Ecuaciones de primer orden no lineales y sustituciones

Las técnicas de primer orden no forman una lista de recetas intercambiables. Cada una reconoce una estructura que se conserva al cambiar de variable: linealidad en una potencia de la incógnita, invariancia bajo escalamiento, conocimiento de una solución particular o existencia de un potencial. Antes de integrar hay que identificar esa estructura, registrar las soluciones que una división podría eliminar y fijar una región donde las operaciones tengan sentido.

Un diagnóstico antes de elegir el método

Partimos de una ecuación escrita como $y'=f(x,y)$ o como

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.$$

Una secuencia útil de preguntas es la siguiente:

1. ¿Puede separarse como $g(y)\,dy=h(x)\,dx$?
2. ¿Es lineal en $y$, es decir, $y'+P(x)y=Q(x)$?
3. ¿Tiene la forma de Bernoulli $y'+P(x)y=Q(x)y^n$?
4. ¿Depende sólo de la razón $y/x$ o $x/y$?
5. ¿Es exacta, o admite un factor integrante que dependa de una sola variable?
6. ¿Es una Riccati y se conoce una solución particular?

El orden importa poco; lo esencial es comprobar la condición, no decidir por semejanza visual. Una misma ecuación puede pertenecer a dos clases. En tal caso se prefiere la transformación que conserve mejor los dominios y facilite la comprobación. Zill organiza estas familias por su forma diferencial y por la sustitución que las reduce a un problema ya resuelto Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 2, §§2.2-2.5, pp. 44-74 .

Bernoulli: linealidad escondida en una potencia

La ecuación de Bernoulli es

$$y'+P(x)y=Q(x)y^n, \qquad n\ne0,1.$$

En una región donde $y\ne0$, dividimos por $y^n$ y definimos

$$v=y^{1-n}.$$

Como $v'=(1-n)y^{-n}y'$, al multiplicar la ecuación dividida por $1-n$ aparece

$$v'+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x).$$

La ecuación en $v$ es lineal. La transformación no es un truco aislado: se eligió precisamente para que $y^{-n}y'$ fuera una derivada y $y^{1-n}$ absorbiera el otro término. Si $y\equiv0$ satisface la ecuación original, debe añadirse por separado, porque fue excluida al dividir.

Ejemplo trabajado: dato inicial y explosión de la solución

Resolvamos, para $x>0$,

$$y'+\frac2x y=xy^2, \qquad y(1)=1.$$

Aquí $n=2$ y $v=y^{-1}$. Entonces

$$v'-\frac2xv=-x.$$

El factor integrante de esta ecuación lineal es

$$\mu(x)=\exp\!\left(\int-\frac2x\,dx\right)=x^{-2}.$$

Por tanto,

$$(x^{-2}v)'=-\frac1x, \qquad x^{-2}v=-\ln x+C.$$

Regresando a $y$,

$$y(x)=\frac{1}{x^2(C-\ln x)}.$$

El dato $y(1)=1$ fija $C=1$, de modo que

$$y(x)=\frac{1}{x^2(1-\ln x)}.$$

El intervalo máximo que contiene $x=1$ es $(0,e)$: en $x=e$ el denominador se anula. La ecuación también posee $y\equiv0$, pero esa solución no satisface el dato inicial. Para verificar la respuesta se deriva la fórmula, se sustituye en la ecuación y se comprueba el dato. La singularidad en tiempo finito no es un fallo del método; es información sobre la solución seleccionada.

Ecuaciones homogéneas en la razón de variables

Una ecuación

$$y'=F\!\left(\frac yx\right)$$

es homogénea en el sentido de invariancia por escalamiento, no en el sentido lineal de “término independiente cero”. La sustitución

$$v=\frac yx, \qquad y=xv, \qquad y'=v+xv'$$

la convierte en

$$xv'=F(v)-v,$$

que suele ser separable. El dominio excluye inicialmente $x=0$, y cualquier valor de $v$ que anule $F(v)-v$ debe revisarse antes de dividir: corresponde a una solución recta $y=vx$.

Por ejemplo,

$$y'=1+\frac yx, \qquad x>0,$$

produce

$$v+xv'=1+v, \qquad v'=\frac1x.$$

Así,

$$v=\ln x+C, \qquad y=x(\ln x+C).$$

Si $y(1)=2$, entonces $C=2$. La comprobación es inmediata:

$$y'=\ln x+C+1=1+\frac yx.$$

Cuando la ecuación está dada como $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, también puede reconocerse la homogeneidad si $M$ y $N$ son funciones homogéneas del mismo grado. Dividir por una potencia apropiada de $x$ hace aparecer $y/x$. Bronson y Costa ofrecen una práctica extensa de este reconocimiento; la decisión de dominio y la recuperación de rectas perdidas siguen siendo parte del argumento, no un detalle posterior Bronson, 2008 Richard Bronson y Gabriel B. Costa (2008) Ecuaciones diferenciales 3.ª ed., serie Schaum · McGraw-Hill Interamericana Ubicación consultada: caps. 4-6, sustituciones y ecuaciones homogéneas de primer orden .

Reducción de Riccati con una solución conocida

La ecuación de Riccati tiene la forma

$$y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x), \qquad a(x)\ne0.$$

No existe una sustitución universal que la vuelva lineal sin información adicional. Si se conoce una solución particular $y_p$, se escribe

$$y=y_p+\frac1u.$$

Al derivar y usar que $y_p'=ay_p^2+by_p+c$, los términos independientes se cancelan y queda

$$u'+\bigl(2ay_p+b\bigr)u=-a.$$

Ésta sí es lineal. El conocimiento de una sola trayectoria particular reorganiza toda la familia restante.

Consideremos

$$y'=y^2-2xy+1+x^2.$$

La función $y_p=x$ es particular, porque $y_p'=1$ y el lado derecho evaluado en $y=x$ también vale uno. Con $y=x+1/u$ obtenemos

$$u'=-1, \qquad u=C-x.$$

Por tanto,

$$y=x+\frac1{C-x}.$$

Para $y(0)=1$, $C=1$ y el intervalo máximo que contiene el origen es $(-\infty,1)$. Además de esta familia aparece la solución particular $y=x$, que no se obtiene con ningún valor finito de $C$. Sustituir la expresión final permite verificar tanto la ecuación como la singularidad en $x=C$.

La reducción muestra también una limitación conceptual: encontrar $y_p$ puede ser tan difícil como resolver el problema original. Por eso no debe presentarse Riccati como un algoritmo completo; es un método condicional cuya hipótesis principal es disponer de esa solución.

Exactitud como existencia de un potencial

En una región simplemente conexa, la forma

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$$

es exacta si existe $Phi(x,y)$ tal que

$$\Phi_x=M, \qquad \Phi_y=N.$$

Con derivadas parciales continuas, la prueba práctica es $M_y=N_x$. La solución queda implícita como $Phi(x,y)=C$. El procedimiento completo es:

1. comprobar exactitud en una región declarada;
2. integrar $M$ respecto de $x$, incluyendo una función desconocida $g(y)$;
3. derivar el resultado respecto de $y$ y compararlo con $N$;
4. determinar $g$ y aplicar el dato inicial;
5. comprobar si la relación implícita define localmente $y(x)$.

La última pregunta se decide mediante $Phi_y=N$. Si $N=0$ en un punto, puede fallar el despeje local aunque la curva de nivel siga existiendo.

Factores integrantes que dependen de una variable

Si la ecuación no es exacta, multiplicarla por una función $mu$ puede volverla exacta. Buscar una función arbitraria de dos variables sería otra ecuación diferencial parcial, por lo que se prueban condiciones restringidas. Si

$$\frac{M_y-N_x}{N}=f(x),$$

depende sólo de $x$, entonces

$$\mu(x)=\exp\!\left(\int f(x)\,dx\right).$$

Si, en cambio,

$$\frac{N_x-M_y}{M}=g(y),$$

depende sólo de $y$, se usa

$$\mu(y)=\exp\!\left(\int g(y)\,dy\right).$$

Estas fórmulas se deducen imponiendo $(\mu M)_y=(\mu N)_x$; no deben memorizarse sin volver a comprobar la exactitud después de multiplicar.

Ejemplo trabajado: construir y verificar el factor

Sea, para $x>0$,

$$\left(\frac{y^2}{x}+x\right)dx+y\,dy=0.$$

Aquí

$$M_y=\frac{2y}{x}, \qquad N_x=0, \qquad \frac{M_y-N_x}{N}=\frac2x.$$

Así, $mu(x)=x^2$. Al multiplicar obtenemos

$$(xy^2+x^3)dx+x^2y\,dy=0,$$

y ahora ambas derivadas cruzadas valen $2xy$. Integramos el primer coeficiente respecto de $x$:

$$\Phi(x,y)=\frac12x^2y^2+\frac14x^4+g(y).$$

Como $Phi_y=x^2y+g'(y)=N_{\mathrm{nuevo}}$, resulta $g'=0$. La familia es

$$\frac12x^2y^2+\frac14x^4=C.$$

El factor integrante altera la forma diferencial, pero no sus curvas integrales dentro de la región donde $mu$ es finito y no nulo. Al cruzar $x=0$ esa equivalencia debe reconsiderarse.

Fuchs insiste en leer las soluciones como curvas orientadas y en declarar dónde vive el campo; esa perspectiva evita tratar una transformación singular como si conservara automáticamente todo el plano Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: caps. 1-2, pp. 1-36 .

Traslaciones que revelan una razón homogénea

Algunas ecuaciones racionales dependen de dos formas lineales,

$$y'=F\!\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right).$$

Si las rectas $a_1x+b_1y+c_1=0$ y $a_2x+b_2y+c_2=0$ se cortan en un punto $(x_*,y_*)$, la traslación

$$X=x-x_*, \qquad Y=y-y_*$$

elimina las constantes. La ecuación resultante depende de una razón de formas homogéneas en $X,Y$ y puede reducirse con $v=Y/X$. Este procedimiento exige resolver primero un sistema lineal para el centro de traslación y comprobar que su determinante no sea cero. Si las rectas son paralelas, la estrategia cambia: suele convenir una combinación lineal $u=ax+by+c$.

Por ejemplo, en

$$y'=\frac{x+y-1}{x-y+1}$$

las dos formas se anulan simultáneamente en $(0,1)$. Con $X=x$ y $Y=y-1$ queda

$$\frac{dY}{dX}=\frac{X+Y}{X-Y},$$

que es homogénea. Al usar $Y=vX$ se obtiene una ecuación separable para $v$. Antes de dividir por $X$ o por cualquier función de $v$, se revisan el eje trasladado, la recta donde el denominador original se anula y las posibles soluciones rectas. La traslación no mueve únicamente el dibujo: cambia las coordenadas en las que la invariancia por escalamiento se vuelve visible.

Otra familia reducible es

$$y'=F(ax+by+c).$$

Definiendo $u=ax+by+c$ se tiene

$$u'=a+bF(u),$$

una ecuación autónoma separable. Si $a+bF(u)=0$, sus ceros generan soluciones con $u$ constante y deben registrarse antes de separar. Después de resolver para $u(x)$, se recupera $y=(u-ax-c)/b$ cuando $b\ne0$. Este ejemplo muestra un principio general: una buena sustitución no se adivina por costumbre, sino que agrupa exactamente la combinación que el campo repite.

Comparación de métodos y elección documentada

Cuando dos rutas son posibles, la elección puede justificarse con criterios concretos. Se cuenta cuántas divisiones introducen restricciones, si la solución queda explícita o implícita, qué integrales aparecen y cuán fácil es imponer el dato inicial. Una ecuación exacta puede ser también separable; el potencial suele conservar mejor la geometría de sus curvas de nivel, mientras la separación puede facilitar el intervalo máximo. Resolver por ambas rutas en un caso de control ayuda a detectar constantes absorbidas incorrectamente.

También conviene conservar una bitácora algebraica breve: forma original, condición que identifica la clase, sustitución y su inversa, ecuación reducida, restricciones y verificación final. Esa cadena permite localizar un error sin rehacer todo el cálculo. En aplicaciones, la variable transformada puede tener además una interpretación útil —por ejemplo, el inverso de una población o una razón entre cantidades—, pero esa interpretación debe comprobar dimensiones y dominio antes de aceptarse.

Procedimiento de verificación común

Una solución analítica queda incompleta si sólo se presenta la expresión final. Para cualquiera de las cuatro familias:

1. deriva la respuesta y sustitúyela en la ecuación original, no únicamente en la transformada;
2. comprueba el dato inicial;
3. añade las soluciones eliminadas al dividir;
4. señala los puntos donde fallan coeficientes, denominadores o transformaciones;
5. escoge el intervalo conexo máximo que contiene el dato;
6. contrasta signos y crecimiento con el campo de direcciones.

Esta rutina distingue una identidad algebraica de una solución válida de un problema inicial. También permite comparar dos métodos cuando una ecuación pertenece a más de una clase.

Ejercicios de clasificación, resolución y control

1. Resuelve $y'+y=xe^{-x}y^3$ con $y(0)=1$ mediante Bernoulli. Registra la solución $y=0$, determina el intervalo máximo del dato y verifica la ecuación original.
2. Para $y'=(x+y)/(x-y)$, usa $v=y/x$, identifica cualquier recta solución antes de separar y describe las ramas implícitas en cada región donde el campo está definido.
3. Comprueba que $y_p=e^x$ resuelve $y'=e^{-x}y^2-y$; aplica la sustitución de Riccati, encuentra la familia restante y explica qué miembro no aparece al variar la constante.
4. Decide si $(3x^2y+2y)dx+(x^3+2x+4y^3)dy=0$ es exacta. Construye el potencial, impone $(x,y)=(1,0)$ y determina dónde puede despejarse localmente $y$.
5. Para $(y^2/x+2x)dx+y\,dy=0$ en $x>0$, encuentra un factor integrante dependiente de $x$, verifica la exactitud posterior y compara con una separación directa si existe.
6. Diseña una ecuación de Bernoulli que, tras $v=y^{-2}$, se transforme en $v'+2v=x$. Resuélvela con un dato propio y documenta qué solución se pierde durante la transformación.
7. Clasifica $y'=1+(y/x)+(y/x)^2$ y analiza primero los ceros de $1+v+v^2-v$. Integra sólo después de decidir si existen rectas solución reales.

El objetivo no es reconocer una etiqueta, sino justificar una transformación reversible en una región precisa. Bernoulli, homogeneidad, Riccati y exactitud son cuatro maneras distintas de revelar una estructura simple que ya estaba contenida en la ecuación original.