-t}+\frac12e^{-2t},$$

y la respuesta impulsiva

$$g(t)=\mathcal L^{-1}\left\{\frac1{(s+1)(s+2)}\right\} =e^{-t}-e^{-2t}.$$

Entonces

$$y(t)=H(t-1)k(t-1)+2H(t-2)g(t-2).$$

Esta forma separa causas. Antes de $t=1$, $y=0$. En $t=1$ comienza una respuesta continua al nivel constante. En $t=2$, el término impulsivo tiene $g(0)=0$, por lo que $y$ sigue siendo continua; sin embargo, $g'(0)=1$, así que $y'$ aumenta en dos, exactamente como exige la condición de salto. La comprobación por intervalos y la comprobación del salto son más informativas que expandir todo en una sola fórmula.

Zill y Cullen presentan el escalón, la delta y la segunda traslación como herramientas coordinadas para describir entradas reales idealizadas Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 7, secciones sobre funciones periódicas, escalón unitario e impulso .

Convolución y respuesta impulsiva

La convolución causal de $f$ y $g$ es

$$(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau.$$

El teorema de convolución afirma

$$\mathcal L\{f*g\}=F(s)G(s).$$

Si un sistema lineal con datos nulos tiene función de transferencia $G(s)$ y recibe una entrada con transformada $U(s)$, la salida es

$$Y(s)=G(s)U(s), \qquad y(t)=(g*u)(t).$$

Para el problema de primer orden

$$y'+ay=u(t), \qquad y(0)=0, \qquad a>0,$$

se tiene $G(s)=1/(s+a)$ y $g(t)=e^{-at}$. Por tanto,

$$y(t)=\int_0^t e^{-a(t-\tau)}u(\tau)\,d\tau.$$

Esta fórmula muestra memoria con decaimiento: las entradas recientes pesan más que las antiguas. Si $y(0)=y_0$, se añade $y_0e^{-at}$. La parte de estado inicial y la respuesta forzada no deben mezclarse al hablar de “respuesta al impulso”.

Propiedades temporales comprobables mediante convolución

La convolución permite anticipar regularidad y causalidad antes de evaluar una integral. Si la respuesta impulsiva $g$ es causal, una entrada que comienza en $t=a$ no puede producir salida antes de ese instante. Si $g$ es continua y la entrada contiene un salto finito, la salida suele permanecer continua aunque cambie alguna derivada. Si la entrada contiene una delta, la salida incorpora una copia desplazada de $g$. Estas afirmaciones deben ajustarse al orden relativo entre numerador y denominador de la función de transferencia: un término de paso directo puede transmitir discontinuidades sin suavizarlas.

También ofrece controles algebraicos. La convolución es conmutativa para funciones escalares,

$$f*g=g*f,$$

pero la interpretación física no lo es: una de las funciones representa la entrada y la otra el sistema. Es asociativa, lo que permite analizar una cascada de dos sistemas como

$$g_2*(g_1*u)=(g_2*g_1)*u.$$

En el dominio transformado, la cascada multiplica funciones de transferencia. Esta identidad sirve para validar una implementación: simular cada bloque y simular el bloque equivalente deben producir la misma señal dentro del error numérico.

Para aproximar físicamente un impulso se puede usar un pulso rectangular de ancho $\varepsilon$ y altura $J/\varepsilon$. Su área es $J$. Al reducir $\varepsilon$, la respuesta debe acercarse a $Jg(t-a)$ lejos de la pequeña región de activación, siempre que el modelo conserve validez en esa escala. Una fuerza real no tiene altura infinita; la delta resume su efecto cuando el tiempo del pulso es mucho menor que las escalas dinámicas. Comparar varios anchos separa la idealización impulsiva de un artefacto de discretización.

Entradas periódicas sin transformar cada periodo

Si $f$ tiene periodo $T$ y es continua por tramos, su transformada puede calcularse en un solo periodo:

$$\mathcal L\{f\}(s)= \frac{\displaystyle\int_0^Te^{-st}f(t)\,dt}{1-e^{-sT}}.$$

La fórmula surge al dividir la integral total en intervalos de longitud $T$ y sumar una serie geométrica. Es útil para ondas cuadradas, dientes de sierra y trenes de pulsos. El denominador no significa que la señal crezca; codifica la repetición temporal. Al invertir la respuesta de un sistema estable, aparece un transitorio ligado a los datos iniciales y un régimen periódico tardío.

Como control, la respuesta tardía puede calcularse también mediante una serie de Fourier si sus hipótesis se cumplen. Laplace conserva el encendido en $t=0$ y el transitorio; el enfoque frecuencial suele describir directamente el régimen permanente. La coincidencia de amplitud y fase después de que decaen los modos libres constituye una validación cruzada, no una razón para confundir ambas transformadas.

Datos experimentales y límites del modelo lineal

Una función de transferencia se identifica bajo una elección de entrada y salida, alrededor de un régimen donde la linealidad es aceptable. Ajustar polos a una curva no demuestra que esos polos sean mecanismos físicos únicos. Retardos, saturación, ruido y estados no observados pueden producir modelos racionales parecidos en una banda limitada. Por ello se conserva la ventana temporal, la frecuencia de muestreo, las unidades y el protocolo de excitación junto con los coeficientes estimados.

En una comprobación experimental, se puede estimar primero la respuesta impulsiva mediante una entrada corta, convolucionarla con una segunda entrada medida y comparar la predicción con la nueva salida. El residuo debe analizarse en tiempo y frecuencia. Un buen ajuste con la señal usada para identificar el modelo no basta; la prueba relevante usa una entrada distinta y mantiene una separación clara entre datos de ajuste y datos de validación.

La figura ayuda a distinguir dominios: Fourier describe contenido frecuencial de una señal bajo hipótesis apropiadas; Laplace usa una variable compleja $s=\sigma+i\omega$ y puede converger gracias al factor $e^{-\sigma t}$ aun cuando la integral de Fourier no lo haga.

Función de transferencia, polos y condiciones iniciales

Para

$$a_ny^{(n)}+\cdots+a_1y'+a_0y =b_mu^{(m)}+\cdots+b_0u,$$

la función de transferencia se define con condiciones iniciales nulas:

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{b_ms^m+\cdots+b_0}{a_ns^n+\cdots+a_0}.$$

Sus polos son raíces del denominador después de cancelar únicamente factores que representen una reducción válida del modelo. Los polos en el semiplano derecho producen modos crecientes; polos repetidos añaden factores polinomiales; polos imaginarios simples generan oscilaciones no amortiguadas. Esta lectura no reemplaza un análisis de controlabilidad u observabilidad: una cancelación puede ocultar dinámica interna.

Los teoremas de valor inicial y final sirven como controles rápidos:

$$f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s),$$ $$\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s),$$

pero el segundo requiere que los polos pertinentes de $sF(s)$ estén en el semiplano izquierdo, salvo las excepciones permitidas en el origen. Aplicarlo a un sistema inestable puede producir un número algebraico sin representar un límite temporal.

Sistemas lineales mediante resolvente matricial

Para

$$x'=Ax+bu(t), \qquad x(0)=x_0,$$

la transformación componente a componente da

$$(sI-A)X(s)=x_0+bU(s),$$ $$X(s)=(sI-A)^{-1}x_0+(sI-A)^{-1}bU(s).$$

La matriz $(sI-A)^{-1}$ es la resolvente. Sus entradas son funciones racionales cuyo denominador contiene el polinomio característico de $A$. Para

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},$$

se obtiene

$$(sI-A)^{-1} =\frac1{(s+1)(s+2)} \begin{pmatrix}s+3&1\\-2&s\end{pmatrix}.$$

Con estado inicial nulo, la primera componente tiene transferencia $1/[(s+1)(s+2)]$ desde $u$ y la segunda $s/[(s+1)(s+2)]$. Corresponden a posición y velocidad del mismo sistema de segundo orden. Resolver cada componente de manera aislada duplicaría trabajo y podría perder la relación entre estados. Bronson y Costa usan esta formulación algebraica para practicar sistemas y transformadas; aquí se conserva además la interpretación de la resolvente como operador de respuesta Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: caps. 21-24, transformada de Laplace y sistemas simultáneos .

Procedimiento reproducible

1. Escribe el problema en $t\ge0$ y registra todos los datos iniciales.
2. Reescribe cada entrada por tramos con escalones desplazados; separa las deltas.
3. Transforma derivadas incluyendo los datos, sin omitir signos.
4. Despeja $Y(s)$ o $X(s)$ antes de invertir.
5. Separa respuesta de estado inicial y respuesta a la entrada.
6. Usa fracciones parciales, traslación o convolución según la estructura.
7. Reconstruye la solución por intervalos y comprueba continuidad o saltos.
8. Sustituye en cada intervalo regular y verifica valores inicial y final cuando los teoremas sean aplicables.

Ejercicios de transformada y respuesta

1. Resuelve $y''+2y'+5y=H(t-\pi)$ con $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Separa respuesta libre y forzada y comprueba la continuidad en $t=\pi$.
2. Codifica con escalones una entrada que valga $t$ en $0\le t<1$, $1$ en $1\le t<2$ y cero después. Calcula su transformada y reconstruye los tres intervalos desde tu fórmula.
3. Resuelve $y''+4y=3\delta(t-2)$ con reposo inicial. Deduce el salto de $y'$ integrando la EDO y verifícalo en la solución transformada.
4. Obtén por convolución la solución de $y'+3y=t^2$, $y(0)=0$. Evalúa la integral y compara con factor integrante.
5. Para $G(s)=1/[(s+1)(s+4)]$, calcula respuestas al impulso y al escalón. Determina sus valores iniciales y finales, justificando las hipótesis de los teoremas usados.
6. Resuelve por resolvente $x'=Ax+bu$ con la matriz y el vector de la sección anterior, $x(0)=(1,0)^T$ y $u(t)=H(t-1)$. Comprueba que $x_2=x_1'$ fuera del instante de conmutación.
7. Compara $H(t-a)$ y $\delta(t-a)$ como entradas del sistema $y'+y=u$. Dibuja ambas respuestas y explica qué cantidad salta en cada caso.

Laplace es más valiosa cuando conserva la estructura del problema: causalidad, instantes de activación, saltos, memoria y acoplamiento entre estados. Una inversión correcta termina con una solución temporal comprobada, no con una expresión racional en $s$.