Flujos y sistemas no lineales en el plano

Un retrato de fase global no se obtiene únicamente con linealizaciones locales. El jacobiano describe vecindades de equilibrios, pero entre ellas actúan nulclinas, fronteras invariantes, niveles de energía y posibles ciclos. La tarea consiste en combinar información local y global hasta restringir el destino de cada región. Integrar trayectorias ayuda a comprobar la construcción; no reemplaza los argumentos que impiden cruces, escapes o órbitas cerradas.

Campo vectorial y familia de trayectorias

Consideremos

$$\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y).$$

El vector $(f,g)$ es tangente a la trayectoria. Bajo existencia y unicidad, el flujo $\varphi_t$ transporta todas las condiciones iniciales y conserva el orden temporal. Dos órbitas distintas no pueden cruzarse en el plano. Una curva cerrada que sea trayectoria divide el plano en interior y exterior; ninguna otra trayectoria puede atravesarla.

La velocidad puede variar mucho a lo largo de una misma órbita. El retrato de fase conserva la curva y su orientación, pero no muestra por sí solo cuánto tarda el sistema. Para recuperar tiempo se integra

$$dt=\frac{dx}{f(x,y)}$$

en tramos donde $f\neq0$, o la expresión análoga con $g$. Slotine y Li separan de forma explícita la construcción geométrica del retrato y la recuperación temporal Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: cap. 2, §§2.2-2.3, pp. 23-30 .

Nulclinas y signos del campo

Las curvas $f=0$ y $g=0$ localizan tangencias verticales y horizontales. Después de dibujarlas, se elige un punto de prueba en cada región y se registra el signo de ambos componentes. Este procedimiento evita sembrar cientos de flechas sin estructura.

Una curva $H(x,y)=0$ es invariante si

$$\frac{d}{dt}H(x(t),y(t)) =\nabla H\cdot(f,g)=0$$

sobre ella. Que una curva sea nulclina de una componente no basta. Por ejemplo, en un modelo de poblaciones con factores $x$ y $y$, los ejes suelen ser invariantes porque $x'=0$ sobre $x=0$ y el vector es tangente al eje; una recta oblicua de nulclina puede cruzarse.

Depredación con crecimiento logístico

Sea

$$\dot x=x(1-x)-axy, \qquad \dot y=y(-d+bx),$$

con $a,b,d>0$. La presa $x$ crece logísticamente en ausencia del depredador; el depredador $y$ decae si la presa es insuficiente. Las nulclinas son

$$x=0,\qquad y=\frac{1-x}{a},$$

y

$$y=0,\qquad x=\frac{d}{b}.$$

Además del origen y $(1,0)$, existe un equilibrio interior si $d/b<1$:

$$(x_*,y_*)= \left(\frac db,\frac{1-d/b}{a}\right).$$

El jacobiano es

$$J(x,y)= \begin{pmatrix} 1-2x-ay&-ax\\ by&-d+bx \end{pmatrix}.$$

En el equilibrio interior, las relaciones de nulclina simplifican

$$J_*= \begin{pmatrix} -x_*&-ax_*\\ by_*&0 \end{pmatrix}.$$

Su traza es $-x_*<0$ y su determinante es $abx_*y_*>0$. Por tanto, el equilibrio es localmente estable; según el discriminante, será nodo o foco. El crecimiento logístico rompe la familia de órbitas cerradas neutrales del modelo clásico de Lotka-Volterra y introduce disipación efectiva.

El primer cuadrante es positivamente invariante porque los ejes lo son y unicidad impide cruzarlos. Además, para $x>1$, se tiene $x'<x(1-x)<0$, así que la presa vuelve hacia una franja acotada. Para controlar $y$ no basta mirar su ecuación cuando $x$ es grande; puede combinarse una función $V=bx+ay$ y estimar su derivada. El objetivo es construir una región absorbente, no sólo observar que una trayectoria simulada permanece acotada.

Zill y Cullen usan modelos autónomos para unir signos, estabilidad local y significado físico; la ampliación anterior añade la búsqueda explícita de una región invariante Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 10, §§10.1-10.4, pp. 363-395 .

Funciones de Lyapunov y monotonicidad

Una función $V$ con mínimo estricto en un equilibrio y

$$\dot V=\nabla V\cdot\mathbf f\le0$$

impide que las trayectorias atraviesen sus niveles hacia valores mayores. Si $\dot V<0$ fuera del equilibrio, se obtiene estabilidad asintótica dentro de un dominio apropiado. Si sólo es semidefinida, el principio de invariancia estudia el mayor conjunto invariante contenido en $\{\dot V=0\}$.

Para el sistema gradiente

$$\dot{\mathbf x}=-\nabla U(\mathbf x),$$

se tiene

$$\dot U=-\|\nabla U\|^2\le0.$$

Una órbita no puede ser periódica salvo que permanezca en un equilibrio, pues $U$ tendría que volver a su valor inicial después de disminuir. Esta conclusión global no requiere resolver.

Slotine y Li desarrollan estabilidad, funciones definidas positivas y teoremas de conjuntos invariantes con énfasis en su interpretación Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: cap. 3, §§3.2-3.5, pp. 53-94 .

Criterio de Bendixson mediante la divergencia

La divergencia del campo plano es

$$\nabla\cdot\mathbf f=f_x+g_y.$$

Mide la tasa instantánea de cambio de área transportada por el flujo. Si tiene signo estricto en una región simplemente conexa, el criterio de Bendixson-Dulac excluye órbitas periódicas contenidas allí. La condición de simple conexión importa: una región anular puede sostener ciclos aun con ciertas propiedades locales.

Para el modelo de competencia

$$x'=x(1-x-\alpha y),\qquad y'=y(1-\beta x-y),$$

la divergencia ordinaria cambia de signo en parte del cuadrante. Puede buscarse un factor de Dulac $B(x,y)=1/(xy)$, válido en el interior positivo. Entonces

$$\frac{\partial}{\partial x}(Bf) +\frac{\partial}{\partial y}(Bg) =-\frac1y-\frac1x<0.$$

No hay ciclos periódicos completamente contenidos en el primer cuadrante abierto. Junto con acotamiento y clasificación de equilibrios, esta exclusión estrecha los posibles destinos.

Clasificación planar con Poincaré–Bendixson

Si una órbita positiva permanece en un compacto del plano y su conjunto $\omega$-límite no contiene equilibrios, el teorema de Poincaré-Bendixson conduce, bajo sus hipótesis, a una órbita periódica. El resultado es especial de dimensión dos: en tres dimensiones pueden existir conjuntos límite mucho más complicados.

La lógica útil es indirecta. Primero se construye una región de atrapamiento compacta. Después se verifica que no contiene equilibrios o que la órbita no puede converger a ellos. Entonces se concluye la existencia de un ciclo, incluso sin fórmula. Strogatz desarrolla tanto el criterio como sus aplicaciones y límites Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1-7.4, pp. 198-213 .

Fuchs combina ciclos, Lyapunov, osciladores no lineales y Poincaré-Bendixson dentro de un mismo recorrido plano Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 3, §§3.4-3.9, pp. 52-71 .

Bifurcación de Hopf y ciclos límite

En la forma normal

$$\dot r=\mu r-r^3, \qquad \dot\theta=\omega,$$

el origen es estable para $\mu<0$. Cuando $\mu>0$, se vuelve inestable y aparece el ciclo $r=\sqrt\mu$, que es estable porque

$$\left.\frac{d}{dr}(\mu r-r^3)\right|_{r=\sqrt\mu} =-2\mu<0.$$

En coordenadas cartesianas,

$$\dot x=\mu x-\omega y-(x^2+y^2)x,$$ $$\dot y=\omega x+\mu y-(x^2+y^2)y.$$

El jacobiano del origen tiene valores $\mu\pm i\omega$. El cruce del eje imaginario sugiere una bifurcación de Hopf, pero en un sistema general hacen falta condiciones de transversalidad y no degeneración para afirmarla. La forma normal ya incorpora esas propiedades y permite derivar el ciclo directamente. Strogatz estudia Hopf y bifurcaciones globales de ciclos en el capítulo 8 Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.4, pp. 251-268 .

Construcción del retrato global

Un análisis plano reproducible puede seguir esta secuencia:

1. declarar dominio y parámetros;
2. localizar equilibrios y nulclinas;
3. demostrar invariancia de fronteras físicas;
4. clasificar equilibrios hiperbólicos;
5. construir cotas o una región de atrapamiento;
6. usar Lyapunov, Dulac o Poincaré-Bendixson para restringir conjuntos límite;
7. integrar trayectorias representativas y refinar el paso.

El orden evita atribuir a una simulación propiedades que provienen de un teorema. Hirsch, Smale y Devaney fundamentan el flujo y la ecuación variacional que hacen posible comparar trayectorias cercanas Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1-7.4, pp. 139-153 .

Un sistema no lineal se entiende mejor al combinar tres escalas de análisis. El jacobiano clasifica cada equilibrio localmente; las nulclinas y la orientación del campo organizan el plano; una función de Lyapunov o una región atrapante aporta información global. Ninguna mirada sustituye a las otras: un equilibrio estable no excluye otro atractor y un dibujo sugestivo no demuestra invariancia. En el plano, los criterios de Bendixson–Dulac y Poincaré–Bendixson permiten convertir parte de esa geometría en conclusiones rigurosas.

Ejercicios: retratos de fase y regiones atrapantes

1. Completa la región absorbente del modelo depredador-presa logístico mediante una combinación lineal de $x$ y $y$.
2. Aplica un factor de Dulac al modelo de competencia y justifica el dominio donde es válido.
3. Para $x'=y-x(x^2+y^2-1)$, $y'=-x-y(x^2+y^2-1)$, deriva la ecuación radial y clasifica origen y ciclo.
4. Construye un potencial con dos mínimos y una silla; dibuja el flujo gradiente y sus cuencas.
5. Diseña una región anular atrapante sin equilibrios para un sistema radial y usa Poincaré-Bendixson.
6. Compara dos integradores sobre van der Pol y verifica que el ciclo observado persiste al refinar el paso.

Un retrato completo es una demostración visualmente organizada: cada flecha importante se apoya en un signo, una invariancia o un teorema. En mecánica, circuitos y biología, el retrato debe derivarse además de las leyes físicas que originan cada EDO.