Modelos y problemas de frontera en mecánica, circuitos y poblaciones

Modelar no consiste en reconocer una ecuación conocida y asignarle nombres físicos. El recorrido va en la dirección contraria: se delimita el sistema, se eligen estados, se escriben balances y leyes constitutivas, se comprueban unidades y sólo entonces aparece la EDO. Mecánica, circuitos y poblaciones usan símbolos diferentes, pero comparten estructuras: almacenamiento, disipación, interacción y forzamiento.

Supuestos de modelado y derivación

Antes de calcular conviene responder cuatro preguntas:

1. ¿Qué queda dentro de la frontera del sistema?
2. ¿Qué variables determinan su estado futuro?
3. ¿Qué balance cambia esas variables?
4. ¿Qué relaciones constitutivas cierran el balance?

La ecuación final debe conservar las respuestas. Un resorte ideal supone fuerza proporcional al alargamiento; un resistor óhmico supone una relación lineal entre voltaje y corriente; la logística supone que la limitación por recursos puede representarse mediante una capacidad constante. Si cambia el régimen, cambia el modelo, aunque el método de integración siga funcionando.

Zill organiza el modelado como una traducción entre descripción, ecuación, solución e interpretación; sus capítulos de primer y segundo orden permiten comparar esa traducción en distintos dominios Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 3, pp. 82-113; cap. 5, pp. 181-216 .

Mecánica: cambio del origen y fuerza constante

Una masa $m$ cuelga de un resorte vertical con rigidez $k$ y experimenta amortiguamiento viscoso $c$. Sea $y$ el desplazamiento positivo hacia abajo medido desde la longitud natural. La segunda ley de Newton da

$$m\ddot y=mg-ky-c\dot y.$$

El equilibrio estático cumple $mg-ky_e=0$, así que $y_e=mg/k$. Definimos el desplazamiento respecto del equilibrio,

$$x=y-y_e.$$

Como $y_e$ es constante, $\dot x=\dot y$ y $\ddot x=\ddot y$. Al sustituir,

$$m\ddot x+c\dot x+kx=0.$$

La gravedad no desapareció físicamente: fijó la posición del equilibrio. Medir desde esa posición absorbe el término constante. Si el resorte no es lineal o su masa no es despreciable, esta reducción requiere modificaciones.

La misma ecuación conservativa puede derivarse con coordenadas generalizadas. Para una coordenada $q$, energía cinética $T=\tfrac12m\dot q^2$ y potencial $V(q)$, el lagrangiano $L(q,\dot q)=T-V$ satisface

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q} -\frac{\partial L}{\partial q}=0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot q+V'(q)=0.$$

El procedimiento consiste en elegir las coordenadas independientes, escribir $T$ y $V$ en ellas, formar $L$ y aplicar una ecuación de Euler–Lagrange por coordenada. Con el momento $p=\partial L/\partial\dot q=m\dot q$, la transformación de Legendre produce

$$H(q,p)=p\dot q-L=\frac{p^2}{2m}+V(q), \qquad \dot q=\frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}.$$

Para $V(q)=\tfrac12kq^2$, ambas ecuaciones de Hamilton implican $m\ddot q+kq=0$ y $H$ coincide con la energía mecánica. El amortiguamiento no está contenido en ese hamiltoniano conservativo. Puede incorporarse mediante la función disipativa de Rayleigh $\mathcal R=\tfrac12c\dot q^2$, que modifica Euler–Lagrange con $\partial\mathcal R/\partial\dot q$ y recupera $m\ddot q+c\dot q+kq=0$. Esta separación identifica qué parte del modelo almacena energía y cuál la disipa.

El workbook de McMullen se usa aquí para comprobar las leyes físicas previas —segunda ley de Newton, ley de Hooke y energía— y no como fuente de teoría de EDO McMullen, 2017 Chris McMullen (2017) Essential Calculus-based Physics Study Guide Workbook, Volume 1: The Laws of Motion Edición actualizada · Zishka Publishing Ubicación consultada: caps. 13-15, pp. 123-148; cap. 22, pp. 205-228 .

Energía y amortiguamiento medible

Tomemos $m=0.5\,\mathrm{kg}$, $k=8\,\mathrm{N/m}$ y $c=1\,\mathrm{N\,s/m}$. La frecuencia natural es

$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=4\,\mathrm{s^{-1}},$$

y la razón de amortiguamiento,

$$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}=\frac14.$$

El sistema es subamortiguado. La frecuencia amortiguada es

$$\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}=\sqrt{15}\,\mathrm{s^{-1}}.$$

Para $x(0)=0.10\,\mathrm m$ y $\dot x(0)=0$, la solución tiene la forma

$$x(t)=e^{-t}\left(A\cos(\sqrt{15}t)+B\sin(\sqrt{15}t)\right).$$

$A=0.10$ y la condición de velocidad produce $B=A/\sqrt{15}$. La envolvente decae como $e^{-t}$; por tanto, el tiempo característico de amplitud es un segundo.

La energía mecánica respecto del equilibrio es

$$E=\frac12m\dot x^2+\frac12kx^2,$$

y

$$\dot E=-c\dot x^2.$$

Una serie experimental de posiciones permite estimar el periodo y la envolvente, pero identificar por separado $m,c,k$ requiere conocer alguna de esas magnitudes o medir fuerzas. La solución de la EDO no resuelve por sí sola el problema inverso.

Circuitos: estado definido por carga y corriente

En un circuito RLC en serie, sea $q(t)$ la carga del capacitor e $i(t)=\dot q(t)$ la corriente. Las caídas de voltaje son

$$V_R=Ri, \qquad V_L=L\dot i, \qquad V_C=\frac qC.$$

La ley de voltajes de Kirchhoff establece

$$V_L+V_R+V_C=E(t),$$

de modo que

$$L\ddot q+R\dot q+\frac1Cq=E(t).$$

La correspondencia con el oscilador mecánico es

$$m\leftrightarrow L,\qquad c\leftrightarrow R,\qquad k\leftrightarrow \frac1C,\qquad F(t)\leftrightarrow E(t).$$

La correspondencia se limita a la forma de las ecuaciones; no identifica la energía mecánica con el voltaje. La energía almacenada en el circuito es

$$\mathcal E=\frac12Li^2+\frac{q^2}{2C},$$

y, sin fuente,

$$\dot{\mathcal E}=-Ri^2.$$

El workbook de electricidad y magnetismo se consultó para las leyes de Kirchhoff, el comportamiento RC, la inductancia y la corriente alterna que sostienen esta derivación física McMullen, 2017 Chris McMullen (2017) Essential Calculus-based Physics Study Guide Workbook, Volume 2: Electricity and Magnetism Zishka Publishing Ubicación consultada: caps. 15 y 18, pp. 219-258; caps. 30-31, pp. 395-438 . La solución diferencial y el análisis dinámico proceden de los textos de EDO.

Transitorio y régimen forzado en un circuito RC

Si no hay inductor, la ecuación es de primer orden:

$$R\dot q+\frac qC=E(t).$$

Con una fuente constante $E_0$ y un capacitor inicialmente descargado,

$$q(t)=CE_0\left(1-e^{-t/(RC)}\right), \qquad i(t)=\frac{E_0}{R}e^{-t/(RC)}.$$

$RC$ es la escala temporal. Después de un tiempo $RC$, la carga alcanza $1-e^{-1}$ de su valor final. La corriente empieza en $E_0/R$ y decae. Si el modelo predice una carga instantánea, se omitió la resistencia o se tomó un límite singular.

Para una fuente periódica, el factor integrante separa el transitorio $e^{-t/(RC)}$ de una respuesta tardía con desfase. Esta estructura es la misma que el enfriamiento con ambiente oscilante: almacenamiento más relajación lineal.

Zill deriva el circuito en serie como análogo del sistema resorte-masa, mientras Bronson y Costa ofrecen problemas resueltos que permiten practicar condiciones iniciales y forzamientos sin cambiar la ley constitutiva Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 5, §5.1.4, pp. 192-198 Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: cap. 14, secciones de circuitos eléctricos y oscilación .

Biología: términos de interacción y retrato de fases

Una población con crecimiento proporcional y limitación por recursos se modela como

$$\dot P=rP\left(1-\frac PK\right).$$

$r$ tiene dimensión de inverso de tiempo y $K$ de población. El modelo supone ambiente constante, mezcla homogénea y una respuesta inmediata de la tasa per cápita a la densidad. No describe edades, retardos ni estacionalidad salvo que se amplíe.

Hirsch, Smale y Devaney usan la logística, la cosecha constante y la cosecha periódica para mostrar cómo un parámetro o un forzamiento modifican equilibrios y soluciones periódicas Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 1, §§1.2-1.5, pp. 4-15 .

Para dos especies en competencia,

$$\dot x=r_1x\left(1-\frac{x+\alpha y}{K_1}\right),$$ $$\dot y=r_2y\left(1-\frac{y+\beta x}{K_2}\right).$$

$\alpha$ convierte individuos de la especie $y$ en presión equivalente sobre $x$; $\beta$ hace la conversión inversa. Las nulclinas son rectas, y su posición relativa decide coexistencia, exclusión o biestabilidad. Strogatz desarrolla un modelo de competencia como ejemplo de análisis por plano de fase Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 6, §6.4, pp. 156-160 .

Umbral inducido por dosis constante

Supongamos una población celular con crecimiento logístico y eliminación constante $H$:

$$\dot P=rP\left(1-\frac PK\right)-H.$$

Con $u=P/K$, $s=rt$ y $h=H/(rK)$,

$$\frac{du}{ds}=u(1-u)-h.$$

Los equilibrios satisfacen

$$u^2-u+h=0,$$

de modo que

$$u_\pm=\frac{1\pm\sqrt{1-4h}}2.$$

Si $0<h<1/4$, hay dos equilibrios: $u_-$ es inestable y $u_+$ estable. Si la población cae por debajo de $u_-$, el modelo la lleva hacia valores negativos porque la eliminación constante sigue actuando en cero. Esa predicción revela un límite físico del modelo: cerca de extinción debería detenerse la extracción o introducirse una ley dependiente de población. El análisis matemático no oculta la deficiencia; la hace visible.

Estructura de almacenamiento en tres dominios

Las variables almacenadas son diferentes:

• posición y momento en mecánica;
• carga y flujo magnético o corriente en circuitos;
• abundancias en biología.

Sin embargo, los balances producen formas comparables. Un término lineal negativo suele representar disipación o pérdida; una entrada externa representa forzamiento; una no linealidad puede saturar, crear umbrales o seleccionar ciclos. Reconocer la estructura permite transferir técnicas, pero no transferir parámetros sin unidades ni supuestos.

La séptima edición de Zill y Cullen contiene además sistemas autónomos planos, útiles para relacionar el modelo con la estabilidad y las nulclinas Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 10, §10.4, pp. 388-395 . La novena edición breve conserva el núcleo de modelado y métodos; ambas son reediciones relacionadas, no fuentes independientes de un mismo teorema.

Problemas de frontera con condiciones en dos puntos

En un problema con valores iniciales, todos los datos se dan en el mismo instante: $y(a)$ y $y'(a)$ determinan el avance de una ecuación de segundo orden bajo hipótesis de existencia y unicidad. En un problema con valores en la frontera, las condiciones se reparten, por ejemplo,

$$y''=f(x,y,y'),\qquad y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta.$$

Ya no se conoce la pendiente inicial. Debe encontrarse el valor $s=y'(a)$ cuya solución alcanza $y(b)=\beta$. Puede no existir, puede ser única o puede haber varias; el conteo de condiciones por sí solo no decide cuál caso ocurre.

Esta comparación sirve como mapa de lectura:

Formulación	Datos prescritos	Incógnita principal	Comprobación
Problema inicial	$y(a),y'(a)$	trayectoria hacia delante	datos en $a$ y residuo de la EDO
Problema de dos puntos	$y(a),y(b)$	pendiente inicial o perfil completo	ambas fronteras y residuo interior
Problema espectral	fronteras homogéneas	perfil y valor $\lambda$	fronteras, ecuación y normalización

El ejemplo

$$y''=-2,\qquad y(0)=0,\qquad y(1)=0$$

se integra dos veces:

$$y(x)=-x^2+C_1x+C_2.$$

La frontera izquierda da $C_2=0$ y la derecha, $C_1=1$. Por tanto, $y=x(1-x)$. El dato que habría que adivinar en un método de disparo es $y'(0)=1$. Si se usa una conjetura $s$, la solución es $y_s=-x^2+sx$ y el residuo de frontera es

$$R(s)=y_s(1)-0=s-1.$$

Encontrar la raíz de $R$ convierte el problema de frontera en una sucesión de problemas iniciales. Este método es sencillo cuando la dependencia respecto de $s$ está bien condicionada. En problemas rígidos o muy sensibles puede fallar; diferencias finitas o colocación resuelven entonces el perfil completo mediante un sistema algebraico. Zill presenta tanto modelos lineales con valores en la frontera como su aproximación numérica de segundo orden Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 5, §5.2, pp. 199–206; cap. 9, §9.5, pp. 358–362 .

Problema de Sturm–Liouville y parámetro espectral

Un problema regular de Sturm–Liouville se escribe

$$-\frac{d}{dx}\!\left(p(x)y'(x)\right)+q(x)y(x) =\lambda w(x)y(x),\qquad a<x<b,$$

con $p(x)>0$, $w(x)>0$ y condiciones lineales homogéneas en los extremos. La función no nula $y$ es una autofunción y $\lambda$ su autovalor. Las fronteras homogéneas son decisivas: la solución cero existe para todo $\lambda$, y se buscan precisamente los valores del parámetro que permiten además una solución no trivial.

La forma diferencial es autoadjunta. Si $y_m,y_n$ satisfacen las mismas fronteras y corresponden a $\lambda_m\ne\lambda_n$, integrar por partes las dos ecuaciones cruzadas da

$$(\lambda_m-\lambda_n) \int_a^b w(x)y_m(x)y_n(x)\,dx=0.$$

Por tanto,

$$\int_a^b w(x)y_m(x)y_n(x)\,dx=0.$$

La ortogonalidad está ponderada por $w$; omitir ese peso cambia el producto interno y puede invalidar una expansión.

Espectro de una cuerda fijada en ambos extremos

El problema

$$-y''=\lambda y,\qquad y(0)=y(L)=0$$

tiene tres casos. Si $\lambda=0$, la solución lineal y ambas fronteras fuerzan $y=0$. Si $\lambda=-\mu^2<0$, la combinación de exponenciales o funciones hiperbólicas también queda reducida a cero. Si $\lambda=k^2>0$,

$$y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).$$

La primera frontera da $A=0$. Para que $B\ne0$, la segunda exige $\sin(kL)=0$, es decir,

$$k_n=\frac{n\pi}{L},\qquad \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad y_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad n=1,2,\ldots$$

Los modos no son sólo dibujos posibles: forman una familia ortogonal. Una forma inicial $f(x)$ compatible puede expandirse como

$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_ny_n(x), \qquad b_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x) \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx.$$

En la ecuación de calor $u_t=\kappa u_{xx}$ con extremos a temperatura cero, cada modo decae a su propia tasa:

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_ne^{-\kappa\lambda_nt}y_n(x).$$

Esta fórmula conecta el problema de frontera espacial con la evolución temporal: las oscilaciones más finas tienen mayor $\lambda_n$ y se amortiguan más rápido. Zill y Cullen desarrollan funciones ortogonales, series y el problema de Sturm–Liouville como una sola cadena conceptual Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 11, §§11.1–11.4, pp. 398–422 .

Estimación y validación de parámetros

Un modelo puede ajustar datos y aun fallar fuera del intervalo observado. La validación debe incluir:

1. unidades y rangos físicamente admisibles;
2. residuos en el tiempo, no sólo un error promedio;
3. parámetros identificables con el experimento disponible;
4. predicciones sobre condiciones no usadas en el ajuste;
5. sensibilidad a datos iniciales y parámetros;
6. comparación con un modelo más simple.

En el resorte, medir sólo la frecuencia quizá determine $k/m$ pero no ambos. En el RC, una curva de carga determina principalmente el producto $RC$. En la logística temprana, cuando $P\ll K$, los datos parecen exponenciales y contienen poca información sobre $K$. Estas limitaciones pertenecen al diseño experimental, no al integrador.

Mecánica, circuitos y poblaciones comparten una misma disciplina de modelado: elegir estados observables, fijar signos mediante un balance y comprobar unidades antes de resolver. En el resorte, la fuerza produce una ecuación de segundo orden; en el circuito RLC, las leyes de Kirchhoff relacionan carga y corriente; en competencia biológica, las tasas dependen de densidades. Una tabla de estados, parámetros, unidades y supuestos deja visible qué parte del modelo es ley física, qué parte es aproximación y qué dato permitiría refutarla.

Ejercicios: mecánica, circuitos y poblaciones

1. Deriva el oscilador vertical desde la longitud natural y demuestra por qué la gravedad se absorbe al trasladar el equilibrio.
2. Para un RLC sin fuente, deduce la derivada de la energía y clasifica los regímenes con $R,L,C$.
3. Adimensionaliza el circuito RC y determina qué experimentos identifican por separado $R$ y $C$.
4. Analiza la logística con cosecha proporcional $H(P)=qP$ y compárala con la cosecha constante.
5. Construye nulclinas para dos especies y elige parámetros que produzcan coexistencia, exclusión y biestabilidad.
6. Diseña un conjunto sintético de datos para uno de los tres dominios, ajusta parámetros y reserva una condición inicial para validación.
7. Formula un péndulo simple mediante Euler–Lagrange, construye su hamiltoniano y verifica que las ecuaciones de Hamilton recuperan la EDO. Añade después amortiguamiento de Rayleigh e identifica por qué deja de conservarse la energía.

Un modelo aplicado queda incompleto hasta que su ecuación pueda derivarse, analizarse, resolverse y contrastarse con datos. La estructura matemática común permite transferir métodos entre dominios sin borrar sus diferencias físicas.