Jacobiano, nulclinas y linealización local

Un campo no lineal cambia su matriz efectiva de un punto a otro. El jacobiano registra ese cambio local y permite comparar el sistema con uno lineal cerca de un estado elegido. La comparación es poderosa, pero no automática: antes hay que localizar el equilibrio, comprobar diferenciabilidad y revisar si el espectro queda lejos del eje imaginario. Cuando alguna de esas piezas falta, el cálculo matricial puede ser correcto y la conclusión dinámica, falsa.

Derivada del campo como transformación lineal

Sea $\mathbf f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$. Decimos que es diferenciable en $\mathbf x_*$ si existe una transformación lineal $D\mathbf f(\mathbf x_*)$ tal que

$$\mathbf f(\mathbf x_*+\mathbf h) =\mathbf f(\mathbf x_*)+D\mathbf f(\mathbf x_*)\mathbf h +\mathbf r(\mathbf h),$$

con

$$\frac{\|\mathbf r(\mathbf h)\|}{\|\mathbf h\|}\to0 \quad\text{cuando}\quad \mathbf h\to0.$$

En coordenadas, la matriz de esa transformación es el jacobiano

$$J(\mathbf x_*)= \left[ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathbf x_*) \right].$$

Las derivadas parciales por separado no garantizan diferenciabilidad si no tienen regularidad suficiente. Una condición práctica es que existan y sean continuas en una vecindad. La derivada direccional en la dirección $\mathbf v$ vale $D\mathbf f(\mathbf x_*)\mathbf v$, pero conocer derivadas direccionales aisladas tampoco reemplaza la aproximación uniforme del resto.

Jacobiano y evolución de perturbaciones

Para el sistema autónomo

$$\dot{\mathbf x}=\mathbf f(\mathbf x),$$

sea $\mathbf x_*$ un equilibrio: $\mathbf f(\mathbf x_*)=0$. Escribimos $\mathbf x=\mathbf x_*+\boldsymbol\eta$. Entonces

$$\dot{\boldsymbol\eta} =J(\mathbf x_*)\boldsymbol\eta +O(\|\boldsymbol\eta\|^2).$$

La ecuación lineal

$$\dot{\boldsymbol\eta}=J(\mathbf x_*)\boldsymbol\eta$$

es la linealización. Si todos sus valores propios tienen parte real distinta de cero, el equilibrio es hiperbólico. En ese caso, la estructura local de órbitas del sistema no lineal coincide cualitativamente con la lineal: sumideros, fuentes y sillas persisten. Strogatz presenta esta conexión en el plano de fase y subraya los casos donde un valor propio cruza el eje imaginario Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 6, §6.3, pp. 151-156; cap. 8, §§8.1-8.2, pp. 244-257 .

La aproximación no afirma que las trayectorias sean rectas ni que $e^{tJ}\boldsymbol\eta_0$ sea exacta. Afirma una equivalencia local de organización bajo las hipótesis adecuadas.

Análisis de nulclinas

En el sistema plano

$$\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y),$$

la nulclina de $x$ es $f(x,y)=0$ y la de $y$ es $g(x,y)=0$. Sobre la primera, el campo es vertical; sobre la segunda, horizontal. Sus intersecciones son candidatos a equilibrio y deben comprobar ambas ecuaciones.

Las nulclinas dividen el plano en regiones de signos. Una tabla con los pares $(\operatorname{sgn}f,\operatorname{sgn}g)$ permite orientar el campo antes de integrar. La pendiente de una trayectoria, donde $f\neq0$, es

$$\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}.$$

Esta razón se vuelve vertical en la nulclina de $x$, pero el flujo puede cruzarla; una nulclina no es necesariamente invariante. Para que una curva lo sea, el vector de campo debe ser tangente a ella.

Competencia con capacidad limitada

Consideremos

$$\dot x=x(1-x-\alpha y),\qquad \dot y=y(1-\beta x-y),$$

con $x,y\ge0$ y $\alpha,\beta>0$. Las nulclinas son

$$x=0,\quad x+\alpha y=1, \qquad y=0,\quad \beta x+y=1.$$

Siempre existen los equilibrios $(0,0)$, $(1,0)$ y $(0,1)$. El equilibrio interior satisface

$$\begin{pmatrix}1&\alpha\\\beta&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_*\\y_*\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},$$

por lo que, si $1-\alpha\beta\neq0$,

$$x_* =\frac{1-\alpha}{1-\alpha\beta}, \qquad y_* =\frac{1-\beta}{1-\alpha\beta}.$$

No basta con obtener estas fracciones: deben ser positivas para representar poblaciones. Si $0<\alpha<1$ y $0<\beta<1$, ambas son positivas.

El jacobiano es

$$J(x,y)= \begin{pmatrix} 1-2x-\alpha y&-\alpha x\\ -\beta y&1-\beta x-2y \end{pmatrix}.$$

En el equilibrio interior, las relaciones $1-x_*-\alpha y_*=0$ y $1-\beta x_*-y_*=0$ simplifican la matriz:

$$J_*= \begin{pmatrix} -x_*&-\alpha x_*\\ -\beta y_*&-y_* \end{pmatrix}.$$

Su traza es $-(x_*+y_*)<0$ y su determinante es

$$\det J_*=x_*y_*(1-\alpha\beta)>0.$$

En el régimen $\alpha,\beta<1$, el equilibrio interior es un sumidero. La interpretación es concreta: cada especie limita más su propio crecimiento que el de la otra, y la coexistencia resiste pequeñas perturbaciones. Si $\alpha,\beta>1$, el equilibrio interior puede existir pero ser una silla; las poblaciones iniciales quedan separadas por una frontera de cuencas.

Zill y Cullen usan sistemas autónomos como modelos para conectar nulclinas, jacobiano y significado de parámetros Zill, 2009 Dennis G. Zill y Michael R. Cullen (2009) Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera 7.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 10, §§10.1-10.4, pp. 363-395 .

Resto de Taylor y error de linealización

Si $\mathbf f$ es dos veces diferenciable, el resto es de orden cuadrático en una vecindad acotada:

$$\|\mathbf f(\mathbf x_*+\boldsymbol\eta) -J_*\boldsymbol\eta\| \le C\|\boldsymbol\eta\|^2.$$

La comparación mejora al reducir $\|\boldsymbol\eta\|$, pero puede deteriorarse en tiempos largos si el modo lineal crece. En una dirección inestable, una perturbación inicialmente diminuta abandona la vecindad; la linealización describe la salida local, no el destino global.

La ecuación variacional generaliza la idea a lo largo de una trayectoria $\mathbf x(t)$:

$$\dot{\boldsymbol\xi}=D\mathbf f(\mathbf x(t))\boldsymbol\xi.$$

Ya no hay una matriz constante. Su solución mide cómo cambia el flujo ante una perturbación del estado inicial. Hirsch, Smale y Devaney derivan esta ecuación después de establecer dependencia de soluciones Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 7, §§7.3-7.4, pp. 147-153 .

Linealización con un valor propio cero

En

$$\dot x=-x^3,$$

el jacobiano en el origen es cero. La linealización $\dot\eta=0$ no decide estabilidad. Sin embargo,

$$x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^2t}}$$

converge a cero para todo $x_0$ y $t\ge0$. El origen es asintóticamente estable, aunque la convergencia sea algebraica y no exponencial.

En cambio, $\dot x=x^3$ tiene el mismo jacobiano y el origen es inestable. Por tanto, “valor propio cero” significa que los términos no lineales retenidos por Taylor deciden. Lo mismo ocurre con pares puramente imaginarios: un centro lineal puede convertirse en foco estable, foco inestable o ciclo según los términos de orden superior.

Fuchs muestra esta transición desde estabilidad lineal hacia ciclos y bifurcaciones en dos dimensiones Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 3, §§3.3-3.5, pp. 46-60 .

Función implícita y geometría de las nulclinas

Si $f(x_*,y_*)=0$ y $f_y(x_*,y_*)\neq0$, el teorema de la función implícita permite escribir la nulclina localmente como $y=h(x)$. Su pendiente es

$$h'(x_*)=-\frac{f_x(x_*,y_*)}{f_y(x_*,y_*)}.$$

Si ambas derivadas se anulan, la nulclina puede tener una cúspide, varias ramas o un punto aislado. Resolver simbólicamente y dibujar sin comprobar regularidad puede ocultar esas posibilidades.

El teorema de la función inversa cumple otra función: si $\det D\mathbf F(\mathbf x_*)\neq0$, el cambio de coordenadas $\mathbf y=\mathbf F(\mathbf x)$ es localmente invertible. Esto justifica transformaciones locales, pero no garantiza una inversa global. Una aplicación que pliega regiones lejanas puede ser invertible cerca de cada punto y aun así no ser uno a uno en todo el dominio.

Transformación del jacobiano bajo cambios de coordenadas

Sea $\mathbf x=P\mathbf z$ con $P$ invertible. El sistema $\dot{\mathbf x}=\mathbf f(\mathbf x)$ se convierte en

$$\dot{\mathbf z}=P^{-1}\mathbf f(P\mathbf z).$$

Si $\mathbf z_*=P^{-1}\mathbf x_*$, la regla de la cadena produce

$$J_{\mathbf z}(\mathbf z_*)=P^{-1}J_{\mathbf x}(\mathbf x_*)P.$$

Las matrices son semejantes y comparten valores propios. Por eso una reescala lineal de unidades no cambia la clasificación hiperbólica, aunque sí cambie la forma de las trayectorias y el condicionamiento numérico. Si el cambio de coordenadas es no lineal, su derivada en el equilibrio ocupa el lugar de $P$ y la misma relación aparece localmente.

Este cálculo también evita mezclar jacobianos obtenidos en variables distintas. Una matriz calculada con población en individuos no puede compararse entrada por entrada con otra calculada en fracciones de capacidad; primero hay que transformar la base. Los autovalores conservan sus unidades de inverso de tiempo si no se reescala el reloj. Si además se usa $s=t/T$, todos se multiplican por $T$, de modo que el signo de sus partes reales persiste pero la tasa numérica cambia.

Funciones de Lyapunov en casos no hiperbólicos

Una función $V$ positiva alrededor del equilibrio y con $\dot V=\nabla V\cdot\mathbf f\le0$ puede demostrar estabilidad sin resolver ni depender del espectro. Para

$$\dot x=-x^3,$$

tomamos $V=x^2/2$. Entonces $\dot V=-x^4<0$ fuera del origen, lo que demuestra estabilidad asintótica. Slotine y Li desarrollan el método directo después de precisar estabilidad y linealización local Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: cap. 3, §§3.2-3.4, pp. 53-68 .

La dificultad no es verificar una función dada, sino construirla. Energía física, formas cuadráticas del sistema lineal y distancias ponderadas son puntos de partida. La elección debe acompañarse por un dominio donde sus niveles queden controlados.

La linealización organiza cada ejemplo en cinco datos: equilibrio, jacobiano, espectro, hipótesis y conclusión. Si el equilibrio es hiperbólico, el espectro decide la geometría local; si aparecen valores propios con parte real nula, la aproximación lineal deja preguntas abiertas. Las funciones de Lyapunov pueden resolver algunos de esos casos sin exigir una fórmula explícita para las trayectorias, mientras que la estructura no lineal determina si el comportamiento local se prolonga o cambia fuera del entorno del equilibrio.

Ejercicios: campos y estabilidad local

1. Encuentra nulclinas y equilibrios de $x'=x-y-x(x^2+y^2)$, $y'=x+y-y(x^2+y^2)$; clasifica el origen.
2. Construye dos sistemas con jacobiano nulo en el origen: uno estable y otro inestable. Justifica con una función o signos.
3. Para el modelo de competencia, analiza los cuatro regímenes definidos por $\alpha=1$ y $\beta=1$.
4. Usa la función implícita para hallar la pendiente local de $x^2+xy+y^2=1$ donde sea posible.
5. Deriva la ecuación variacional del péndulo a lo largo de una trayectoria no estacionaria.
6. Encuentra una función cuadrática de Lyapunov para $x'=-2x+y$, $y'=-x-2y$.

El jacobiano convierte un campo en un sistema lineal cercano, pero la palabra “cercano” debe permanecer visible en cada conclusión. Antes de linealizar una trayectoria también hace falta justificar que esa trayectoria existe, que es única y hasta qué instante puede prolongarse.