Sistemas lineales no homogéneos, matriz fundamental y resonancia

Un sistema lineal no homogéneo separa dos mecanismos: la propagación del estado que ya existe y la acumulación de entradas aplicadas durante la evolución. La matriz fundamental representa el primero; la variación de constantes combina ambos. Esta formulación sigue funcionando cuando los coeficientes dependen del tiempo y revela con precisión cuándo una entrada resuena con un modo o con una cadena de Jordan.

Matriz fundamental y espacio de soluciones

Considere el sistema homogéneo

$$x'=A(t)x, \qquad x(t)\in\mathbb R^n.$$

Una matriz fundamental es una matriz $\Phi(t)$ cuyas columnas son $n$ soluciones linealmente independientes. Satisface

$$\Phi'(t)=A(t)\Phi(t), \qquad \det\Phi(t)\ne0.$$

Toda solución puede escribirse como

$$x(t)=\Phi(t)c$$

para un vector constante $c$. La matriz fundamental no es única: si $C$ es una matriz constante invertible, $\Phi C$ también lo es. Para fijar una representación canónica respecto de $t_0$ se usa la matriz de transición

$$\Phi(t,t_0)=\Phi(t)\Phi(t_0)^{-1},$$

que cumple $\Phi(t_0,t_0)=I$. Entonces el problema inicial homogéneo tiene solución

$$x(t)=\Phi(t,t_0)x_0.$$

Además,

$$\Phi(t,r)\Phi(r,s)=\Phi(t,s), \qquad \Phi(s,t)=\Phi(t,s)^{-1}.$$

Estas identidades expresan que avanzar de $s$ a $r$ y luego a $t$ equivale a avanzar directamente. Hirsch, Smale y Devaney relacionan esta propagación con el flujo lineal y la acción de la exponencial matricial en el caso autónomo Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 2-3, pp. 23-57 .

Determinante de la matriz fundamental

La independencia de las columnas puede controlarse mediante la fórmula de Liouville. Si $W(t)=\det\Phi(t)$, entonces

$$W'(t)=\operatorname{tr}A(t)\,W(t),$$

y por tanto

$$W(t)=W(t_0) \exp\!\left(\int_{t_0}^t\operatorname{tr}A(s)\,ds\right).$$

Si $W(t_0)\ne0$, nunca se anula dentro del intervalo donde $A$ es continua. No hace falta comprobar la independencia en cada tiempo. Geométricamente, el determinante mide cómo cambia un volumen infinitesimal: la traza es su tasa logarítmica instantánea.

La fórmula no afirma que cada dirección crezca a la misma tasa. Un sistema con traza cero puede estirar una dirección y contraer otra conservando el volumen. La estabilidad requiere más información que el determinante.

Variación de constantes

Para el sistema no homogéneo

$$x'=A(t)x+g(t), \qquad x(t_0)=x_0,$$

se reemplaza el vector constante por una función:

$$x(t)=\Phi(t)c(t).$$

Derivando,

$$x'=A(t)\Phi(t)c(t)+\Phi(t)c'(t).$$

Al comparar con la ecuación original se obtiene

$$\Phi(t)c'(t)=g(t), \qquad c'(t)=\Phi(t)^{-1}g(t).$$

Integrar desde $t_0$ da

$$x(t)=\Phi(t,t_0)x_0 +\int_{t_0}^t\Phi(t,s)g(s)\,ds.$$

El primer término es la respuesta de estado inicial. El segundo suma cada aporte $g(s)ds$ propagado desde el instante $s$ hasta $t$. Esta fórmula es la versión matricial del factor integrante y la base de la respuesta por convolución cuando $A$ es constante.

Zill deriva la variación de parámetros para sistemas usando una matriz fundamental; la forma con transición de estados hace explícito qué matriz propaga cada entrada Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 8, secciones sobre sistemas homogéneos y variación de parámetros, pp. 303-336 .

Ejemplo trabajado con coeficientes variables

Sea

$$x_1'=\frac1t x_1+t, \qquad x_2'=-\frac1t x_2+x_1, \qquad t>0,$$

con $x(1)=(0,0)^T$. La matriz homogénea es triangular,

$$A(t)=\begin{pmatrix}1/t&0\\1&-1/t\end{pmatrix},$$

y una matriz fundamental es

$$\Phi(t)=\begin{pmatrix}t&0\\t^2/3&t^{-1}\end{pmatrix}.$$

La entrada externa es $g(t)=(t,0)^T$. La estructura triangular permite primero resolver $x_1$ y después tratar esa componente como entrada conocida de la segunda ecuación. La matriz propuesta satisface $\Phi'=A\Phi$ y tiene determinante uno, en concordancia con Liouville porque la traza de $A(t)$ es cero.

Para la primera componente,

$$(x_1/t)'=1,$$

de modo que $x_1=t(t-1)$. Luego

$$x_2'+\frac1t x_2=t(t-1).$$

Multiplicando por $t$,

$$(tx_2)'=t^3-t^2.$$

El dato $x_2(1)=0$ produce

$$tx_2=\frac{t^4-1}{4}-\frac{t^3-1}{3},$$ $$x_2(t)=\frac{t^3}{4}-\frac{t^2}{3}+\frac1{12t}.$$

La solución sólo se afirma en $t>0$. Sustituir ambas componentes confirma el acoplamiento. Este ejemplo muestra que la estructura triangular puede reducir el costo antes de invertir matrices generales.

Coeficientes variables que no conmutan

Cuando $A$ depende del tiempo, escribir

$$\Phi(t,t_0)= \exp\!\left(\int_{t_0}^tA(s)\,ds\right)$$

es correcto sólo bajo condiciones adicionales, por ejemplo si $A(t_1)A(t_2)=A(t_2)A(t_1)$ para todos los tiempos pertinentes. En general, matrices evaluadas en instantes distintos no conmutan y el orden temporal importa.

La iteración de la ecuación integral

$$\Phi(t,t_0)=I+\int_{t_0}^tA(s)\Phi(s,t_0)\,ds$$

produce la serie de Peano–Baker. Sus primeros términos son

$$I+\int_{t_0}^tA(s_1)\,ds_1 +\int_{t_0}^tA(s_1) \int_{t_0}^{s_1}A(s_2)\,ds_2\,ds_1+\cdots.$$

Los límites anidados conservan el orden $s_2\le s_1$. Intercambiar las matrices puede cambiar el resultado. La serie justifica existencia y construcción de la transición, aunque no siempre sea el método numérico más eficiente.

Un ejemplo por tramos hace visible la diferencia. Si durante la primera mitad de un intervalo actúa $A_1$ y durante la segunda $A_2$, la transición total es

$$e^{A_2\Delta t}e^{A_1\Delta t}.$$

Invertir los dos regímenes produce $e^{A_1\Delta t}e^{A_2\Delta t}$, normalmente distinto. Ambos tienen los mismos tiempos de exposición y la misma integral promedio, pero no la misma evolución. Este efecto es relevante en control conmutado, protocolos por etapas y linealizaciones a lo largo de una trayectoria.

Sistemas periódicos y transición por un periodo

Si $A(t+T)=A(t)$, la matriz

$$M=\Phi(t_0+T,t_0)$$

se llama matriz de monodromía. Sus valores propios son multiplicadores de Floquet. Tras cada periodo, el estado homogéneo se multiplica por $M$; por eso sus módulos deciden crecimiento o decaimiento estroboscópico. La matriz depende de la base y del instante inicial por semejanza, pero sus valores propios no.

Una entrada periódica no garantiza una respuesta periódica acotada. Si el sistema homogéneo posee un multiplicador sobre el círculo unitario y la entrada excita la dirección correspondiente, puede aparecer resonancia secular. Si todos los multiplicadores están estrictamente dentro del círculo unitario, existe bajo hipótesis regulares una respuesta periódica única que atrae a las demás. Esta formulación extiende la resonancia del oscilador constante a coeficientes periódicos.

Para calcular $M$ numéricamente se integran simultáneamente $n$ condiciones iniciales que forman la identidad. Luego se repite con tolerancias más estrictas, se comprueba el determinante mediante Liouville y se evita interpretar pequeñas desviaciones del círculo unitario sin una estimación de error. Una aparente inestabilidad puede ser acumulación numérica.

Coeficientes constantes y exponencial matricial

Si $A$ es constante,

$$\Phi(t,t_0)=e^{A(t-t_0)},$$

y

$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0 +\int_{t_0}^te^{A(t-s)}g(s)\,ds.$$

La exponencial se define por la serie

$$e^{At}=I+tA+\frac{t^2A^2}{2!}+\cdots.$$

Diagonalizar es una forma de evaluarla, no su definición. Si $A=V\Lambda V^{-1}$, entonces $e^{At}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}$. Si no hay una base completa de vectores propios, se recurre a bloques de Jordan, al polinomio mínimo, a Cayley–Hamilton o a algoritmos numéricos de escalamiento y cuadratura.

Bloques de Jordan y crecimiento polinomial

Un bloque de Jordan de tamaño $m$ tiene la forma

$$J=\lambda I+N, \qquad N^m=0.$$

Como $\lambda I$ conmuta con $N$,

$$e^{Jt}=e^{\lambda t}e^{Nt} =e^{\lambda t}\left( I+tN+\frac{t^2N^2}{2!}+\cdots+ \frac{t^{m-1}N^{m-1}}{(m-1)!} \right).$$

El tamaño del bloque determina el grado polinomial. Para

$$A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix},$$ $$e^{At}=e^{-t} \begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}.$$

Aunque ambos valores propios son $-1$, una condición con segunda componente no nula produce un término $te^{-t}$ en la primera. El sistema sigue siendo asintóticamente estable, pero puede mostrar amplificación transitoria. Slotine y Li usan la transición de estados para separar estabilidad asintótica, respuesta transitoria y efecto de entradas; esta distinción impide reducir todo el análisis al signo de los valores propios Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: cap. 3, sistemas lineales y transición de estados .

Resonancia como coincidencia con un modo

Para una entrada exponencial

$$g(t)=be^{\mu t}$$

en $x'=Ax+g$, se intenta una particular $x_p=ve^{\mu t}$. Al sustituir,

$$(\mu I-A)v=b.$$

Si $\mu I-A$ es invertible,

$$v=(\mu I-A)^{-1}b.$$

Si $\mu$ es un valor propio de $A$, la matriz es singular y la propuesta puede fallar. La entrada coincide con un modo natural. Aparecen factores de $t$, cuyo grado depende de cómo $b$ se proyecte sobre las cadenas generalizadas asociadas.

En la ecuación escalar

$$y''+\omega^2y=F\cos\omega t,$$

la frecuencia de la entrada coincide con la natural. Una particular es

$$y_p=\frac{F}{2\omega}t\sin\omega t.$$

La amplitud crece linealmente en el modelo sin amortiguamiento. Si se añade amortiguamiento positivo, la respuesta permanente queda acotada, aunque puede ser grande cerca de la frecuencia resonante. “Resonancia” no significa automáticamente divergencia: hay que declarar disipación, duración y observable.

Ejemplo trabajado: resonancia sobre una cadena de Jordan

Tomemos

$$x'=Ax+e^{-t}b, \qquad A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.$$

La entrada contiene $e^{-t}$, que coincide con el valor propio doble. Escribimos

$$x=e^{-t}z.$$

Entonces

$$e^{-t}(z'-z)=e^{-t}[(-I+N)z+b],$$

por lo que

$$z'=Nz+b, \qquad N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.$$

En componentes,

$$z_2'=1, \qquad z_1'=z_2.$$

Una particular se obtiene tomando $z_2=t$ y $z_1=t^2/2$. Por tanto,

$$x_p(t)=e^{-t} \begin{pmatrix}t^2/2\\t\end{pmatrix}.$$

La cadena de Jordan añade un grado polinomial: la segunda componente tiene $te^{-t}$ y alimenta a la primera, que adquiere $t^2e^{-t}$. Sustituir $x_p$ en la ecuación confirma el resultado. El término finalmente decae porque $e^{-t}$ domina al polinomio, pero puede alcanzar un máximo transitorio apreciable.

Forzamiento periódico y representación compleja

Una entrada $b\cos\omega t$ puede tratarse como parte real de $be^{i\omega t}$. Si $i\omega I-A$ es invertible, una particular compleja es

$$z_p(t)=e^{i\omega t}(i\omega I-A)^{-1}b.$$

La solución real es $x_p=\operatorname{Re}z_p$. La matriz

$$R(i\omega)=(i\omega I-A)^{-1}$$

contiene ganancia y desfase por componente. Cerca de un valor propio con parte real pequeña, su norma puede crecer. En matrices no normales, una resolvente grande puede aparecer incluso lejos de los valores propios; por eso la distancia espectral no siempre predice la amplificación forzada.

Cómputo y validación

Para matrices pequeñas, una solución simbólica puede verificarse derivando y sustituyendo. Para sistemas grandes, no conviene formar $e^{At}$ ni la inversa explícita si sólo se necesita su acción sobre un vector. Se emplean métodos de Krylov, descomposiciones de Schur o rutinas de expm_multiply. La frase “calcular la inversa” en una derivación significa resolver un sistema lineal, no construir necesariamente la matriz inversa en código.

Un protocolo de validación incluye:

1. residuo $r(t)=x_h'(t)-A(t)x_h(t)-g(t)$;
2. error en la condición inicial;
3. comparación con la identidad de Liouville para el determinante;
4. refinamiento de tolerancias si la solución fue numérica;
5. separación de error de fase, amplitud y crecimiento transitorio;
6. control del número de condición de la base modal.

Una base de vectores propios casi dependiente puede producir coeficientes enormes que después se cancelan. La solución matemática es válida, pero la evaluación modal directa puede perder precisión.

Ejercicios de sistemas lineales avanzados

1. Verifica que $\Phi(t)=\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{-2t}\end{pmatrix}$ es fundamental para un sistema, calcula su transición entre $s$ y $t$ y comprueba la propiedad de composición.
2. Usa variación de constantes para resolver $x'=\operatorname{diag}(-1,-2)x+(1,t)^T$, $x(0)=(0,1)^T$. Separa respuesta libre y forzada.
3. Calcula $e^{At}$ para un bloque de Jordan $3\times3$ con valor propio $-2$. Identifica todos los factores polinomiales y verifica la derivada en $t=0$.
4. Resuelve $x'=Ax+e^{2t}b$ para $A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&3\end{pmatrix}$ y dos vectores $b$: uno que excite el modo $2$ y otro ortogonal al vector propio izquierdo correspondiente. Compara la resonancia.
5. Deriva la respuesta resonante de $y''+9y=\cos3t$ y compárala con $y''+0.6y'+9y=\cos3t$. Explica qué afirmación de crecimiento cambia.
6. Para una matriz triangular dependiente del tiempo, construye las columnas de una matriz fundamental resolviendo en orden. Comprueba su determinante con Liouville.
7. Integra numéricamente el ejemplo de Jordan resonante y compara con la fórmula exacta mediante refinamiento. Reporta el máximo de cada componente y el instante donde ocurre.

La matriz fundamental propaga estados; la integral de variación de constantes propaga entradas; Jordan y la resolvente indican cómo esas entradas interactúan con los modos. Juntas, estas herramientas convierten una colección de ecuaciones acopladas en una teoría coherente de evolución lineal.