Ecuaciones de primer orden y campos de direcciones

Una ecuación de primer orden asigna una pendiente a cada punto permitido del plano $(t,x)$. Resolverla significa encontrar una curva cuya tangente coincida en todo momento con esa asignación. Esta lectura geométrica precede a cualquier técnica de integración: permite anticipar crecimiento, barreras, equilibrios y regiones de validez incluso cuando la solución no tiene una fórmula elemental.

Familias de soluciones de un problema de valor inicial

Un problema de valor inicial tiene la forma

$$x'=f(t,x),\qquad x(t_0)=x_0.$$

La ecuación describe una familia de curvas; el dato inicial selecciona una. En el punto $(t,x)$ se dibuja un segmento con pendiente $f(t,x)$. Si $f(t,x)>0$, las soluciones locales ascienden al avanzar el tiempo; si es negativa, descienden; si vale cero, la tangente es horizontal. Un campo de direcciones no es una simulación: representa la ecuación antes de escoger condiciones iniciales.

Para $x'=t-x$, los segmentos sobre la recta $x=t$ son horizontales. Por debajo de esa recta, $t-x>0$ y las soluciones crecen; por encima decrecen. La recta no es una solución —su derivada sería uno, no cero—, sino una isoclina de pendiente cero. Confundir isoclina y trayectoria produce interpretaciones equivocadas.

Fuchs usa desde el inicio la relación entre ecuación, trayectoria y espacio de estados para separar el objeto geométrico de su representación temporal Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 1, §§1.3-1.5, pp. 7-12 .

Campos de direcciones de sistemas autónomos

Si

$$x'=f(x),$$

la pendiente depende sólo de la altura $x$. El campo se repite horizontalmente y puede comprimirse en una línea de fase. Los ceros de $f$ son equilibrios. Entre dos ceros consecutivos, la continuidad impide que el signo cambie, así que basta una flecha por intervalo.

Para

$$x'=x(1-x),$$

hay equilibrios en $0$ y $1$. Cuando $x<0$, el producto es negativo; en $(0,1)$ es positivo; para $x>1$ es negativo. Las flechas se alejan de $0$ y apuntan hacia $1$: el primero es inestable, el segundo asintóticamente estable dentro de su dominio de atracción. Esta conclusión no requiere resolver.

Strogatz organiza el análisis escalar alrededor de ceros, signos y estabilidad porque la línea de fase contiene la información cualitativa completa de un flujo autónomo unidimensional Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 2, §§2.0-2.2, pp. 15-25 .

Separación de variables y soluciones singulares

Una ecuación

$$x'=g(t)h(x)$$

es separable donde $h(x)\neq0$:

$$\frac{dx}{h(x)}=g(t)\,dt.$$

Pero dividir por $h(x)$ elimina de la manipulación las soluciones constantes asociadas con sus ceros. Por eso primero se registran los equilibrios $h(x)=0$ y después se separan las soluciones no constantes.

Derivemos la solución logística adimensional. Para $0<x<1$,

$$\frac{dx}{x(1-x)}=dt, \qquad \frac1{x(1-x)}=\frac1x+\frac1{1-x}.$$

La integración produce

$$\ln|x|-\ln|1-x|=t+C,$$

de donde

$$\frac{x}{1-x}=Ce^t, \qquad x(t)=\frac{Ce^t}{1+Ce^t}.$$

Al imponer $x(0)=x_0$ se obtiene $C=x_0/(1-x_0)$, y por tanto

$$x(t)=\frac{x_0e^t}{1-x_0+x_0e^t}.$$

Si $0<x_0<1$, la solución crece sin rebasar uno y converge a la capacidad adimensional. Si $x_0>1$, decrece hacia uno. Si $x_0<0$, el denominador puede anularse en tiempo finito hacia el futuro; la fórmula obliga a declarar el intervalo máximo. Los equilibrios $x\equiv0$ y $x\equiv1$ se añadieron aparte porque la división los había excluido.

Hirsch, Smale y Devaney usan este modelo para relacionar la fórmula de crecimiento con los equilibrios, la cosecha y los cambios cualitativos Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 1, §§1.1-1.3, pp. 1-10 .

Factor integrante para ecuaciones lineales

La ecuación lineal no homogénea

$$x'+p(t)x=q(t)$$

se resuelve buscando una función $\mu(t)$ tal que el lado izquierdo sea la derivada de $\mu x$. Como

$$(\mu x)'=\mu x'+\mu'x,$$

se requiere $\mu'=p\mu$, de modo que

$$\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).$$

Después de multiplicar,

$$(\mu x)'=\mu q,$$

y la integración entre $t_0$ y $t$ conserva el dato inicial:

$$x(t)=\frac{1}{\mu(t)}\left[ \mu(t_0)x_0+\int_{t_0}^{t}\mu(s)q(s)\,ds \right].$$

Esta forma es preferible a una constante indefinida cuando se estudia un problema de valor inicial, porque muestra exactamente qué parte proviene del estado inicial y cuál del forzamiento.

Enfriamiento con ambiente variable

Sea $T(t)$ la temperatura de un cuerpo y sea el ambiente

$$T_a(t)=T_m+B\cos(\omega t).$$

La ley de Newton

$$T'=-k(T-T_a(t)),\qquad k>0,$$

se reescribe

$$T'+kT=kT_m+kB\cos(\omega t).$$

El factor integrante es $e^{kt}$. Una solución particular periódica se busca como $a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)+T_m$. Al sustituir y comparar coeficientes,

$$a=\frac{k^2B}{k^2+\omega^2},\qquad b=\frac{k\omega B}{k^2+\omega^2}.$$

La solución completa es

$$T(t)=T_m+ \frac{kB}{\sqrt{k^2+\omega^2}} \cos(\omega t-\phi)+Ce^{-kt}, \qquad \tan\phi=\frac{\omega}{k}.$$

El término $Ce^{-kt}$ conserva la memoria del dato inicial, pero decae. La respuesta permanente tiene menor amplitud que el ambiente y un retraso de fase. Si $\omega\ll k$, el cuerpo sigue casi por completo la oscilación exterior; si $\omega\gg k$, apenas responde. La fórmula confirma lo que el campo de direcciones sugiere: por encima de $T_a(t)$ las pendientes son negativas y por debajo positivas.

Criterios para interpretar campos de direcciones

Una malla demasiado densa produce una mancha; una demasiado pobre puede ocultar cambios de signo. Conviene comenzar por isoclinas $f(t,x)=m$ para valores simples de $m$, marcar singularidades y señalar el dato inicial. La longitud de los segmentos debe normalizarse, pues la pendiente ya codifica dirección; usar longitudes proporcionales a $|f|$ puede volver ilegibles las zonas rápidas.

Zill reúne en una misma secuencia campos direccionales, ecuaciones autónomas y método de Euler, lo que permite comparar la geometría previa con el primer cálculo discreto Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1 y 2.6, pp. 35-43, 75-80 . Bronson y Costa aportan una colección extensa de problemas resueltos; aquí se usa como banco de práctica, no como sustituto de justificar dominios o casos especiales Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: caps. 3-7, secciones sobre ecuaciones separables, exactas y lineales .

El dibujo debe respetar el dominio. En $x'=1/(t-x)$, la recta $x=t$ no es una isoclina inocente: el campo no está definido allí. Una curva solución puede acercarse a esa frontera, pero el modelo no autoriza atravesarla sin reformular el problema.

Condición de exactitud

Una ecuación escrita como

$$M(t,x)\,dt+N(t,x)\,dx=0$$

es exacta en una región simplemente conexa si existe $\Phi$ con $\Phi_t=M$ y $\Phi_x=N$. Una condición práctica, cuando las derivadas son continuas, es

$$\frac{\partial M}{\partial x} =\frac{\partial N}{\partial t}.$$

Entonces las soluciones satisfacen $\Phi(t,x)=C$. Por ejemplo,

$$(2tx+1)\,dt+(t^2+2x)\,dx=0$$

es exacta. Integrar $M$ respecto de $t$ da $\Phi=t^2x+t+g(x)$. Al comparar $\Phi_x=t^2+g'(x)$ con $N=t^2+2x$, se obtiene $g=x^2$. La familia implícita es

$$t^2x+t+x^2=C.$$

No siempre conviene despejar $x(t)$: la forma implícita puede describir varias ramas, y el teorema de la función implícita decide localmente cuándo una rama define una solución.

Verificación de soluciones analíticas

Después de obtener una fórmula hay cuatro comprobaciones económicas:

1. sustituirla en la ecuación;
2. imponer el dato inicial;
3. indicar dónde está definida;
4. comparar su comportamiento con los signos del campo.

Estas pruebas detectan constantes mal calculadas, valores absolutos descartados y ramas incompatibles. En la logística, por ejemplo, una fórmula que oscile alrededor de uno contradice la línea de fase antes de cualquier cálculo detallado.

La aproximación de Euler,

$$x_{n+1}=x_n+h f(t_n,x_n),$$

traduce literalmente el campo en pasos tangentes. Sirve para explorar, pero no convierte un trazo en evidencia definitiva. Hay que reducir $h$, controlar el intervalo y comparar con una identidad o una propiedad cualitativa. En campos con regiones rápidas, el método puede saltar una barrera que la solución exacta nunca cruza.

En una ecuación autónoma $x'=f(x)$, los ceros de $f$ dividen la recta en intervalos donde toda solución avanza en el mismo sentido. Esa tabla de signos permite localizar barreras y decidir estabilidad antes de integrar. Strogatz formula esta lectura mediante líneas de fase y potenciales Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1-2.5, pp. 18-36 ; Fuchs explicita el paso entre la gráfica de $f$, la ecuación y la trayectoria Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1-2.2, pp. 16-26 . La fórmula cerrada, cuando existe, debe respetar esa geometría.

Ejercicios: ecuaciones escalares y campos de direcciones

1. Dibuja isoclinas de $x'=t+x$ para pendientes $-1,0,1$ y resuelve con factor integrante. Comprueba que cada curva respeta el dibujo.
2. Encuentra todas las soluciones de $x'=x^{2/3}$ que pasan por $(0,0)$. Explica qué rasgo del campo permite más de una.
3. Resuelve $x'=(1+t^2)(1+x^2)$, conserva el intervalo máximo y localiza las asíntotas.
4. Determina los equilibrios y su estabilidad para $x'=x(1-x)(x-a)$ con $0<a<1$.
5. Verifica que $(2tx+e^t)\,dt+(t^2+2x)\,dx=0$ es exacta y encuentra su integral primera.
6. Compara Euler con la solución exacta logística para tres pasos. Informa error global y si alguna aproximación abandona $[0,1]$.

Una solución de primer orden se describe por su campo, su línea de fase, su intervalo máximo y la trayectoria seleccionada por el dato inicial; la fórmula cerrada es solo una de esas representaciones.